ヤング・ラプラス方程式ソルバー | 界面圧力

ヤング・ラプラスの式とは？

ヤング・ラプラスの式は流体力学で用いられる公式で、水滴の表面やシャボン玉のような、2つの流体間の曲面状界面を挟む圧力差を求めます。この圧力差が、流体の表面張力と界面の曲がり具合に依存することを示します。この式により、水滴や気泡の内部で圧力が高くなり、小さいものほど大きいものより内部圧力が高くなる理由を説明できます。

この名称は、トマス・ヤングとピエール＝シモン・ラプラスにちなみます。二人はそれぞれ、1805年に関係を説明しました。

ヤング・ラプラスの式の公式

この式の一般形は次のとおりです。

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$は界面を挟む圧力差で、単位はパスカル（Pa）です
• $\gamma$（ガンマ）は流体の表面張力で、単位はニュートン毎メートル（N/m）です
• $R_1$と$R_2$は、曲面の2つの主曲率半径で、単位はメートル（m）です

曲面は方向によって異なる曲がり方をします。$R_1$と$R_2$は、互いに直交する2方向に沿った曲率を表します。水滴や気泡のような球面では、$R_1$と$R_2$が等しいため、式は次のように簡略化されます。

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

符号の規約

圧力は、曲がった界面の凹側、つまり表面が離れるように膨らんでいる側で常に高くなります。液滴や気泡では、内部の圧力が外部の圧力より高いことを意味します。鞍形のように、ある方向で表面が逆向きに曲がっている場合、一般式ではその半径を負として扱います。この計算ツールは正の半径だけを受け付けるため、どちらの方向にも同じ向きに曲がる表面を対象とします。

特殊な場合

• 平面：半径が無限大に近づくと、式におけるその項はゼロに近づきます。完全に平らな界面では、圧力差はまったくありません。
• 円柱：毛細管のような細い管の内部では、一方の半径は管の半径で、もう一方は管の長さ方向に実質的に無限大です。式は$\Delta P = \gamma / R$になります。
• 非常に小さなスケール：数ナノメートル程度のスケールでは、線張力などの追加の効果が無視できなくなり、単純な式では精度が下がります。

ヤング・ラプラスの式で圧力差を計算する方法

1. 求める温度における流体の表面張力を、N/m単位で調べます。表面張力は温度が上がると低下します。
2. 第一主曲率半径$R_1$をメートル単位で測定または推定します。
3. 第二主曲率半径$R_2$をメートル単位で測定または推定します。球の場合は、$R_1$と同じ値を使います。円柱の場合は、無限大の代わりに非常に大きな数を使います（この計算ツールは無限大そのものを受け付けません）。
4. 表面張力に$1/R_1$と$1/R_2$の和を掛けます。結果がパスカル単位の圧力差です。

すべての値をSI単位系にそろえます。例えば、ミリメートルとメートルを混在させると、答えが1000倍ずれます。

計算例

半径1ミリメートル（0.001 m）、表面張力0.072 N/mの球形の水滴を考えます。これはこの計算ツールの既定値で、25 °Cの水の値71.98 mN/mに一致します。

水滴は球形なので、$R_1 = R_2 = R$となり、次のようになります。

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

水滴の内部の圧力は、周囲の空気圧より144 Pa高くなります。これは標準大気圧の101,325 Paに比べれば小さい値ですが、水滴が小さくなると影響は急速に大きくなります。大きさが十分の一、つまり半径0.1 mmの水滴では、圧力差は十倍の1,440 Paになります。半径0.01 mmの水滴では14,400 Paに達し、大気圧の14%を超えます。

この式が適用される場面

• 水滴と気泡：小さな水滴の内部で圧力が高くなると、オストワルド熟成が進みます。これは、高圧側から低圧側へ内容物が拡散することで、エマルション中の小さな液滴が縮み、大きな液滴が成長する現象です。
• 毛管現象：細い管の内部で曲面状の液面が液体を上向きに引き上げます。これが、ペーパータオルや細いガラス管を水が上昇する理由です。
• 呼吸：肺にある肺胞と呼ばれる小さな空気の袋は、小さな気泡のようにふるまいます。肺サーファクタントという物質が表面張力を下げるため、小さな肺胞は式が予測する圧力で潰れずにすみます。サーファクタントが十分にない早産児は、呼吸窮迫症候群を発症することがあります。サーファクタントがないと肺が潰れるためです。
• インクジェット印刷：プリンターのノズルはごく小さな液滴をつくり、そこでは曲率による圧力が、インクがノズルから出る様子を左右するほど大きくなります。
• 材料科学：液体が表面を濡らす様子や薄い被膜の挙動を測定する装置では、この式を使って水滴の形状と表面エネルギーを関連付けます。

