Kvadratinės lygties sprendėjas - Apskaičiuokite šaknis ax² + bx + c = 0

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kvadratinė lygtis yra lygtis, kurios forma yra $ax^2 + bx + c = 0$, kur $a$, $b$ ir $c$ yra skaičiai, o $a$ nėra nulis. Šiame puslapyje esantis kvadratinių lygčių sprendiklis, naudodamas naudotojo įvestus koeficientus $a$, $b$ ir $c$, randa tokią $x$ reikšmę arba reikšmes, dėl kurių lygtis tampa teisinga.

Jei $a$ būtų nulis, narys $x^2$ išnyktų ir lygtis taptų tiesinė, o ne kvadratinė. Todėl skaičiuotuvas reikalauja, kad būtų $a \neq 0$, ir rodo klaidą, jei $a = 0$.

Kvadratinės lygties formulė

Kiekvieną kvadratinę lygtį, kurios forma yra $ax^2 + bx + c = 0$, galima išspręsti naudojant kvadratinės lygties formulę:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Ženklas $\pm$ reiškia du atskirus skaičiavimus: vieną su pliuso ženklu ir kitą su minuso ženklu. Todėl kvadratinė lygtis gali turėti du skirtingus sprendinius.

Po kvadratine šaknimi esantis reiškinys $b^2 - 4ac$ vadinamas diskriminantu. Paprastai jis žymimas $\Delta$ (graikų raidė delta). Vien iš diskriminanto galima nustatyti, kiek lygtis turi realiųjų sprendinių, dar neatlikus likusio skaičiavimo.

Kaip apskaičiuoti šaknis

1. Užrašykite lygtį standartine forma: $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Nustatykite koeficientus $a$, $b$ ir $c$.
3. Apskaičiuokite diskriminantą: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Jei $\Delta$ yra teigiamas, apskaičiuokite abi šaknis pagal formulę $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Jei $\Delta$ lygus nuliui, apskaičiuokite vienintelę šaknį pagal formulę $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Jei $\Delta$ yra neigiamas, lygtis neturi realiųjų šaknų, nes neigiamas skaičius neturi realios kvadratinės šaknies.

Šiame puslapyje esantis skaičiuotuvas šiuos veiksmus atlieka automatiškai. Jis priima koeficientus nuo $-10^{10}$ iki $10^{10}$ ir suapvalina rezultatus iki pasirinkto skaičiaus skaitmenų po kablelio – nuo 0 iki 10.

Ką reiškia diskriminantas

Šis skaičiuotuvas rodo „realiųjų šaknų nėra“, kai $\Delta$ yra neigiamas. Jis neskaičiuoja kompleksinių šaknų (skaičių, kuriuose yra $i = \sqrt{-1}$).

Skaičiavimo pavyzdys

Išspręskite $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Čia $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Pirmiausia raskite diskriminantą:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Kadangi $\Delta$ yra teigiamas, lygtis turi dvi realiąsias šaknis:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Tai galima patikrinti išskaidant daugianarį dauginamaisiais: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, todėl jis lygus nuliui, kai $x = -2$ arba $x = -3$.

Antrasis pavyzdys rodo neigiamą diskriminantą. Lygties $x^2 + x + 1 = 0$ atveju $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, todėl $\Delta = 1 - 4 = -3$. Kadangi $\Delta$ yra neigiamas, lygtis neturi realiųjų šaknų.

Parabolė, viršūnė ir simetrijos ašis

Funkcijos $f(x) = ax^2 + bx + c$ grafikas yra kreivė, vadinama parabole. Jei $a$ yra teigiamas, parabolė atverta į viršų ir turi žemiausią tašką. Jei $a$ yra neigiamas, ji atverta į apačią ir turi aukščiausią tašką. Tas žemiausias arba aukščiausias taškas yra viršūnė.

