밀러 지수 계산기 - 결정면 절편을 (hkl)로 변환

밀러 지수란 무엇인가?

밀러 지수는 (h,k,l)로 나타내는 세 정수의 집합으로, 결정 격자에서 평면을 식별합니다. 결정 격자는 고체 물질에서 원자가 반복적이고 질서 있게 배열된 구조입니다. 밀러 지수는 평면이 그 격자를 정확히 어느 방향으로 자르는지를 기하학적 형태를 말로 설명하지 않고 나타냅니다. 밀러 지수는 영국의 광물학자 윌리엄 할로스 밀러가 1839년에 도입했으며, 오늘날에도 결정학에서 표준 표기법으로 사용됩니다.

이 계산기는 결정학적 x, y, z축에서 평면의 절편을 밀러 지수 (h,k,l)로 변환합니다.

밀러 지수 공식

밀러 지수는 평면이 축과 만나는 절편의 역수에서 얻습니다. 평면이 x, y, z축과 원점에서 각각 거리 a, b, c인 곳에서 만난다면, 지수는 다음 관계를 만족합니다.

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

절편에서 밀러 지수 계산하기

1. 단위 셀 모서리의 길이를 단위로 하여 평면이 각 축과 만나는 위치를 찾습니다. 이 절편을 각각 a, b, c라고 합니다.
2. 각 절편의 역수를 구합니다: 1/a, 1/b, 1/c.
3. 세 역수에 같은 수를 곱하여 각각 정수가 되게 합니다.
4. 세 정수를 최대공약수로 나누어 더 이상 약분되지 않게 합니다.

이렇게 얻은 세 정수가 h, k, l입니다. 평면이 어떤 축과도 만나지 않으면 해당 절편을 무한대로 간주합니다. 1을 무한대로 나눈 값은 0이므로 그 축의 밀러 지수는 0입니다.

계산 예시

어떤 평면이 x축과 2, y축과 3, z축과 6에서 만난다고 합시다.

1. 절편: (2, 3, 6)
2. 역수: (1/2, 1/3, 1/6)
3. 분모의 최소공배수인 6을 곱합니다: (3, 2, 1)
4. 3, 2, 1의 최대공약수는 1이므로 이 수들은 더 이상 약분되지 않습니다.

밀러 지수는 (321)입니다.

다른 예

• (1, ∞, 2)를 지나는 평면은 y축과 평행하며, 역수는 (1, 0, 1/2)입니다. 2를 곱하면 (2, 0, 1)이 됩니다. 0은 이 평면이 y축과 만나지 않음을 나타냅니다.
• (-1, 2, 3)을 지나는 평면의 역수는 (-1, 1/2, 1/3)입니다. 6을 곱하면 (-6, 3, 2)가 되며, 일반적으로 음의 지수 위에 선을 그어 (6̄32)로 씁니다.
• (1, ∞, ∞)를 지나는 평면의 역수는 (1, 0, 0)이며, 이에 따라 (100)이 됩니다. 이는 정육면체의 여섯 면 중 하나입니다.

특수한 경우

축과 평행한 평면은 그 축과 만나지 않으므로 해당 절편을 무한대로 간주하고, 그 밀러 지수는 0입니다. 원점의 음의 쪽에서 축과 만나는 평면은 음의 지수를 가지며, 정식 표기에서는 숫자 위에 선을 긋고 일반 텍스트에서는 마이너스 기호를 사용합니다. 원점을 지나는 평면에는 밀러 지수가 정의되지 않습니다. 격자에서 서로 평행한 평면의 각 묶음은 지수를 정하기 위해 원점에서 떨어져 있어야 하기 때문입니다. 따라서 이러한 평면을 나타내려면 먼저 원점을 이동해야 합니다. 분수 절편도 정수 절편과 같은 방식으로 처리합니다. 각 절편의 역수를 구한 다음 분모를 없앱니다.

지수는 항상 가능한 가장 작은 정수로 약분합니다. (622)과 (311)은 같은 평면족을 나타내지만, 결정학자는 항상 (311)로 표기합니다.

이 계산기 사용 방법

x, y, z축에서 평면의 절편을 입력합니다.

• 원점의 양의 쪽에 있는 절편에는 양수를, 음의 쪽에 있는 절편에는 음수를 사용합니다.
• 평면이 축과 평행하게 놓인 경우에는 "infinity", "inf" 또는 "∞"를 입력합니다.
• 원점을 지나는 평면에는 이 방법으로 밀러 지수를 지정할 수 없으므로 절편 영은 허용되지 않습니다.

계산기는 지수를 즉시 계산하고 단위 셀 내부의 평면을 도식으로 보여 줍니다.

밀러 지수의 활용

X선 회절. X선 회절 무늬의 각 점이나 피크는 특정 (hkl)을 갖는 격자면 한 묶음에 대응합니다. 브래그 법칙은 그 면들의 간격을 회절각과 연결합니다.

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

여기서 d_hkl은 (h,k,l) 평면 사이의 간격이고, λ는 X선 파장이며, θ는 회절각입니다. 관측된 피크를 (hkl) 값과 대응시키는 과정인 지수화는 미지의 결정 구조를 식별하는 기본 단계입니다.

