ヤング・ラプラス方程式ソルバー | 界面圧力

ヤング・ラプラスの式とは？

ヤング・ラプラスの式は流体力学で用いられる公式で、水滴の表面やシャボン玉のような、2つの流体間の曲面状界面を挟む圧力差を求めます。この圧力差が、流体の表面張力と界面の曲がり具合に依存することを示します。この式により、水滴や気泡の内部で圧力が高くなり、小さいものほど大きいものより内部圧力が高くなる理由を説明できます。

これはトーマス・ヤングとピエール＝シモン・ラプラスにちなんで名付けられたもので、二人はそれぞれ1800年代初頭にこの関係を説明しました。

ヤング・ラプラスの式の公式

この式の一般形は次のとおりです。

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$は界面を挟む圧力差で、単位はパスカル（Pa）です
• $\gamma$（ガンマ）は流体の表面張力で、単位はニュートン毎メートル（N/m）です
• $R_1$と$R_2$は、曲面の2つの主曲率半径で、単位はメートル（m）です

曲面は方向によって異なる曲がり方をします。$R_1$と$R_2$は、互いに直交する2方向に沿った曲率を表します。水滴や気泡のような球面では、$R_1$と$R_2$が等しいため、式は次のように簡略化されます。

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

符号の規約

曲面状界面では、表面が膨らんでいる側、つまり表面が張り出している側とは反対の凹側で、圧力が常に高くなります。水滴や気泡では、内部の圧力が外部より高いということです。曲率中心がこの高圧側にある場合、その半径は正とします。ある方向で表面が反対向きに曲がる場合、その半径は負とします。接触した2つの粒子の間の液体のくびれのような鞍型の界面では、正の半径と負の半径が1つずつ存在し、2つの項は一部相殺されます。

この計算機では正の半径のみを使用します。

特殊な場合

• 平面：半径が無限大に近づくと、式におけるその項はゼロに近づきます。完全に平らな界面では、圧力差はまったくありません。
• 円柱：ノズルから出る液体噴流のような長い円柱面は、1方向にしか曲がっていません。一方の半径は円柱の半径で、もう一方は長さ方向に無限大となるため、式は$\Delta P = \gamma / R$に簡略化されます。これは、同じ半径を持つ球面の圧力差の半分です。
• 非常に小さいスケール：およそ10～20ナノメートル未満では、線張力などの追加効果が無視できなくなり、単純な式の精度が低下します。

ヤング・ラプラスの式で圧力差を計算する方法

1. 求める温度における流体の表面張力を、N/m単位で調べます。表面張力は温度が上がると低下します。
2. 第1主曲率半径$R_1$をメートル単位で測定または推定します。
3. 第2主曲率半径$R_2$をメートル単位で測定または推定します。球面では$R_1$と同じ値を使用します。円柱では、無限大の代わりとして非常に大きな数を使用します。
4. 表面張力に$1/R_1$と$1/R_2$の和を掛けます。結果がパスカル単位の圧力差です。

すべての値をSI単位系にそろえます。例えば、ミリメートルとメートルを混在させると、答えが1000倍ずれます。

計算例

半径1ミリメートル（0.001 m）、表面張力0.072 N/mの球形の水滴を考えます。これは室温付近の水における典型的な値です。

水滴は球形なので、$R_1 = R_2 = R$となり、次のようになります。

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

水滴内部の圧力は、周囲の空気圧より144 Pa高くなります。これは通常の大気圧である約101,325 Paと比べれば小さい値ですが、水滴が小さくなるとこの効果は急速に大きくなります。半径が10分の1の0.1 mmの水滴では、圧力差が10倍の1,440 Paになります。半径0.01 mmの水滴では14,400 Paに達し、大気圧の14%を超えます。

