ヤング-ラプラス方程式ソルバー：曲面間の圧力差を計算する

はじめに

ヤング-ラプラス方程式は、流体力学における基本的な公式であり、液体-気体または液体-液体のような二つの流体間の曲面における圧力差を説明します。この圧力差は、表面張力と界面の曲率によって生じます。私たちのヤング-ラプラス方程式ソルバーは、表面張力と主曲率半径を入力することで、この圧力差を簡単かつ正確に計算する方法を提供します。滴、気泡、毛細管現象、または他の表面現象を研究している場合でも、このツールは複雑な表面張力の問題に迅速な解決策を提供します。

この方程式は、19世紀初頭に開発されたトーマス・ヤングとピエール＝シモン・ラプラスにちなんで名付けられ、マイクロ流体、材料科学、生物システム、産業プロセスなど、数多くの科学的および工学的応用において不可欠です。表面張力、曲率、および圧力差の関係を理解することで、研究者やエンジニアは流体界面を含むシステムの設計と分析をより良く行うことができます。

ヤング-ラプラス方程式の説明

数式

ヤング-ラプラス方程式は、流体界面における圧力差を表面張力と主曲率半径に関連付けます：

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

ここで：

• $\Delta P$ は界面間の圧力差（Pa）
• $\gamma$ は表面張力（N/m）
• $R_1$ と $R_2$ は主曲率半径（m）

球状の界面（滴や気泡など）の場合、$R_1 = R_2 = R$ とすると、方程式は次のように簡略化されます：

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

変数の説明

1. 表面張力 ($\gamma$):

   • ニュートン毎メートル（N/m）または同様にジュール毎平方メートル（J/m²）で測定されます
   • 液体の表面積を1単位増加させるために必要なエネルギーを表します
   • 温度や関与する特定の流体によって異なります
   • 一般的な値：
     • 水（20°C）：0.072 N/m
     • エタノール（20°C）：0.022 N/m
     • 水銀（20°C）：0.485 N/m

2. 主曲率半径 ($R_1$ と $R_2$):

   • メートル（m）で測定されます
   • 表面のある点で曲率を最もよくフィットさせる二つの垂直な円の半径を表します
   • 正の値は法線が向いている側の曲率中心を示し
   • 負の値は反対側の曲率中心を示します

3. 圧力差 ($\Delta P$):

   • パスカル（Pa）で測定されます
   • 凹面と凸面の間の圧力差を表します
   • 規約として、$\Delta P = P_{inside} - P_{outside}$ は滴や気泡のような閉じた表面に対して成り立ちます

符号規約

ヤング-ラプラス方程式の符号規約は重要です：

• 凸面（滴の外側のような）の場合、半径は正です
• 凹面（気泡の内側のような）の場合、半径は負です
• 圧力は常に界面の凹面側で高くなります

特殊なケースと考慮事項

1. 平面表面：いずれかの半径が無限大に近づくと、その圧力差への寄与はゼロに近づきます。完全に平らな表面（$R_1 = R_2 = \infty$）では、$\Delta P = 0$ です。

2. 円柱面：円柱面（毛細管内の液体のような）の場合、一つの半径は有限（$R_1$）で、もう一つは無限（$R_2 = \infty$）であり、$\Delta P = \gamma/R_1$ となります。

3. 非常に小さい半径：微視的スケール（例：ナノ滴）では、ライン張力のような追加の効果が重要になる場合があり、古典的なヤング-ラプラス方程式は修正が必要になることがあります。

4. 温度効果：表面張力は通常、温度が上昇するにつれて減少し、圧力差に影響を与えます。臨界点近くでは、表面張力はゼロに近づき、ヤング-ラプラス効果は無視できるものになります。

5. 界面活性剤：界面活性剤の存在は表面張力を減少させ、したがって界面を越える圧力差を減少させます。

ヤング-ラプラス方程式ソルバーの使い方

私たちの計算機は、曲面流体界面間の圧力差を決定するための簡単な方法を提供します。正確な結果を得るために、次の手順に従ってください：

ステップバイステップガイド

1. 表面張力 ($\gamma$) を入力:

