표면적 계산기 - 모든 3D 도형을 위한 무료 도구

겉넓이 계산기

3차원 도형의 겉넓이는 외부를 덮는 모든 면과 곡면의 전체 넓이이며, 제곱미터나 제곱피트 같은 제곱 단위로 측정합니다. 이 계산기는 구, 정육면체, 원기둥, 각뿔, 원뿔, 직육면체, 삼각기둥 등 자주 사용되는 7가지 입체도형의 겉넓이를 계산합니다.

겉넓이란 무엇인가

겉넓이는 입체도형의 모든 바깥 표면 넓이를 합한 값입니다. 정육면체의 겉넓이는 여섯 개의 평평한 정사각형 면의 넓이를 모두 더한 값입니다. 구의 겉넓이는 하나뿐인 곡면 바깥 표면의 넓이입니다. 겉넓이는 부피와 다릅니다. 부피는 경계의 넓이가 아니라 입체도형 내부의 공간을 측정합니다. 두 값은 서로 다른 단위로 측정됩니다. 겉넓이는 제곱 단위(m²), 부피는 세제곱 단위(m³)입니다.

겉넓이 계산 방법

1. 7가지 선택 항목 중에서 도형을 선택합니다.
2. 도형에 필요한 치수를 입력합니다.
   • 구: 반지름
   • 정육면체: 한 변의 길이
   • 원기둥: 반지름과 높이
   • 각뿔: 밑면의 길이, 밑면의 너비, 빗면의 높이
   • 원뿔: 반지름과 높이
   • 직육면체: 길이, 너비, 높이
   • 삼각기둥: 삼각형 밑변의 길이, 삼각형의 높이, 삼각기둥의 길이
3. 필요한 모든 입력란에 값이 입력되면 결과가 자동으로 표시됩니다.
4. 겉넓이를 제곱 단위로 확인합니다. 결과 옆의 복사 버튼을 누르면 값이 클립보드에 복사됩니다.

필요한 입력란이 하나라도 비어 있으면 계산기는 결과 대신 짧은 안내 문구를 표시합니다. 모든 입력란에 값이 입력된 뒤 0 또는 음수를 입력하면 오류 메시지가 표시됩니다.

각뿔에는 밑면이 정사각형이든 직사각형이든 모든 밑면에 적용되는 추가 규칙이 있습니다. 입력한 빗면 높이는 밑변 너비의 절반보다 커야 합니다. 밑변 너비의 절반은 밑면 중심에서 밑면의 길이 방향 변의 중점까지의 거리입니다. 빗면 높이가 이 값과 같거나 작으면 수직 높이가 생길 공간이 없으므로 그러한 각뿔은 존재하지 않으며 계산기는 오류를 반환합니다.

겉넓이 공식

다음 공식에서 r은 반지름, h는 높이, l은 길이, w는 너비, b는 밑변 길이, s는 빗면 높이를 나타냅니다.

• 구: $SA = 4\pi r²$
• 정육면체: $SA = 6a²$, 여기서 a는 한 변의 길이입니다.
• 원기둥: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$, 두 원형 밑면의 넓이와 곡면의 넓이를 합한 값입니다.
• 원뿔: $SA = \pi r² + \pi rs$, 여기서 빗면 높이는 $s = \sqrt{r² + h²}$입니다.
• 정사각형 밑면의 각뿔: $SA = l² + 2ls$, 여기서 l은 밑변 길이이고 s는 삼각형 면의 빗면 높이입니다.
• 직육면체: $SA = 2(lw + lh + wh)$
• 삼각기둥(밑변 b, 높이 h, 서로 같은 두 빗변 $a = c$을 갖는 삼각형 단면): $SA = bh + (a + b + c)L$, 여기서 L은 삼각기둥의 길이이며, 대칭인(이등변) 삼각형에서는 $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$입니다.

직사각형 밑면의 각뿔에는 서로 다른 두 빗면 높이가 있으며, 삼각형 면의 각 쌍마다 하나씩 있습니다. ‘빗면 높이’ 입력란에는 밑변 길이 모서리를 바닥으로 하는 두 면의 빗면 높이 s를 입력합니다. 계산기는 이 값으로부터 $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$를 사용해 수직 높이 h를 구한 다음, 다른 한 쌍의 면을 계산합니다.

직사각형 밑면의 각뿔: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$, 여기서 l은 밑변 길이, w는 밑면의 너비, h는 s에서 구한 수직 높이입니다.

위의 정사각형 밑면 공식은 밑변 길이와 밑변 너비가 입력한 단위의 0.001 이내로 같을 때 이 공식에서 얻어지는 특수한 경우입니다.

