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単位円計算機：正確な正弦・余弦・正接

角度を度またはラジアンで入力すると、単位円上の座標、正弦、余弦、正接、基準角、象限を求めます。主要な角度の厳密値に対応しています。

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
ローディング計算機...
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ドキュメンテーション

単位円計算機

単位円は、グラフの原点を中心に描いた半径1の円です。単位円計算機は1つの角度を受け取り、その角度が円と交わる位置、つまり点 (x, y)、正弦、余弦、正接、基準角、象限を示します。このページでは角度を度またはラジアンで読み取り、16個の標準角について√3/2のような厳密値を表示します。

計算機の機能

利用者は1つの角度を入力し、度またはラジアンを選択します。ページには次の結果が表示されます。

  • 角度が円と交わる点 (x, y)
  • cos θ、sin θ、tan θ
  • 度およびラジアンで表した基準角
  • 象限、または角度が軸上にある場合はその軸
  • 両方の単位で表した角度、および1回転の範囲に折りたたんだ同じ角度

16個の標準角では、答えを厳密な閉形式で表示し、その下に小数を示します。それ以外の角度は有効数字8桁で表示されます。丸められるのは表示だけです。

単位円の公式

角度は正のx軸から反時計回りに測ります。角度θで引いた半直線は円と1点で交わり、その点の2つの座標が余弦と正弦です。

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

ここで、xxは水平方向の座標、yyは垂直方向の座標、θ\thetaは角度です。

半径は1なので、座標と2つの関数値は、2つの名称で呼ばれる同じ数の組です。円を他の大きさではなく半径1で描く理由はここにあります。正接も同じ数の組から求められます。