   • 表面張力の値をN/mで入力します
   • デフォルト値は0.072 N/m（水、25°C）
   • 他の液体については、標準表や実験データを参照してください

2. 第一主曲率半径 ($R_1$) を入力:

   • 第一半径をメートルで入力します
   • 球状の界面の場合、これは球の半径になります
   • 円柱状の界面の場合、これは円柱の半径になります

3. 第二主曲率半径 ($R_2$) を入力:

   • 第二半径をメートルで入力します
   • 球状の界面の場合、これは$R_1$と同じになります
   • 円柱状の界面の場合は、非常に大きな値または無限を使用します

4. 結果を表示:

   • 計算機は自動的に圧力差を計算します
   • 結果はパスカル（Pa）で表示されます
   • ビジュアライゼーションは入力に応じて更新されます

5. 結果をコピーまたは共有:

   • 「結果をコピー」ボタンを使用して、計算された値をクリップボードにコピーします
   • レポート、論文、またはさらなる計算に含めるのに便利です

正確な計算のためのヒント

• 一貫した単位を使用: すべての測定がSI単位（表面張力はN/m、半径はm）であることを確認してください
• 温度を考慮: 表面張力は温度によって変化するため、条件に適した値を使用してください
• 半径を確認: 凸面の場合、両方の半径は正、凹面の場合は負である必要があります
• 球状の界面の場合: 両方の半径を同じ値に設定します
• 円柱状の界面の場合: 一方の半径を円柱の半径に設定し、もう一方を非常に大きな値に設定します

ヤング-ラプラス方程式の利用例

ヤング-ラプラス方程式は、さまざまな科学的および工学的分野で多くの応用があります：

1. 滴と気泡の分析

この方程式は、滴や気泡の挙動を理解するための基本です。以下のようなプロセスを説明します：

• オストワルド熟成: エマルジョン内の小さな滴が縮小し、大きな滴が成長するのは圧力差によるものです
• 気泡の安定性: フォームや気泡システムの安定性の予測
• インクジェット印刷: 精密印刷における滴の形成と配置の制御

2. 毛細管現象

ヤング-ラプラス方程式は、毛細管上昇や沈降を説明し、定量化するのに役立ちます：

• 多孔質材料におけるウィッキング: 繊維、紙、土壌における流体輸送の予測
• マイクロ流体デバイス: 精密な流体制御のためのチャンネルと接合部の設計
• 植物生理学: 植物組織内の水輸送の理解

3. 生物医学的応用

医学や生物学において、この方程式は以下のような用途に使用されます：

• 肺サーファクタントの機能: 肺胞の表面張力と呼吸力学の分析
• 細胞膜の力学: 細胞の形状と変形の研究
• ドラッグデリバリーシステム: 制御放出のためのマイクロカプセルやベシクルの設計

4. 材料科学

材料開発における応用には以下が含まれます：

• 接触角測定: 表面特性と濡れ性の決定
• 薄膜の安定性: 液体膜の破裂とパターン形成の予測
• ナノバブル技術: 表面に付着したナノバブルの応用の開発

5. 工業プロセス

多くの工業的応用は、界面間の圧力差を理解することに依存しています：

• 油回収の強化: 油抽出のための界面活性剤の配合の最適化
• フォーム生成: フォーム内の気泡サイズ分布の制御
• コーティング技術: 均一な液体膜の堆積を確保

実用例：水滴におけるラプラス圧の計算

半径1mmの球状水滴を考えます：

• 水の表面張力：$\gamma = 0.072$ N/m
• 半径：$R = 0.001$ m
• 球状界面の簡略化された方程式を使用すると：$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$
• $\Delta P = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144$ Pa

