표면적 계산기 - 모든 3D 도형을 위한 무료 도구

겉넓이 계산기

3차원 도형의 겉넓이는 외부를 덮는 모든 면과 곡면의 전체 넓이이며, 제곱미터나 제곱피트 같은 제곱 단위로 측정합니다. 이 계산기는 구, 정육면체, 원기둥, 각뿔, 원뿔, 직육면체, 삼각기둥 등 자주 사용되는 7가지 입체도형의 겉넓이를 계산합니다.

겉넓이란 무엇인가

겉넓이는 입체도형의 모든 바깥 표면 넓이를 합한 값입니다. 정육면체의 겉넓이는 여섯 개의 평평한 정사각형 면의 넓이를 모두 더한 값입니다. 구의 겉넓이는 하나뿐인 곡면 바깥 표면의 넓이입니다. 겉넓이는 부피와 다릅니다. 부피는 경계의 넓이가 아니라 입체도형 내부의 공간을 측정합니다. 두 값은 서로 다른 단위로 측정됩니다. 겉넓이는 제곱 단위(m²), 부피는 세제곱 단위(m³)입니다.

겉넓이 계산 방법

1. 7가지 선택 항목 중에서 도형을 선택합니다.
2. 도형에 필요한 치수를 입력합니다.
   • 구: 반지름
   • 정육면체: 한 변의 길이
   • 원기둥: 반지름과 높이
   • 각뿔: 밑면의 길이, 밑면의 너비, 빗면의 높이
   • 원뿔: 반지름과 높이
   • 직육면체: 길이, 너비, 높이
   • 삼각기둥: 삼각형 밑변의 길이, 삼각형의 높이, 삼각기둥의 길이
3. 필요한 모든 입력란에 값이 입력되면 결과가 자동으로 표시됩니다.
4. 겉넓이를 제곱 단위로 확인합니다. 결과 옆의 복사 버튼을 누르면 값이 클립보드에 복사됩니다.

필수 입력란이 비어 있는 동안에는 계산기가 값을 입력하라는 안내를 표시합니다. 모든 입력란이 채워져 있어도 값이 영이거나 음수이면 결과 대신 오류를 표시합니다.

각뿔의 경우 밑면이 정사각형이 아니라 직사각형이면 추가 규칙이 적용됩니다. 입력한 빗면 높이는 밑면 너비의 절반보다 길어야 합니다. 그 값 이하에서는 그런 비율을 가진 실제 각뿔이 존재하지 않으므로 계산기가 오류를 반환합니다. 이 규칙은 정사각형 밑면에는 적용되지 않으며, 정사각형 밑면은 더 간단한 공식으로 바로 계산합니다.

겉넓이 공식

아래 공식에서 r은 반지름, h는 높이, l은 길이, w는 너비, b는 밑변 길이, s는 빗면 높이입니다.

• 구: 겉넓이 = 4πr²
• 정육면체: 겉넓이 = 6s², 여기서 s는 한 변의 길이입니다.
• 원기둥: 겉넓이 = 2πr² + 2πrh이며, 두 원형 밑면의 넓이와 곡면인 옆면의 넓이를 합한 것입니다.
• 원뿔: 겉넓이 = πr² + πrs, 여기서 모선의 길이 s = √(r² + h²)
• 정사각형 밑면의 각뿔: 겉넓이 = l² + 2ls이며, l은 밑변 길이이고 s는 삼각형 면의 빗면 높이입니다.
• 직육면체: 겉넓이 = 2(lw + lh + wh)
• 삼각기둥(밑변 b, 높이 h, 두 빗변 a = c인 삼각형 단면): 겉넓이 = bh + (a + b + c)L이며, L은 기둥의 길이이고 대칭적인 이등변삼각형에서는 a = c = √(h² + (b/2)²)입니다.

밑면이 직사각형이고 밑면의 길이와 너비가 서로 다른 각뿔에는 서로 다른 두 빗면 높이가 있습니다. 하나는 긴 모서리 쪽 한 쌍의 면에 대한 것이고, 다른 하나는 짧은 모서리 쪽 한 쌍의 면에 대한 것입니다. 계산기는 밑면의 길이, 밑면의 너비, 한 쌍의 면의 빗면 높이로 이를 구합니다. 위의 정사각형 밑면 공식은 두 빗면 높이가 같은 특수한 경우입니다.

