삼각 함수 그래퍼 - 사인, 코사인, 탄젠트 시각화

삼각함수 그래프 그리기 도구란?

삼각함수 그래프 그리기 도구는 사인, 코사인 또는 탄젠트 함수의 곡선을 그리고, 매개변수라고 하는 몇 가지 숫자를 조정해 그 모양을 바꿀 수 있게 하는 도구입니다. 슬라이더를 움직이면 그래프가 즉시 다시 그려지므로 진폭, 주파수, 위상 이동이 파형을 어떻게 바꾸는지 더 쉽게 볼 수 있습니다.

세 가지 기본 삼각함수

사인, 코사인, 탄젠트는 직각삼각형 변의 비에서 나옵니다. 반지름이 1인 원점 중심의 원, 즉 단위원에서 sin(x)는 각도 x에 있는 점의 높이이고 cos(x)는 그 점의 가로 위치입니다. 탄젠트는 sin(x) / cos(x)의 비입니다.

사인은 홀함수입니다: sin(−x) = −sin(x). 코사인은 짝함수입니다: cos(−x) = cos(x). 코사인은 사인을 왼쪽으로 π/2라디안(90도)만큼 이동한 것입니다.

탄젠트에는 수직 점근선이 있습니다. 수직 점근선은 곡선이 점점 가까워지지만 결코 닿지 않는 직선입니다. 점근선은 x = π/2 + nπ에 있으며, 여기서 n은 임의의 정수입니다. tan(x) = sin(x) / cos(x)이고 이 점들에서 cos(x)는 0이므로 그 비는 해당 지점에서 정의되지 않습니다.

삼각함수 공식

그래프 그리기 도구는 다음 형태의 함수를 그립니다.

f(x) = A sin(Bx + C)

코사인과 탄젠트에도 sin을 cos 또는 tan으로 바꾼 같은 형태를 사용합니다. 각 문자는 조정할 수 있는 매개변수입니다.

• **A (진폭)**은 중심선에서 꼭대기까지 측정한 파형의 높이를 정합니다. 그래프 그리기 도구에서는 사인과 코사인의 값을 0.1에서 5까지, 탄젠트의 값을 0.1에서 2까지 설정할 수 있습니다.
• **B (주파수)**는 x축의 일정한 구간에 들어가는 완전한 주기의 수를 정합니다. B가 클수록 파형이 압축됩니다. 그래프 그리기 도구에서는 값을 0.1에서 5까지 설정할 수 있습니다.
• **C (위상 이동)**은 모양을 바꾸지 않고 곡선 전체를 왼쪽이나 오른쪽으로 이동합니다. 그래프 그리기 도구에서는 값을 −π에서 π까지, 대략 −3.14에서 3.14까지 설정할 수 있습니다.

양의 위상 이동은 그래프를 왼쪽으로 옮기고, 음의 위상 이동은 오른쪽으로 옮깁니다.

삼각함수 그래프 그리기 도구 사용법

1. 선택기에서 사인, 코사인 또는 탄젠트 중 하나를 선택합니다.
2. 진폭 슬라이더를 움직여 파형의 높이를 바꿉니다.
3. 주파수 슬라이더를 움직여 파형을 압축하거나 늘입니다.
4. 위상 이동 슬라이더를 움직여 곡선을 가로 방향으로 옮깁니다.
5. 슬라이더 아래에 표시된 공식을 읽고 "Copy"를 눌러 텍스트로 복사합니다.

슬라이더를 움직이는 즉시 그래프가 업데이트됩니다. 탄젠트에서는 각 점근선에 작은 선의 끊김이 나타납니다. 이는 예상된 현상이며 오류가 아닙니다.

슬라이더의 양 끝값 시험하기

파형이 얼마나 높아질 수 있는지 보려면 진폭을 도구가 허용하는 최댓값인 사인 또는 코사인의 경우 5, 탄젠트의 경우 2로 설정합니다. 거의 평평하게 늘어난 파형을 보려면 주파수를 최솟값인 0.1로 설정합니다. 한 번에 슬라이더 하나만 바꾸면 어떤 매개변수가 어떤 변화를 일으켰는지 더 쉽게 알 수 있습니다.

손으로 값 계산하기

진폭 A = 2, 주파수 B = 3, 위상 이동 C = π/4인 사인 함수를 생각해 봅니다.

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

f(π/6)을 구하려면 먼저 사인 함수 안의 각도를 계산합니다.

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

그런 다음 사인값을 구하고 진폭을 곱합니다.

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1.414

삼각파가 나타나는 곳

부드럽게 앞뒤로 반복되는 많은 현상은 사인파에 가까운 곡선을 따릅니다. 소리, 교류, 해양의 조석, 진자의 흔들림, 1년 동안의 일조 시간 변화 등이 그 예입니다. 공학자는 사인과 코사인을 사용해 이러한 패턴을 설명하고 예측합니다. 컴퓨터 애니메이터도 같은 곡선을 사용해 움직임을 부드럽게 만듭니다. 예를 들어 몸이 위아래로 움직이는 걷기 주기나 감속·가속이 적용된 카메라 이동이 있습니다.

자주 묻는 질문

사인, 코사인, 탄젠트의 차이는 무엇인가?

사인과 코사인은 모두 −1과 1 사이에서 주기 2π로 변하지만, 코사인은 사인보다 한 바퀴의 4분의 1(π/2)만큼 먼저 주기의 각 지점에 도달합니다. 탄젠트는 사인을 코사인으로 나눈 값입니다. 주기는 π이고, 값에 상한이 없으며, 코사인이 0이 되는 모든 곳에 수직 점근선이 있습니다.

진폭은 무엇을 조절하는가?

진폭(A)은 파형이 중심선 위와 아래로 얼마나 뻗는지를 정합니다. 이 그래프 그리기 도구에서는 사인과 코사의 진폭이 0.1에서 5까지이고, 탄젠트의 경우 0.1에서 2까지입니다.

주파수는 무엇을 조절하는가?

주파수(B)는 x축의 일정한 구간에 나타나는 파형 주기의 수를 정합니다. 주파수가 높을수록 같은 공간에 더 많은 주기가 들어갑니다. 그래프 그리기 도구에서는 값을 0.1에서 5까지 설정할 수 있습니다.

양의 위상 이동은 왜 그래프를 오른쪽이 아니라 왼쪽으로 옮기는가?

위상 이동 C는 각도를 측정하기 전에 함수 안에서 더해지기 때문입니다: f(x) = sin(Bx + C). 양의 C는 더 작은 x에서 특정 값의 각도에 도달한다는 뜻이므로 곡선의 같은 점이 더 일찍 나타나 왼쪽으로 이동합니다.

탄젠트 그래프에는 왜 끊김이 있는가?

코사인이 0이 되는 곳에서는 탄젠트가 정의되지 않으며, 이는 x = π/2 + nπ에서 일어납니다. 그래프 그리기 도구는 잘못된 연결선을 끊김 사이로 곧장 그리는 대신 해당 지점에서 선을 끊습니다.

그래프 그리기 도구는 도 단위를 사용하는가, 라디안 단위를 사용하는가?

라디안입니다. 한 바퀴는 2π라디안이며 360도와 같습니다. 도를 라디안으로 변환하려면 π/180을 곱합니다.