これは、滴内部の圧力が周囲の空気圧よりも144 Pa高いことを意味します。

ヤング-ラプラス方程式の代替手段

ヤング-ラプラス方程式は基本的ですが、特定の状況に対しては代替アプローチや拡張があります：

1. ケルビン方程式：曲面の蒸気圧を平面表面のそれに関連付け、凝縮と蒸発の研究に役立ちます。

2. ギブス-トムソン効果：粒子サイズが溶解度、融点、その他の熱力学的特性に与える影響を説明します。

3. ヘルフリッヒモデル：生物膜のような弾性膜の分析に拡張し、曲げ剛性を組み込みます。

4. 数値シミュレーション：複雑な幾何学に対しては、解析的解法よりもボリュームオブ流体（VOF）やレベルセット法などの計算手法が適切な場合があります。

5. 分子動力学：非常に小さなスケール（ナノメートル）では、連続体の仮定が破綻し、分子動力学シミュレーションがより正確な結果を提供します。

ヤング-ラプラス方程式の歴史

ヤング-ラプラス方程式の発展は、表面現象と毛細管現象の理解における重要なマイルストーンを表しています。

初期の観察と理論

毛細管現象の研究は古代から行われていましたが、体系的な科学的調査はルネサンス期に始まりました：

• レオナルド・ダ・ヴィンチ（15世紀）：細い管内の毛細管上昇に関する詳細な観察を行いました
• フランシス・ホークスビー（18世紀初頭）：毛細管上昇に関する定量的実験を行いました
• ジェームズ・ジュリン（1718年）：管の直径に対する毛細管上昇の高さに関連する「ジュリンの法則」を定式化しました

方程式の発展

私たちが知っている方程式は、二人の科学者が独立に取り組んだ結果として現れました：

• トーマス・ヤング（1805年）：『流体の凝集に関するエッセイ』をロイヤルソサエティの哲学的取引に発表し、表面張力と曲率間の関係を導入しました。

• ピエール＝シモン・ラプラス（1806年）：彼の大著『天体力学』において、毛細管現象のための数学的枠組みを発展させ、曲率に関連する圧力差を導出しました。

ヤングの物理的洞察とラプラスの数学的厳密さの組み合わせが、私たちが現在呼んでいるヤング-ラプラス方程式を生み出しました。

洗練と拡張

その後の数世代にわたり、方程式は洗練され、拡張されました：

• カール・フリードリッヒ・ガウス（1830年）：毛細管現象に対する変分アプローチを提供し、液体表面がエネルギーを最小化する形状を採用することを示しました
• ジョセフ・プラトー（19世紀中頃）：石鹸膜に関する広範な実験を行い、ヤング-ラプラス方程式の予測を検証しました
• ロート・レイリー（19世紀後半）：液体ジェットの安定性や滴の形成を研究するために方程式を適用しました
• 現代（20世紀-21世紀）：複雑な幾何学に対する方程式を解決するための計算手法の発展と、重力、電場、界面活性剤のような追加の効果の組み込み

今日、ヤング-ラプラス方程式は界面科学の基盤として残り、技術がマイクロおよびナノスケールに進むにつれて新しい応用を見出しています。

コード例

以下は、さまざまなプログラミング言語におけるヤング-ラプラス方程式の実装です：

1' ヤング-ラプラス方程式（球状界面）のためのExcel数式
2=2*B2/C2
3
4' ここで：
5' B2 は表面張力（N/m）
6' C2 は半径（m）
7' 結果はPaで表示されます
8
9' 二つの主半径の一般的な場合：
10=B2*(1/C2+1/D2)
11
12' ここで：
13' B2 は表面張力（N/m）
14' C2 は第一半径（m）
15' D2 は第二半径（m）
16

1def young_laplace_pressure(surface_tension, radius1, radius2):
2    """
3    ヤング-ラプラス方程式を使用して圧力差を計算します。
4    
5    パラメータ：
6    surface_tension (float): 表面張力（N/m）
7    radius1 (float): 第一主曲率半径（m）
8    radius2 (float): 第二主曲率半径（m）
9    
10    戻り値：
11    float: 圧力差（Pa）
12    """
13    if radius1 == 0 or radius2 == 0:
14        raise ValueError("半径はゼロであってはいけません")
15    
16    return surface_tension * (1/radius1 + 1/radius2)
17
18# 球状水滴の例
19surface_tension_water = 0.072  # N/m（20°C）
20droplet_radius = 0.001  # 1 mmをメートルに変換
21
22# 球の場合、両方の半径は同じ
23pressure_diff = young_laplace_pressure(surface_tension_water, droplet_radius, droplet_radius)
24print(f"圧力差: {pressure_diff:.2f} Pa")
25

