フィッシャーの正確確率検定計算ツール - 無料の統計ツール

フィッシャーの正確確率検定とは？

フィッシャーの正確確率検定は、2×2表に整理したデータを用いて、2つのカテゴリ変数に関連があるかを調べる統計手法です。近似値ではなく、p値と呼ばれる正確な確率を計算します。そのため、標本数が少ない場合に有用です。

この検定では、2行2列の度数を比較します。例えば、回復した患者と回復しなかった患者について、「治療あり」と「治療なし」を比較します。2×2表には4つのセルがあり、通常はA、B、C、Dと、それぞれの行合計および列合計で示します。

フィッシャーの正確確率検定とカイ二乗検定

カイ二乗検定も2つのカテゴリ変数間の関連を調べますが、セルの度数が十分に大きい場合にのみ適切に機能する近似に依存します。一般的な目安として、表の期待度数のいずれかが5未満の場合、カイ二乗近似は信頼性が低くなり、フィッシャーの正確確率検定がより適しています。フィッシャーの正確確率検定は標本数にかかわらず使用できますが、近似ではなく数学的に正確であることが、小標本に対する主な利点です。

フィッシャーの正確確率検定の計算方法

この検定では、超幾何分布を用います。超幾何分布は、集団から取り出した項目を元に戻さずに、特定の数の項目を取り出す確率を表す分布です。表の行合計と列合計が与えられると、4つのセル度数の特定の配置それぞれについて、超幾何分布から確率を求められます。

確率の公式

セルがA、B、C、Dで、行合計がr₁ = A + Bおよびr₂ = C + D、列合計がc₁ = A + Cおよびc₂ = B + D、標本総数がn = A + B + C + Dである表の場合、その表が得られる確率は次のとおりです。

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

ここで「!」は階乗を意味します。5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1です。

片側p値

片側p値は、観測された表の確率に加えて、同じ行合計と列合計を持ち、同じ方向に同等以上の強さの関連を示す他のすべての表の確率を合計したものです。「方向」は、2つの変数に関連がない場合のセルAの値との比較で決まります。この値を期待値と呼び、E(A) = r₁c₁ / nで表します。

• AがE(A)以上の場合、関連は正の方向に傾いており、合計の範囲はセルAの観測値から、Aが取り得る最大値までです。
• AがE(A)未満の場合、関連は負の方向に傾いており、合計の範囲はセルAの最小可能値から観測値までです。

両側p値

両側p値は、同じ行合計と列合計を持つすべての可能な表のうち、確率が観測された表の確率以下である表の確率を合計したものです。両方向の極端な結果を数えるため、同じ表から計算した両側p値は通常、片側p値より大きくなります。

計算例

小規模な試験で、新薬を10人の患者に投与し、他の10人にはプラセボを投与しました。結果は次のとおりです。

ここでA = 8、B = 2、C = 3、D = 7、n = 20です。独立性を仮定した場合のAの期待値は、E(A) = (10 × 11) / 20 = 5.5です。8は5.5を上回るため、関連は正の方向に傾いています。したがって、片側検定の合計範囲はA = 8から、Aの最大可能値である10までです。

A = 8、9、10に対する超幾何確率を計算すると、片側p値は約0.0349になります。観測された表の確率以下の確率を持つすべての表（両方向）の確率を合計すると、両側p値は約0.0698になります。

一般的な0.05の有意水準では、片側の結果は統計的に有意ですが、両側の結果は有意ではありません。これは検定の種類を選ぶことが重要な理由を示しています。片側検定は、効果の方向（ここでは薬によって転帰が改善すること）がデータを見る前に予測されていた場合にのみ適切です。

フィッシャーの正確確率検定を使用する場合

フィッシャーの正確確率検定は、次のような場合によく使用されます。

• 患者数が少ない臨床試験。
• 2つの生産バッチ間で不良品数を比較する品質管理検査。
• 2つの小規模な集団間で形質の度数を比較する遺伝学研究。
• 期待度数が5未満のセルを含む任意の2×2表。

よくある質問

フィッシャーの正確確率検定は何に使われますか？ 2×2表の度数を用いて、2つのカテゴリ変数に関連があるかを検定します。標本数が少ない場合には、カイ二乗検定よりもよく選択されます。

フィッシャーの正確確率検定は、いつカイ二乗検定の代わりに使用すべきですか？ 表の期待度数のいずれかが5未満の場合、または標本数にかかわらず正確な確率についてより確実な結果が必要な場合です。

片側結果と両側結果の違いは何ですか？ 片側p値は、データを見る前に決めた効果の予測方向を検定します。両側p値は、どちらの方向であっても関連が存在するかを検定します。同じ表から得られる両側p値は通常、より大きくなります。

この計算機はオッズ比を報告しますか？ いいえ。正確なp値のみを報告します。同じ表のオッズ比は、A × DをB × Cで割ることで別途求められます。

フィッシャーの正確確率検定は、2×2より大きな表にも使用できますか？ ここで説明した方法は2×2表用です。より大きな表には、フリーマン・ハルトン拡張と呼ばれる関連手法が必要で、ほとんどの統計ソフトウェアで利用できます。

同じ人々の前後測定のような対応のあるデータにも、フィッシャーの正確確率検定を使用できますか？ いいえ。この検定は、2つの独立した群を仮定します。対応のあるカテゴリデータには、代わりにマクネマー検定が必要です。

参考文献

1. Fisher, R.A.（1922）. "On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P." Journal of the Royal Statistical Society, 85（1）, 87–94.
2. Freeman, G.H. & Halton, J.H.（1951）. "Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance." Biometrika, 38（1/2）, 141–149.
3. Agresti, A.（2018）. An Introduction to Categorical Data Analysis（3版）. Wiley.