垂直曲線計算ツール - 道路設計支援ツール

縦曲線計算機とは何ですか？

縦曲線計算機は、縦曲線の標高、K値、主要点を求めます。縦曲線とは、二つの道路勾配を滑らかにつなぐために技術者が用いる放物線曲線です。勾配が急な角度で変わる地点で道路が接続する代わりに、縦曲線は二つの勾配を一本の連続した曲線にまとめます。これにより走行が滑らかになり、運転者が安全に停止できるだけの前方視距を確保でき、水も適切に排水されます。

技術者は、高速道路、道路、鉄道、空港の滑走路、駐車場などの造成地を設計する際に縦曲線を使用します。道路や軌道の勾配を変更する必要がある場所では、縦曲線がその移行を実現します。

凸型曲線と凹型曲線

縦曲線は、曲線の前後で勾配（傾斜）がどのように比較されるかによって、二種類に分かれます。勾配はパーセントで表し、3%の勾配は、進行距離100メートルごとに3メートル上昇します。

• 凸型曲線：始点側の勾配が終点側の勾配より大きい（g₁ > g₂）。道路は上り、最高点を越え、その後下ります。丘の頂上を越える形に似ています。
• 凹型曲線：始点側の勾配が終点側の勾配より小さい（g₁ < g₂）。道路は下り、最低点を通過し、その後上ります。くぼみの底に似ています。
• 2つの勾配が等しい場合、曲線は必要ありません。道路はすでに直線だからです。

凸型曲線では停止視距が最も重要です。運転者は障害物に衝突する前に停止できるよう、十分遠くまで前方を見通せなければなりません。凹型曲線では、夜間の前照灯視距と排水が最も重要です。水が最低点に集まるためです。

重要な用語

• PVI（縦曲線交点）：曲線がなければ、二本の直線勾配線が交わる点。
• PVC（縦曲線始点）：曲線が始まる地点です。
• PVT（縦曲線終点）：曲線が終わる地点です。
• K値：曲線長を勾配変化量で割った値です。曲線がどれだけ緩やかかを表します。
• 測点：道路中心線に沿った距離の測定値で、通常の座標の代わりに使用します。この計算機では、測点と標高をどちらもメートル単位で入力します。

曲線は通常、左右対称です。PVCはPVIの曲線長の半分手前に位置し、PVTはPVIの曲線長の半分先に位置します。

縦曲線の公式

曲線上の任意の点の標高は、二次式（放物線の式）で表されます。

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = PVCから距離$x$にある点の標高
• $y_{PVC}$ = PVCの標高
• $g_1$ = 始点側の勾配（小数で表す。3%の勾配は0.03）
• $A$ = 勾配の代数差、$g_2 - g_1$（小数形式）
• $L$ = 曲線長

K値の公式

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

$g_1$と$g_2$は、ここではパーセントで表した値です。Kが大きいほど、曲線は平坦で緩やかになります。AASHTOの「道路および街路の幾何構造設計方針」のような設計マニュアルでは、設計速度と曲線が凸型か凹型かに基づいて、高速道路に対するKの最小値を定めています。

$g_1$が$g_2$に等しい場合、勾配変化量はゼロとなり、Kは定義されません（計算機では無限大と表示されます）。

PVCとPVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

（ここでの$g_1$と$g_2$はパーセントです。200で割ると、パーセントを小数に変換し、曲線長の半分に適用できます。）

最高点または最低点

二つの勾配の符号が逆であれば、曲線の内側に最高点（凸型曲線）または最低点（凹型曲線）が存在します。PVCからの距離は次のとおりです。

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

PVCの測点に$x$を加えると、最高点または最低点の測点が得られます。その標高は、上の標高の式を使って求めます。

縦曲線の計算方法

1. 始点側の勾配と終点側の勾配を入力する：パーセントで入力します。上り勾配には正の数、下り勾配には負の数を使用します。
2. 曲線長を入力する：メートル単位で入力します。
3. PVIの測点とPVIの標高を入力する：どちらもメートル単位で入力します。
4. 曲線の種類（凸型、凹型、またはいずれでもない）、K値、およびPVCとPVTの測点と標高を確認します。
5. 勾配の符号が逆の場合、計算機は最高点または最低点も表示します。
6. ほかの任意の地点の標高を求めるには、調べたい測点を入力します。その測点が曲線の外にある場合、計算機は数値を表示せず、曲線の外であることを表示します。

計算例：凸型曲線

道路は3%の勾配で上った後、−2%で下ります。PVIは測点1000.00 m、標高150.00 mにあります。曲線長は400 mです。

K値：$K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC：測点$= 1000 - 400/2 = 800.00$ m、標高$= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT：測点$= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m、標高$= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

最高点：3と−2の符号が異なるため、最高点が存在します。 PVCからの距離は$x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ mなので、測点は$800 + 240 = 1040.00$ mです。 標高は$144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ mです。

計算例：凹型曲線

道路は−3%で下った後、2%で上ります。PVIは測点500.00 m、標高85.00 mにあります。曲線長は200 mです。

K値：$K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC：測点$= 400.00$ m、標高$= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT：測点$= 600.00$ m、標高$= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

最低点：$x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ mがPVCからの距離なので、測点は$400 + 120 = 520.00$ mです。 標高は$88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ mです。

この最低点に表面水が集まるため、排水口はPVIではなく、設計者が実際の最低点に設置します。

よくある質問

縦曲線設計におけるK値とは何ですか？ K値は、曲線長を二つの勾配の絶対差で割った値です。勾配が1%変化するのに必要な曲線長が何メートルかを示します。K値が大きいほど、曲線は平坦で緩やかになります。

凸型曲線と凹型曲線のどちらが必要か、どう判断しますか？ 二つの勾配を比較します。始点側の勾配が終点側の勾配より大きければ凸型曲線、始点側の勾配が終点側の勾配より小さければ凹型曲線です。勾配が等しい場合、曲線はまったく必要ありません。

始点側の勾配と終点側の勾配が等しい場合はどうなりますか？ 縦曲線は必要ありません。道路がすでに直線だからです。K値は、勾配変化量がゼロの値で割ることになるため、定義されません。

曲線の最高点または最低点はどのように求めますか？ 最高点または最低点は、二つの勾配の符号が逆の場合にのみ存在します。PVCからの距離は$g_1 L / (g_1 - g_2)$です。これをPVCの測点に加えると位置が分かり、曲線の標高の式を使うとその高さが分かります。

凹型曲線の最低点は、排水においてなぜ重要ですか？ 凹型曲線の両側を流れ下る水は最低点に集まります。実際の最低点ではなくPVIに排水口を設置すると、二つの点が同じになることはほとんどないため、道路上に水がたまる可能性があります。

調べたい測点が曲線の外側に位置することはありますか？ あります。標高の式はPVCとPVTの間にのみ適用されます。その範囲外の測点には曲線上の標高が定義されないため、計算機は曲線の外側にあると表示します。

参考文献

1. テキサス州運輸局。Roadway Design Manual, 4.8.2 Vertical Curves。TxDOT道路設計マニュアル：縦曲線 — 縦曲線は単純な放物線であり、曲線長LはKAで表されます。Aは、パーセントで表した勾配の代数差です。
2. Levinson, D. ほか。Fundamentals of Transportation、7.5 縦曲線（Engineering LibreTexts）。交通工学の基礎：縦曲線 — 標高 y = y_PVC + g₁x + (g₂ − g₁)x²/2 L；最高点または最低点は x = g₁L/(g₁ − g₂)；PVCとPVTはそれぞれPVIからL/2の位置にあります。