1/**
2 * ヤング-ラプラス方程式を使用して圧力差を計算します
3 * @param {number} surfaceTension - 表面張力（N/m）
4 * @param {number} radius1 - 第一主曲率半径（m）
5 * @param {number} radius2 - 第二主曲率半径（m）
6 * @returns {number} 圧力差（Pa）
7 */
8function youngLaplacePressure(surfaceTension, radius1, radius2) {
9  if (radius1 === 0 || radius2 === 0) {
10    throw new Error("半径はゼロであってはいけません");
11  }
12  
13  return surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
14}
15
16// 毛細管内の水-空気界面の例
17const surfaceTensionWater = 0.072; // N/m（20°C）
18const tubeRadius = 0.0005; // 0.5 mmをメートルに変換
19// 円柱状の表面の場合、一方の半径は円柱の半径、もう一方は無限大
20const infiniteRadius = Number.MAX_VALUE;
21
22const pressureDiff = youngLaplacePressure(surfaceTensionWater, tubeRadius, infiniteRadius);
23console.log(`圧力差: ${pressureDiff.toFixed(2)} Pa`);
24

1public class YoungLaplaceCalculator {
2    /**
3     * ヤング-ラプラス方程式を使用して圧力差を計算します
4     * 
5     * @param surfaceTension 表面張力（N/m）
6     * @param radius1 第一主曲率半径（m）
7     * @param radius2 第二主曲率半径（m）
8     * @return 圧力差（Pa）
9     */
10    public static double calculatePressureDifference(double surfaceTension, double radius1, double radius2) {
11        if (radius1 == 0 || radius2 == 0) {
12            throw new IllegalArgumentException("半径はゼロであってはいけません");
13        }
14        
15        return surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
16    }
17    
18    public static void main(String[] args) {
19        // 石鹸泡の例
20        double surfaceTensionSoap = 0.025; // N/m
21        double bubbleRadius = 0.01; // 1 cmをメートルに変換
22        
23        // 球状泡の場合、両方の半径は同じ
24        // 注：石鹸泡の場合、二つの界面（内側と外側）があるため、
25        // それを2倍します
26        double pressureDiff = 2 * calculatePressureDifference(surfaceTensionSoap, bubbleRadius, bubbleRadius);
27        
28        System.out.printf("石鹸泡の圧力差: %.2f Pa%n", pressureDiff);
29    }
30}
31

1function deltaP = youngLaplacePressure(surfaceTension, radius1, radius2)
2    % ヤング-ラプラス方程式を使用して圧力差を計算します
3    %
4    % 入力：
5    %   surfaceTension - 表面張力（N/m）
6    %   radius1 - 第一主曲率半径（m）
7    %   radius2 - 第二主曲率半径（m）
8    %
9    % 出力：
10    %   deltaP - 圧力差（Pa）
11    
12    if radius1 == 0 || radius2 == 0
13        error('半径はゼロであってはいけません');
14    end
15    
16    deltaP = surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
17end
18
19% 異なる液体の1 mm半径の球状滴の圧力を比較する例
20surfaceTension = 0.072; % N/m（水、20°C）
21radii = logspace(-6, -2, 100); % 半径を1 µmから1 cmまで
22pressures = zeros(size(radii));
23
24for i = 1:length(radii)
25    % 球状滴の場合、両方の主半径は同じ
26    pressures(i) = youngLaplacePressure(surfaceTension, radii(i), radii(i));
27end
28
29% 対数-対数プロットを作成
30loglog(radii, pressures, 'LineWidth', 2);
31grid on;
32xlabel('滴の半径 (m)');
33ylabel('圧力差 (Pa)');
34title('水の滴サイズに対するヤング-ラプラス圧');
35

