Arkos Skaičiuoklė - Apskaičiuokite Spindulį, Plotį ir Aukštį

Kas yra arkos skaičiuotuvas?

Arkos skaičiuotuvas pagal bet kuriuos du iš šių dydžių — spindulį, tarpatramį ir pakilimą — nustato apskritiminės arkos matmenis. Jis taip pat apskaičiuoja lanko ilgį ir arkos plotą. Architektai, statybininkai ir mėgėjai jį naudoja planuodami lenktos formos durų angas, langus, tiltus ir sodo konstrukcijas.

Pagrindiniai arkos matmenys

Apskritiminė arka yra iš apskritimo krašto išpjauta dalis. Jos formą apibūdina penki matmenys:

• Spindulys: atstumas nuo to apskritimo centro iki bet kurio arkos kreivės taško.
• Tarpatramis: tiesus horizontalus atstumas tarp dviejų apatinių arkos galų, dar vadinamas pločiu.
• Pakilimas: vertikalus atstumas nuo atramų linijos (tiesios linijos, jungiančios abu galus) iki aukščiausio arkos taško.
• Lanko ilgis: atstumas išilgai lenktos arkos linijos nuo vieno galo iki kito.
• Arkos plotas: lenktos srities, apribotos arka ir atramų linija, plotas.

Arkos matmenų formulės

Šios formulės taikomos apskritiminei arkai, sudarytai iš vieno apskritimo lanko. Jos galioja bet kokiam pakilimui iki dvigubo spindulio. Šis intervalas apima daugumą durų angų, langų ir tiltų arkų, kurias žmonės skaičiuoja, taip pat pasagines arkas, kurių kreivė tęsiasi toliau nei pusapskritimis.

Pakilimo formulė (pagal spindulį ir tarpatramį)

$\text{Pakilimas} = \text{Spindulys} - \sqrt{\text{Spindulys}^2 - \left(\frac{\text{Tarpatramis}}{2}\right)^2}$

Galioja, kai spindulys ir tarpatramis yra teigiami, o tarpatramis ≤ 2 × spindulys.

Spindulio formulė (pagal tarpatramį ir pakilimą)

$\text{Spindulys} = \frac{\text{Tarpatramis}^2}{8 \times \text{Pakilimas}} + \frac{\text{Pakilimas}}{2}$

Galioja, kai tarpatramis ir pakilimas yra teigiami.

Tarpatramio formulė (pagal spindulį ir pakilimą)

$\text{Tarpatramis} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Spindulys} \times \text{Pakilimas} - \text{Pakilimas}^2}$

Galioja, kai spindulys ir pakilimas yra teigiami, o pakilimas ≤ 2 × spindulys.

Lanko ilgio formulė

$\text{Lanko ilgis} = \text{Spindulys} \times \theta$

Čia θ (teta) yra centrinis kampas radianais, kurį arkos kreivė išbrėžia apskritimo centre. Kai pakilimas neviršija spindulio, arka yra ne didesnė už pusapskritimį, todėl θ yra:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Tarpatramis}}{2 \times \text{Spindulys}}\right)$

Kai pakilimas yra didesnis už spindulį, arka yra didesnė už pusapskritimį, todėl θ apskaičiuojamas likusia apskritimo dalimi:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Tarpatramis}}{2 \times \text{Spindulys}}\right)$

Skaičiuotuvas abu atvejus aprėpia vienu veiksmu: θ = 2 × atan2(Tarpatramis ÷ 2, Spindulys − Pakilimas); ši išraiška taip pat išlieka tiksli pusapskritimio atveju.

Arkos ploto formulė

$\text{Arkos plotas} = \frac{1}{2} \times \text{Spindulys}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Tarpatramis} \times (\text{Spindulys} - \text{Pakilimas})$

Kaip naudoti arkos skaičiuotuvą

Skaičiuotuvas turi tris režimus — po vieną kiekvienam matmeniui, kurio gali trūkti.

Apskaičiuoti pakilimą, kai žinomi spindulys ir tarpatramis: įveskite spindulį ir tarpatramį. Įrankis pateiks pakilimą, lanko ilgį ir arkos plotą.

Apskaičiuoti spindulį, kai žinomi tarpatramis ir pakilimas: įveskite tarpatramį ir pakilimą. Įrankis pateiks spindulį, lanko ilgį ir arkos plotą.

Apskaičiuoti tarpatramį, kai žinomi spindulys ir pakilimas: įveskite spindulį ir pakilimą. Įrankis pateiks tarpatramį, lanko ilgį ir arkos plotą.

Skaičiuotuvas atmeta įvestis, pagal kurias negalima sudaryti realios arkos. Tarpatramis negali viršyti dvigubo spindulio, pakilimas negali viršyti dvigubo spindulio, o kiekvienas matmuo turi būti teigiamas skaičius. Kai reikšmė pažeidžia vieną iš šių taisyklių, parodomas klaidos pranešimas.

Skaičiavimo pavyzdys

Pavyzdys 1: durų angos arka

Durų angos arkos tarpatramis yra 36 colių (91,4 cm), o pakilimas — 12 colių (30,5 cm).