계산 예시

구, 반지름 5 m: 겉넓이 = 4π(5)² = 100π ≈ 314.16 m²

정육면체, 한 변의 길이 3 m: 겉넓이 = 6(3)² = 54 m²

원기둥, 반지름 2 m, 높이 5 m: 겉넓이 = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87.96 m²

원뿔, 반지름 3 m, 높이 4 m: 모선의 길이 = √(3² + 4²) = 5 m이므로, 겉넓이 = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75.40 m²

정사각형 밑면의 각뿔, 밑변 길이 4 m, 빗면 높이 5 m: 겉넓이 = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 m²

직육면체, 길이 4 m, 너비 3 m, 높이 5 m: 겉넓이 = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 m²

삼각기둥, 밑변 3 m, 삼각형 높이 4 m, 기둥 길이 5 m: 길이가 같은 두 빗변은 √(4² + 1.5²) = √18.25 ≈ 4.27 m입니다. 겉넓이 = (3 × 4) + (4.27 + 3 + 4.27) × 5 = 12 + 57.72 ≈ 69.72 m²

단위와 정밀도

모든 입력 치수는 미터, 피트, 센티미터처럼 동일한 단위를 사용해야 합니다. 결과는 해당 단위의 제곱으로 표시됩니다. 계산기는 내부적으로 부동소수점의 전체 정밀도로 계산하며 결과를 소수점 이하 두 자리로 반올림해 표시합니다.

겉넓이가 중요한 이유

겉넓이는 벽이나 물체에 필요한 페인트 또는 코팅의 양, 포장에 필요한 재료, 용기를 만드는 데 필요한 판금이나 직물의 양을 추정할 때 사용됩니다. 생물학과 화학에서는 세포나 촉매 입자가 표면을 통해 주변 환경과 물질을 교환하므로, 그 겉넓이가 물질 교환 속도에 영향을 줍니다. 공학에서는 라디에이터나 열교환기의 겉넓이가 열을 전달하는 속도에 영향을 줍니다.

자주 묻는 질문

겉넓이란 무엇입니까? 겉넓이는 삼차원 물체의 모든 바깥 면 또는 곡면의 전체 넓이이며, 제곱 단위로 표시됩니다.

구의 겉넓이 공식은 무엇입니까? 겉넓이 = 4πr²이며, r은 반지름입니다. 반지름이 5 m인 구의 겉넓이는 약 314.16 m²입니다.

원기둥의 겉넓이는 어떻게 구합니까? 두 원형 밑면의 넓이에 곡면인 옆면의 넓이를 더합니다. 겉넓이 = 2πr² + 2πrh이며, r은 반지름이고 h는 높이입니다.

겉넓이와 부피의 차이는 무엇입니까? 겉넓이는 도형의 바깥 경계를 제곱 단위로 측정합니다. 부피는 그 경계가 둘러싼 공간을 세제곱 단위로 측정합니다. 도형의 크기가 커질 때 겉넓이와 부피는 보통 서로 다른 비율로 증가합니다.

이 계산기는 밑면이 직사각형인 각뿔도 처리할 수 있습니까? 예. 서로 다른 밑면 길이와 밑면 너비를 입력하면 계산기는 각뿔을 정사각형이 아닌 직사각형 밑면으로 취급하며, 서로 다른 두 빗면 높이를 자동으로 구합니다.

이 계산기는 어떤 도형을 지원합니까? 구, 정육면체, 원기둥, 각뿔, 원뿔, 직육면체, 삼각기둥을 지원합니다.

참고 자료

1. OpenStax. Prealgebra 2e, 9.6절. 기하 응용 문제 풀이: 부피와 겉넓이 — 직육면체, 정육면체, 구, 원기둥의 겉넓이 공식.
2. LibreTexts. Technical Mathematics 2e (Chase), 1.26절. 각뿔과 원뿔 — 정사각뿔의 전체 겉넓이(2sl + s²)와 원뿔의 전체 겉넓이(πrl + πr²), 여기서 l = √(r² + h²).