1#include <iostream>
2#include <stdexcept>
3#include <cmath>
4#include <iomanip>
5
6/**
7 * ヤング-ラプラス方程式を使用して圧力差を計算します
8 * 
9 * @param surfaceTension 表面張力（N/m）
10 * @param radius1 第一主曲率半径（m）
11 * @param radius2 第二主曲率半径（m）
12 * @return 圧力差（Pa）
13 */
14double youngLaplacePressure(double surfaceTension, double radius1, double radius2) {
15    if (radius1 == 0.0 || radius2 == 0.0) {
16        throw std::invalid_argument("半径はゼロであってはいけません");
17    }
18    
19    return surfaceTension * (1.0/radius1 + 1.0/radius2);
20}
21
22int main() {
23    try {
24        // 水銀滴の例
25        double surfaceTensionMercury = 0.485; // N/m（20°C）
26        double dropletRadius = 0.002; // 2 mmをメートルに変換
27        
28        // 球状滴の場合、両方の半径は同じ
29        double pressureDiff = youngLaplacePressure(surfaceTensionMercury, dropletRadius, dropletRadius);
30        
31        std::cout << "水銀滴内の圧力差: " 
32                  << std::fixed << std::setprecision(2) << pressureDiff 
33                  << " Pa" << std::endl;
34                  
35        // 毛細管内の円柱状界面の例
36        double tubeRadius = 0.0001; // 0.1 mm
37        double infiniteRadius = std::numeric_limits<double>::max();
38        
39        double capillaryPressure = youngLaplacePressure(surfaceTensionMercury, tubeRadius, infiniteRadius);
40        
41        std::cout << "水銀毛細管内の圧力差: " 
42                  << std::fixed << std::setprecision(2) << capillaryPressure 
43                  << " Pa" << std::endl;
44    }
45    catch (const std::exception& e) {
46        std::cerr << "エラー: " << e.what() << std::endl;
47        return 1;
48    }
49    
50    return 0;
51}
52

1#' ヤング-ラプラス方程式を使用して圧力差を計算します
2#'
3#' @param surface_tension 表面張力（N/m）
4#' @param radius1 第一主曲率半径（m）
5#' @param radius2 第二主曲率半径（m）
6#' @return 圧力差（Pa）
7#' @examples
8#' young_laplace_pressure(0.072, 0.001, 0.001)
9young_laplace_pressure <- function(surface_tension, radius1, radius2) {
10  if (radius1 == 0 || radius2 == 0) {
11    stop("半径はゼロであってはいけません")
12  }
13  
14  return(surface_tension * (1/radius1 + 1/radius2))
15}
16
17# 異なる液体の同じ幾何学に対する圧力を計算して比較する例
18liquids <- data.frame(
19  name = c("水", "エタノール", "水銀", "ベンゼン", "血漿"),
20  surface_tension = c(0.072, 0.022, 0.485, 0.029, 0.058)
21)
22
23# 1 mm半径の球状滴の圧力を計算
24droplet_radius <- 0.001 # m
25liquids$pressure <- sapply(liquids$surface_tension, function(st) {
26  young_laplace_pressure(st, droplet_radius, droplet_radius)
27})
28
29# バープロットを作成
30barplot(liquids$pressure, names.arg = liquids$name, 
31        ylab = "圧力差 (Pa)",
32        main = "異なる液体の1 mm滴に対するラプラス圧",
33        col = "lightblue")
34
35# 結果を表示
36print(liquids[, c("name", "surface_tension", "pressure")])
37

よくある質問

ヤング-ラプラス方程式は何に使用されますか？

ヤング-ラプラス方程式は、表面張力による曲面間の圧力差を計算するために使用されます。毛細管現象、滴の形成、気泡の安定性、さまざまなマイクロ流体応用を理解するために不可欠です。この方程式は、エンジニアや科学者が流体界面を含むシステムを設計し、異なる条件下での挙動を予測するのに役立ちます。

なぜ小さな滴の内部圧力が高いのですか？

小さな滴は、より大きな曲率を持っているため、内部圧力が高くなります。ヤング-ラプラス方程式によれば、圧力差は曲率の逆数（1/R）に比例します。半径が減少すると、曲率が増加し、圧力差が高くなります。これは、小さな水滴が大きなものよりも早く蒸発する理由や、泡の中の小さな気泡が縮小し、大きなものが成長する理由を説明します。