재료과학. 결정면마다 원자의 배열이 다르므로 표면 에너지와 화학 반응 속도, 금속 변형에서의 역할도 다릅니다. 알루미늄과 같은 면심입방 금속에서는 원자 평면이 {111} 면을 따라 서로 가장 쉽게 미끄러집니다. 컴퓨터 칩에 사용되는 실리콘 웨이퍼는 보통 (100) 또는 (111) 면을 따라 절단하는데, 그 선택이 이후 제조 단계의 진행 방식에 영향을 주기 때문입니다.

광물학. 천연 결정에서 보이는 평평한 면과 광물이 깨끗하게 쪼개지는 방향인 벽개는 모두 특정한 낮은 지수의 결정면에 대응합니다. 암염(식탁용 소금)은 {100} 면을 따라 벽개되고, 형석은 {111} 면을 따라 벽개됩니다.

육방정계 결정을 위한 밀러-브라베이스 지수

마그네슘, 아연, 티타늄과 같은 육방정계 결정은 보통 세 지수 대신 네 지수 체계 (hkil)로 나타냅니다. 추가 지수 i는 독립적이지 않으며 항상 i = -(h+k)입니다. 이 표기법을 사용하면 두 평면이 동일한 대칭 등가 평면족에 속한다는 사실을 더 쉽게 확인할 수 있습니다. 육방정계 격자에서는 세 지수 밀러 표기만으로는 이것이 항상 분명하지 않습니다.

역사

밀러 지수는 윌리엄 홀로스 밀러가 1839년에 펴낸 책 A Treatise on Crystallography에서 도입했습니다. 결정면을 나타내는 이전의 방식도 있었지만, 절편의 역수를 쓰는 밀러의 방법은 축과 평행한 면을 다루기 쉽게 했습니다. 그런 면은 절편이 무한대이고 그 역수는 간단히 0이기 때문입니다. 막스 폰 라우에가 1912년에 결정에 의한 X선 회절을 발견한 뒤, 윌리엄 헨리 브래그와 윌리엄 로런스 브래그는 밀러 지수가 회절 피크를 일으키는 바로 그 면을 나타낸다는 것을 보였고, 이 업적으로 두 사람은 1915년 노벨 물리학상을 공동 수상했습니다.

자주 묻는 질문

밀러 지수는 어디에 사용됩니까? 결정 격자의 특정 평면을 식별합니다. X선 및 전자 회절 피크의 지수를 매기고, 금속의 미끄럼면을 설명하고, 반도체 웨이퍼의 방위를 지정하고, 광물의 면과 벽개를 표시하는 데 사용됩니다.

밀러 지수에서 0은 무엇을 의미합니까? 평면이 그 축과 평행하여 축과 만나지 않는다는 뜻입니다. 예를 들어 (201)은 y축과 평행합니다.

음의 밀러 지수는 무엇을 의미합니까? 평면이 원점의 음의 쪽에서 그 축과 만난다는 뜻입니다. 음의 지수는 (2̄11)처럼 숫자 위에 막대를 붙여 쓰거나, (-2,1,1)처럼 마이너스 기호로 씁니다.

원점을 지나는 평면에는 왜 밀러 지수를 붙일 수 없습니까? 밀러 지수는 절편의 역수에서 나옵니다. 원점을 지나는 평면은 모든 축과 0에서 만나고 1/0은 정의되지 않으므로, 평면을 옮기지 않으면 이 방법으로는 지수를 정할 수 없습니다.

밀러 지수와 밀러-브라베 지수는 어떻게 다릅니까? 밀러 지수(hkl)는 세 개의 수를 사용하며 모든 결정계에 적용됩니다. 밀러-브라베 지수(hkil)는 종속된 네 번째 지수를 더한 것으로, 주로 육방정계 결정에 사용되며 대칭적으로 같은 면을 알아보기 쉽게 해 줍니다.

평면 간격은 밀러 지수와 어떤 관계가 있습니까? 모서리 길이가 a인 입방정계 결정에서 인접한 (hkl) 평면 사이의 간격은 d = a / √(h² + k² + l²)입니다. 지수가 클수록 평면은 더 촘촘하게 배열됩니다. 다른 결정계는 축 길이가 서로 다르고 각도가 90°가 아닌 경우를 반영하는, 비슷하지만 더 복잡한 공식을 사용합니다.

참고 자료

1. 뉴캐슬 대학교, K. Vassilevski. About crystal symmetry, Miller indices. 뉴캐슬 대학교: 밀러 지수 — 규칙: 절편의 역수를 취하고, 분수를 없애고, 기약 정수비로 줄입니다. 축과 평행한 평면의 지수는 영입니다. 육방정계 지수는 h + i + k = 0입니다.
2. 조지아 주립대학교, HyperPhysics. Bragg's Law. HyperPhysics: 브래그 법칙 — 결정 격자면에서 회절 피크가 나타나는 조건.
3. Nobel Prize Outreach. The Nobel Prize in Physics 1915. NobelPrize.org: 물리학 1915 — 윌리엄 헨리 브래그와 윌리엄 로런스 브래그에게 X선을 이용한 결정 구조 분석의 공로로 수여되었습니다.