歴史

人々は、その理由が説明されるずっと前から、液体が細い管を上っていくのを観察していました。ロンドン王立協会のフランシス・ホークスビーとジェームズ・ジュリンは、液体が細い管や板の間でどれだけ上昇するかを実験で測定しました。上昇の高さと管の幅を結びつけるジュリンの法則は、彼の名にちなんで名付けられています。

1805年に、トマス・ヤングは流体の凝集力に関する論文を発表し、ラプラスは天体力学の論考の補遺を発表しました。ヤングの扱いは主に記述的で、数学的な形にまとめたのはラプラスでした。二人の成果を合わせたものが、ヤング・ラプラスの式になりました。のちにカール・フリードリヒ・ガウスが理論を洗練させ、ジョゼフ・プラトーはシャボン膜の実験でそれを発展させました。

よくある質問

ヤング・ラプラスの式は何を計算しますか？ 流体の表面張力と界面の曲率に基づいて、2つの流体間の曲面状界面を挟む圧力差を計算します。

小さな水滴の内部で圧力が高くなるのはなぜですか。 表面張力は、大きさに関係なく同じ固有の強さで表面を内側へ引きますが、小さな水滴ではその引く力がより小さな面積に作用するため、効果が集中して圧力が高くなります。圧力は半径に反比例します。半径を半分にすると、圧力差は二倍になります。

温度は式にどのように影響しますか。 温度は表面張力の値を変え、温度が上がると表面張力は低下します。水の場合、表面張力は20 °Cの0.0727 N/mから80 °Cの0.0627 N/mまで下がり、温度が摂氏一度上がるごとに約0.17 mN/m減少します。高温の系に室温の表面張力の値を使うと、実際の圧力差を過小評価することになります。

この式は球以外の形にも使えますか。 はい。二つの別々の半径$R_1$と$R_2$を使う一般形は、楕円体や鞍形の界面を含む、あらゆる曲面に使えます。球に限られるのは、簡略化した$2\gamma/R$の形だけです。この計算ツールは正の半径だけを受け付けるため、鞍形は扱えません。

ヤング・ラプラスの式はヤングの式とどう違いますか？ ヤング・ラプラスの式は、曲面状界面によって生じる圧力差を求めます。一方、ヤングの式はトマス・ヤングに由来する別の関係式で、関係する三つの材料の表面エネルギーに基づき、固体表面と接する位置で水滴がつくる接触角を求めます。両者は異なるものを表しますが、表面上に置かれた水滴を解析する際に併用されることがあります。

水滴はどのくらい小さくなると式が成り立たなくなりますか。 この式は、身近な大きさの液滴や気泡ではよく成り立ちます。数ナノメートル程度のスケールでは、式が無視している追加の力、たとえば線張力や表面間の分子スケールの力が、無視できないほど大きくなり、より詳細なモデルが必要になります。

参考文献

1. Physics Today (American Institute of Physics). Two hundred years of capillarity research. Two hundred years of capillarity research — 1805年のヤングの論文とラプラスの補遺、ホークスビーとジュリンの実験、ヤングは定性的、ラプラスは数学的な扱い。
2. International Association for the Properties of Water and Steam. Revised Release on Surface Tension of Ordinary Water Substance (2014). IAPWS surface tension release — 水の表面張力は、20 °Cで72.74 mN/m、25 °Cで71.98、80 °Cで62.68。
3. National Institute of Standards and Technology. NIST Guide to the SI, Appendix B.8. NIST SP 811 Appendix B.8 — 標準大気圧 = 1.013 25 × 10⁵ Pa。
4. National Heart, Lung, and Blood Institute. Respiratory Distress Syndrome. NHLBI respiratory distress syndrome — 呼吸窮迫症候群はサーファクタントの不足が原因で、サーファクタントがないと肺が潰れます。