温度はヤング-ラプラス方程式にどのように影響しますか？

温度は主に、表面張力への影響を通じてヤング-ラプラス方程式に影響を与えます。ほとんどの液体において、表面張力は温度が上昇するにつれて直線的に減少します。これは、温度が上昇すると、幾何学が一定であれば、圧力差も減少することを意味します。臨界点近くでは、表面張力はゼロに近づき、ヤング-ラプラス効果は無視できるものになります。

ヤング-ラプラス方程式は非球状の表面にも適用できますか？

はい、ヤング-ラプラス方程式の一般的な形式は、球状の表面だけでなく、任意の曲面にも適用されます。方程式は二つの主曲率半径を使用し、非球状の表面では異なる場合があります。複雑な幾何学の場合、これらの半径は表面の各点で異なる場合があり、全体の界面形状を解決するためにより洗練された数学的処理や数値的方法が必要です。

ヤング-ラプラス方程式と毛細管上昇の関係は何ですか？

ヤング-ラプラス方程式は、毛細管上昇を直接説明します。狭い管内では、曲がったメニスカスが方程式に従って圧力差を生じさせます。この圧力差は、重力に対抗して液体を上昇させる原因となります。毛細管上昇の高さは、ヤング-ラプラス方程式から得られた圧力差を液体柱の静水圧（ρgh）と等しく設定することによって導出され、h = 2γcosθ/(ρgr)という有名な公式が得られます。

非常に小さなスケールでヤング-ラプラス方程式の精度はどのくらいですか？

ヤング-ラプラス方程式は、一般的に微視的スケール（マイクロメートル）まで正確ですが、ナノスケールでは追加の効果が重要になります。これには、三相接触線でのライン張力、薄膜における剥離圧、分子間相互作用が含まれます。これらのスケールでは、連続体の仮定が破綻し、古典的なヤング-ラプラス方程式には修正項や分子動力学的アプローチが必要になることがあります。

ヤング-ラプラス方程式とヤングの方程式の違いは何ですか？

関連性はありますが、これらの方程式は流体界面の異なる側面を説明します。ヤング-ラプラス方程式は、圧力差を曲率と張力に関連付けます。一方、ヤングの方程式（時にはヤングの関係と呼ばれる）は、液体-気体界面が固体表面に接触する際に形成される接触角を説明し、三つの相（固体-気体、固体-液体、液体-気体）間の界面張力に関連付けます。両方の方程式はトーマス・ヤングによって開発され、界面現象を理解する上で基本的です。

界面活性剤はヤング-ラプラス圧にどのように影響しますか？

界面活性剤は、流体界面に吸着することで表面張力を減少させます。ヤング-ラプラス方程式によれば、これは直接的に界面を越える圧力差を減少させます。さらに、界面活性剤は不均一に分布することで表面張力の勾配（マランゴニ効果）を生じ、静的なヤング-ラプラス方程式では捉えられない複雑な流れや動的挙動を引き起こすことがあります。これが、界面活性剤がフォームやエマルジョンを安定化させる理由です。圧力差を引き起こすコアリセンスを減少させます。

ヤング-ラプラス方程式はペンダント滴の形状を予測できますか？

はい、ヤング-ラプラス方程式と重力効果を組み合わせることで、ペンダント滴の形状を予測できます。このような場合、方程式は平均曲率に関するものとして書かれ、境界値問題として数値的に解かれます。このアプローチは、表面張力を測定するためのペンダント滴法の基礎であり、観察された滴の形状をヤング-ラプラス方程式から計算された理論的プロファイルに一致させます。

ヤング-ラプラス方程式に使用する単位は何ですか？

一貫した結果を得るために、ヤング-ラプラス方程式ではSI単位を使用してください：

• 表面張力（γ）：ニュートン毎メートル（N/m）
• 曲率半径（R₁、R₂）：メートル（m）
• 結果の圧力差（ΔP）：パスカル（Pa）

他の単位系を使用する場合は、一貫性を確保してください。たとえば、CGS単位系では、表面張力はダイン/cm、半径はcm、圧力はダイン/cm²を使用します。

参考文献

1. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.

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