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

円周上のすべての点は、辺xxとyy、斜辺1をもつ直角三角形にピタゴラスの定理を適用した関係も満たします。

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

度数法と弧度法

このページはどちらの単位も受け付け、両方で結果を示します。両者は、半回転がπラジアンであることによって関係付けられます。

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ ここで、$\theta_{\mathrm{deg}}$は度で表した角度、$\theta_{\mathrm{rad}}$は同じ角度をラジアンで表したものです。 ### 1回転の範囲に折りたたむ 角度は負になることがあり、1回転を超えることもあります。円上の点は360°ごとに繰り返されるため、ページではまず角度を0°以上、360°未満の範囲に折りたたみます。 $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ ここで、$\theta$は入力された度単位の角度、$\theta_0$は1回転の範囲内で同じ方向を表した角度です。750°は30°に、−30°は330°に折りたたまれます。この折りたたみは、余りが正確に求められる度単位で行います。 ### 基準角と象限 基準角は、半直線とx軸の間の鋭角です。90°を超えることはありません。 $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{それ以外の場合} \end{cases}$$ ここで、$\theta_0$は折りたたまれた度単位の角度です。 正弦、余弦、正接の大きさは、基準角だけで決まります。符号は象限によって決まります。 | 象限 | 折りたたまれた角度 | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0°から90° | + | + | + | | II | 90°から180° | − | + | − | | III | 180°から270° | − | − | + | | IV | 270°から360° | + | − | − | 0°、90°、180°、270°の角度は軸上にあります。象限は2本の軸の間の開領域なので、これら4つはいずれの象限にも含まれず、ページでは隣の象限を選ぶのではなく軸を示します。 ### 16個の標準角 5つの基準角には厳密な閉形式があります。 | 基準角 | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | 未定義 | これらの行を他の3つの象限に反映すると、0、30、45、60、90、120、135、150、180、210、225、240、270、300、315、330度の16個の角度になります。ページでは表を4回転記するのではなく、第1象限の点を4分の1回転ずつ回転させてこれらを生成します。転記時に符号を誤りやすいためです。 15°、75°、105°にも閉形式はありますが、2 − √3のような2項式です。これらはこの族の範囲外なので、小数で答えます。15°では cos 0.96592583、sin 0.25881905、tan 0.26794919となります。 ### 例：210度 210°は180°より大きく270°より小さいため、第III象限にあります。180を引くと、基準角は30°です。 基準角30°における3つの大きさは、√3/2、1/2、√3/3です。第III象限では両方の座標が負になるため、点は (−√3/2, −1/2) です。正接は負の数を負の数で割るため、√3/3となり正のままです。 ラジアンでは角度は7π/6、基準角はπ/6です。小数では、ページは cos −0.8660254、sin −0.5、tan 0.57735027と表示します。 570°と−150°は、どちらも210°に折りたたまれるため、同じ答えになります。 ### どの定数が正確か | 定数 | 値 | 正確か？ | 出典 | |---|---|---|---| | 1回転における度 | 360 | 定義により正確 | ISO 80000-3 | | 1回転におけるラジアン | 2π | 定義により正確 | ISO 80000-3；SIパンフレット | | cos 30°、sin 60° | √3/2 | 厳密値 | NIST DLMF §4.14 | | cos 45°、sin 45° | √2/2 | 厳密値 | NIST DLMF §4.14 | | cos 60°、sin 30° | 1/2 | 厳密値 | NIST DLMF §4.14 | | tan 90°、tan 270° | 値なし | 厳密値、極 | NIST DLMF §4.15 | πは無理数なので、厳密な十進表現や二進表現を持たず、保存された値はすべて丸められます。ページでは二つの方法で、その丸めが答えに入り込まないようにしています。折りたたみは、360で余りなく割れる度単位で行います。また、標準角は浮動小数点の正弦からではなく、上記の閉形式の表から読み取ります。 ### ラジアンで入力された角度の読み取り ラジアンでの入力は、すでに丸められた小数です。π/2は1.5707963267948966と入力され、これを度に戻すと、正確に90°ではなく90°から約一兆分の一度離れた角度になります。そのためページでは、標準角から百万分の一度以内の角度をその標準角として読み取ります。この許容誤差は使用する表を選ぶためのもので、答えの範囲を広げるものではありません。30.001°が30°になることはありません。 十億度を超える角度は受け付けません。これは幾何学上の制限ではなく、計算上の制限です。コンピューターが保存できる数値間の間隔は数値の大きさとともに広がり、およそ四十五億度を超えると、その間隔が百万分の一度の許容誤差より大きくなるため、折りたたんでも角度を特定するのに十分な細かさが残りません。十億度という上限は、その地点より手前に余裕を持たせています。 ### よくある質問 **単位円は何に使われますか？** 正弦と余弦を座標に変換します。円から1つの点を読み取るだけで両方の値が同時に得られ、図から、それらが1回転ごとに繰り返される理由と、象限が変わるたびに符号が変わる理由が分かります。 **sin 30°の厳密値は何ですか？** 2分の1です。cos 30°は√3/2、約0.8660254、tan 30°は√3/3、約0.57735027です。 **tan 90°が未定義なのはなぜですか？** 正接は正弦を余弦で割ったもので、cos 90°は0です。ゼロで割ることはできません。ページでは、計算された正接が大きな値になったかどうかを調べるのではなく、角度を示すことで極を判定します。90°の直前における急な正接は、通常の数値だからです。 **基準角とは何ですか？** 半直線とx軸の間の鋭角で、常に0°から90°の間にあります。150°、210°、330°はいずれも基準角が30°です。そのため、正弦と余弦は同じ3つの大きさを共有し、符号だけが異なります。 **負の角度は使えますか？** はい。負の角度は時計回りに回転します。−30°は330°と同じ方向を指すため、ページは点 (√3/2, −1/2) と第IV象限を返します。 **ページが角度を2回表示するのはなぜですか？** 750°と30°は円上の同じ点で交わりますが、同じ回転ではありません。ページでは、入力された角度、もう一方の単位に変換した角度、折りたたまれた角度を並べて表示します。