풀이 예시

구, 반지름 5 m: 겉넓이 = 4π(5)² = 100π ≈ 314.16 m²

정육면체, 한 변의 길이 3 m: 겉넓이 = 6(3)² = 54 m²

원기둥, 반지름 2 m, 높이 5 m: 겉넓이 = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87.96 m²

원뿔, 반지름 3 m, 높이 4 m: 빗면 높이 = √(3² + 4²) = 5 m이므로, 겉넓이 = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75.40 m²

정사각형 밑면의 각뿔, 밑변 길이 4 m, 빗면 높이 5 m: 겉넓이 = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 m²

직사각형 밑면의 각뿔, 밑변 길이 6 m, 밑변 너비 8 m, 빗면 높이 5 m: 밑변 너비의 절반은 4 m이므로 수직 높이는 √(5² − 4²) = 3 m입니다. 나머지 면의 쌍의 빗면 높이는 √(3² + 3²) = √18 ≈ 4.2426 m입니다. 겉넓이 = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4.2426) = 48 + 30 + 33.94 ≈ 111.94 m²

직육면체, 길이 4 m, 너비 3 m, 높이 5 m: 겉넓이 = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 m²

삼각기둥, 밑변 3 m, 삼각형 높이 4 m, 삼각기둥의 길이 5 m: 서로 같은 두 빗변의 길이는 √(4² + 1.5²) = √18.25 ≈ 4.272 m입니다. 겉넓이 = (3 × 4) + (4.272 + 3 + 4.272) × 5 = 12 + 57.72 ≈ 69.72 m²

단위와 정밀도

모든 입력 치수는 미터, 피트, 센티미터처럼 동일한 단위를 사용해야 합니다. 결과는 해당 단위의 제곱으로 표시됩니다. 계산기는 내부적으로 부동소수점의 전체 정밀도로 계산하며 결과를 소수점 이하 두 자리로 반올림해 표시합니다.

겉넓이가 중요한 이유

겉넓이는 벽이나 물체에 필요한 페인트 또는 코팅의 양, 포장에 필요한 재료, 용기를 만드는 데 필요한 판금이나 직물의 양을 추정할 때 사용됩니다. 생물학과 화학에서는 세포나 촉매 입자가 표면을 통해 주변 환경과 물질을 교환하므로, 그 겉넓이가 물질 교환 속도에 영향을 줍니다. 공학에서는 라디에이터나 열교환기의 겉넓이가 열을 전달하는 속도에 영향을 줍니다.

자주 묻는 질문

겉넓이란 무엇인가요? 겉넓이는 3차원 물체의 모든 바깥 면 또는 곡면의 전체 넓이이며, 제곱 단위로 표시됩니다.

구의 겉넓이 공식은 무엇인가요? $SA = 4\pi r²$, 여기서 r은 반지름입니다. 반지름이 5 m인 구의 겉넓이는 약 314.16 m²입니다.

원기둥의 겉넓이는 어떻게 구하나요? 두 원형 밑면의 넓이에 곡면의 넓이를 더합니다: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$, 여기서 r은 반지름이고 h는 높이입니다.

겉넓이와 부피의 차이는 무엇인가요? 겉넓이는 도형의 바깥 경계를 제곱 단위로 측정합니다. 부피는 그 경계가 둘러싼 공간을 세제곱 단위로 측정합니다. 도형의 크기가 커질 때 겉넓이와 부피는 보통 서로 다른 비율로 증가합니다.

이 계산기는 직사각형 밑면의 각뿔을 처리할 수 있나요? 가능합니다. 서로 다른 밑변 길이와 밑변 너비, 그리고 밑변 길이 방향 모서리 위에 놓인 두 면의 빗면 높이를 입력합니다. 계산기는 이 세 값으로 수직 높이와 두 번째 빗면 높이를 계산합니다.

각뿔에서 가끔 오류가 표시되는 이유는 무엇인가요? 빗면 높이는 밑변 너비의 절반보다 커야 합니다. 이 값과 같거나 작으면 각뿔의 높이가 0이 되거나 허수가 되므로 그러한 입체도형은 존재하지 않으며 겉넓이를 보고할 수 없습니다.

이 계산기는 어떤 도형을 지원하나요? 구, 정육면체, 원기둥, 각뿔, 원뿔, 직육면체, 삼각기둥을 지원합니다.

참고 문헌

1. "Surface Area." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
2. Weisstein, Eric W. "Surface Area." MathWorld — Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
3. "Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html