Viršūnė yra taške:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Per viršūnę einanti vertikali tiesė $x = -\dfrac{b}{2a}$ vadinama simetrijos ašimi, nes abi parabolės pusės jos atžvilgiu yra veidrodiniai atvaizdai. Realiosios lygties šaknys yra taškai, kuriuose parabolė kerta x ašį, todėl jos yra abiejose simetrijos ašies pusėse ir vienodu atstumu nuo jos.

Skaičiuotuvas šalia rezultato nubraižo šią parabolę. Jis pažymi viršūnę ir visas realiąsias šaknis kreivėje, o prireikus išplečia vaizduojamą intervalą, kad kiekviena šaknis liktų matoma.

Kur naudojamos kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygtys aprašo daugelį realaus pasaulio situacijų. Fizikoje išmesto objekto aukštis laikui bėgant aprašomas lygtimi $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, o ją išsprendus $t$ atžvilgiu gaunamas objekto nusileidimo laikas. Inžinerijoje parabolinės formos naudojamos palydovinėse antenose ir tiltų lynuose, nes jos gali sutelkti arba paskirstyti jėgą. Kompiuterinėje grafikoje spindulių sekimo programos sprendžia kvadratines lygtis, kad nustatytų, kur tiesė kerta sferą.

Trumpa istorija

Babilono matematikai konkrečius kvadratinius uždavinius sprendė maždaug nuo 2000 m. pr. Kr., taikydami geometrinius, o ne algebrinius metodus. Graikų matematikai, tokie kaip Euklidas, taip pat nagrinėjo kvadratines lygtis geometriškai. Maždaug 600 m. e. m. indų matematikas Brahmagupta pateikė aiškią šaknų formulę, įskaitant neigiamus sprendinius. Maždaug 800 m. e. m. persų matematikas al Chvarizmis aprašė sisteminius kvadratinių lygčių sprendimo metodus knygoje, kurios pavadinimas davė pradžią žodžiui „algebra“. Šiuolaikinė simbolinė kvadratinės lygties formulės forma tapo standartinė vėliau, Renesanso laikotarpiu plėtojantis algebriniam žymėjimui.

Dažnai užduodami klausimai

Kas nutiks, jei koeficientui a įvesiu 0? Skaičiuotuvas rodo klaidą, nes $a = 0$ lygtį paverčia tiesine lygtimi $bx + c = 0$, kuri sprendžiama kitaip.

Kodėl lygtis kartais neturi realiųjų šaknų? Taip nutinka, kai diskriminantas $b^2 - 4ac$ yra neigiamas. Neigiamas skaičius neturi realiosios kvadratinės šaknies, todėl formulė negali pateikti realiosios $x$ reikšmės. Lygtis vis tiek turi dvi kompleksines šaknis, tačiau šis skaičiuotuvas jų neskaičiuoja.

Kuo skiriasi šaknis ir sprendinys? Niekuo. Abu žodžiai reiškia tokią $x$ reikšmę, dėl kurios lygtis tampa lygi nuliui. „Šaknis“ nurodo, kur grafikas susikerta su x ašimi, o „sprendinys“ – algebrinį rezultatą.

Kiek skaitmenų po kablelio galiu pasirinkti? Nuo 0 iki 10. Kasdieniams uždaviniams paprastai pakanka dviejų arba trijų skaitmenų po kablelio.

Ar galiu įvesti labai didelius koeficientus? Koeficientai turi būti nuo $-10^{10}$ iki $10^{10}$. Už šio intervalo ribų esančios reikšmės gali sukelti apvalinimo klaidų, todėl jos atmetamos.

Ar šis skaičiuotuvas gali rasti kompleksines šaknis? Ne. Kai diskriminantas yra neigiamas, jis rodo „realiųjų šaknų nėra“, o ne skaičiuoja kompleksinius skaičius.

Šaltiniai

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST skaitmeninė matematinių funkcijų biblioteka, §1.11, Algebra: kvadratinė lygtis