この式が適用される場面

• 水滴と気泡：小さな水滴の内部で圧力が高くなると、オストワルド熟成が進みます。これは、高圧側から低圧側へ内容物が拡散することで、エマルション中の小さな水滴が縮み、大きな水滴が成長する現象です。
• 毛管現象：細い管の内部で曲面状の液面が液体を上向きに引き上げます。これが、紙タオルや細いガラス管を水が上昇する理由です。
• 呼吸：肺にある肺胞と呼ばれる小さな空気の袋は、小さな気泡のように振る舞います。肺サーファクタントと呼ばれる被膜が表面張力を低下させるため、肺胞は式から予測される圧力によってつぶれずにすみます。サーファクタントが十分でない未熟児は、この理由で呼吸障害を起こすことがあります。
• インクジェット印刷：プリンターのノズルは直径数十マイクロメートルの水滴を形成します。この大きさでは、曲率による圧力がインクのノズルからの出方を左右するほど大きくなります。
• 材料科学：液体が表面を濡らす様子や薄い被膜の挙動を測定する装置では、この式を使って水滴の形状と表面エネルギーを関連付けます。

歴史

人々は、なぜ液体が細い管を上昇するのかが説明されるずっと前から、その現象を観察していました。1700年代初頭、フランシス・ホークスビーは細い管ほど毛管上昇が大きくなることを実験で示し、1718年にはジェームズ・ジュリンが、上昇高さは管の直径に反比例すると説明しました。

トーマス・ヤングは1805年の論文で基礎となる物理を説明し、流体の性質として表面張力を導入するとともに、それを曲面を挟む圧力と関連付けましたが、その扱いは主に記述的なものでした。1806年、ピエール＝シモン・ラプラスは微積分を用いて数学的な形を導き、独立に同じ関係に到達しました。二人の研究を合わせたものが、ヤング・ラプラスの式となりました。その後、カール・フリードリヒ・ガウスやジョゼフ・プラトーを含む科学者たちが、1800年代を通じてこの理論を検証し、発展させました。

よくある質問

ヤング・ラプラスの式は何を計算しますか？ 流体の表面張力と界面の曲率に基づいて、2つの流体間の曲面状界面を挟む圧力差を計算します。

なぜ小さい水滴ほど内部の圧力が高いのですか？ 表面張力は水滴の縁に沿って引っ張る力として働き、その引っ張り力は半径に比例して大きくなります。一方、圧力が押す面積は半径の2乗に比例して大きくなります。両者をつり合わせると$\Delta P = 2\gamma/R$となるため、圧力差は半径に反比例します。半径が半分になると、圧力差は2倍になります。

温度はこの式にどのような影響を与えますか？ 温度によって表面張力の値が変化し、表面張力は温度が上がると低下します。水の場合、表面張力は20 °Cにおける約0.073 N/mから、80 °Cではおよそ0.063 N/mまで低下します。これは摂氏1度あたり約0.17 mN/mの低下です。室温の表面張力は熱い水の表面張力より高いため、熱い系に室温の値を使うと圧力差を過大に見積もることになります。

球以外の形状にもこの式は使えますか？ はい。2つの半径$R_1$と$R_2$を別々に用いる一般形は、楕円体や鞍型の界面を含む、あらゆる曲面に適用できます。簡略化された$2\gamma/R$の形が球面に限られます。

ヤング・ラプラスの式はヤングの式とどう違いますか？ ヤング・ラプラスの式は、曲面状界面によって生じる圧力差を求めます。一方、ヤングの式はトーマス・ヤングに由来する別の関係式で、関係する3つの材料の表面エネルギーに基づき、固体表面と接する位置で水滴がつくる接触角を求めます。両者は異なるものを表しますが、表面上に置かれた水滴を解析する際に併用されることがあります。

式が適用できなくなる前の水滴の大きさはどの程度ですか？ この式は、およそ1マイクロメートルまで正確です。約10～20ナノメートル未満では、線張力や表面間に働く分子スケールの力など、式が考慮しない追加の力が無視できない大きさになり、より詳細なモデルが必要になります。

参考文献

1. Young, T. (1805). "流体の凝集力に関する試論." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, 第10巻補遺.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). 毛管現象と濡れ現象：液滴、気泡、真珠、波. Springer.
4. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). 表面の物理化学（第6版）. Wiley-Interscience.