Spindulys = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 colio (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radiano

Lanko ilgis = 19,5 × 2,352 = 45,86 colio (116 cm)

Arkos plotas = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 kvadratinių colių (2 010 cm²)

Pavyzdys 2: sodo arka

Sodo arkos spindulys yra 4 pėdos (1,2 m), o tarpatramis — 6 pėdos (1,8 m).

Pakilimas = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 pėdos (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radiano

Lanko ilgis = 4 × 1,696 = 6,78 pėdos (2,07 m)

Arkos plotas = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 kvadratinių pėdų (0,523 m²)

Pavyzdys 3: tilto arka

Tilto arkos tarpatramis yra 50 pėdų (15 m), o pakilimas — 15 pėdų (4,57 m).

Spindulys = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 pėdos (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radiano

Lanko ilgis = 28,33 × 2,162 = 61,25 pėdos (18,7 m)

Arkos plotas = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 kvadratinių pėdų (49,6 m²)

Dažniausi arkų skaičiavimų taikymo atvejai

Statybininkai naudoja arkos matmenis betoninių arkų klojiniams išpjauti, plytų ar akmens mūro arkų šablonams išdėstyti ir skliautuotų lubų kreivei suprojektuoti. Tiltų projektuotojai, derindami apkrovų pasiskirstymą su prošvaisa, naudoja tarpatramį, pakilimą ir spindulį. Restauruojant ar atkuriant istorinę arką, tomis pačiomis formulėmis nustatoma tiksli jos geometrija. Sodininkai ir savarankiškai statantys žmonės jas taiko arkinėms grotelėms, vartams ir dekoratyvinėms angoms.

Šis skaičiuotuvas skirtas tik apskritiminėms arkoms, sudarytoms iš vieno apskritimo lanko. Elipsinės, parabolinės, gotikinės ir grandininės arkos yra sudarytos pagal kitokias kreives, todėl joms reikia kitokių formulių.

Trumpa arkos istorija

Senovės Mesopotamijos statybininkai ankstyvas į arkas panašias formas naudojo jau 2500 m. pr. m. e., tačiau dauguma jų buvo statomos gembiniu būdu — dedant akmenis taip, kad kiekvienas sluoksnis kyšotų virš žemiau esančio, — o ne formuojant tikrą lenktą arką. Romėnai pusapskritimę arką pavertė įprastu statybos būdu ir naudojo ją akvedukams, tiltams bei tokiems pastatams kaip Koliziejus. Viduramžių Europos statybininkai išplėtojo smailėjančią gotikinę arką, leidusią statyti aukštesnius ir lengvesnius statinius. Vėliau architektai, remdamiesi tiksliomis proporcijomis, grįžo prie pusapskritimių formų, o šiuolaikinės medžiagos, tokios kaip plienas ir gelžbetonis, dabar leidžia arkoms įveikti gerokai didesnius atstumus.

Dažnai užduodami klausimai

Kuo skiriasi arkos pakilimas ir aukštis?

Pakilimas yra vertikalus atstumas nuo atramų linijos iki arkos kreivės viršutinio taško. Aukštis kartais reiškia bendrą angos aukštį, įskaitant tiesią sienos dalį po atramų linija.

Ar šis skaičiuotuvas veikia su visų tipų arkomis?

Ne. Jis veikia tik su apskritiminėmis arkomis, suformuotomis kaip apskritimo dalis. Elipsinės, parabolinės, gotikinės ir grandininės arkos yra sudarytos pagal kitokias kreives, todėl joms reikia atskirų formulių.

Koks yra tarpatramio ir spindulio santykis pusapskritimėje arkoje?

Pusapskritimėje arkoje spindulys lygus pusei tarpatramio, o pakilimas lygus spinduliui. Arka sudaro tiksliai pusę apskritimo.

Kodėl tarpatramis negali būti didesnis už dvigubą spindulį?

Tarpatramis, lygus dvigubam spinduliui, jau sudaro pusapskritimį — plačiausią įmanomą tokio spindulio arką. Platesnis tarpatramis apskritime apskritai netilptų.

Kodėl pakilimas negali būti didesnis už dvigubą spindulį (tarpatramio skaičiavimo režime)?

Pakilimas matuojamas nuo atramų linijos iki aukščiausio arkos taško tame pačiame apskritime. Dvigubas spindulys yra visas to apskritimo aukštis, todėl didesnis pakilimas perkeltų arkos viršūnę už apskritimo ribų. Pakilimas nuo spindulio iki dvigubo spindulio yra tinkamas. Tokiu atveju arka yra didesnė už pusapskritimį — tai pasaginėms arkoms būdinga forma.

Kokius matavimo vienetus naudoja skaičiuotuvas?

Tinka bet kuris nuosekliai naudojamas vienetas — coliai, pėdos, metrai arba centimetrai. Įveskite visas reikšmes tuo pačiu vienetu, o rezultatai bus pateikti tuo pačiu vienetu; plotas bus išreikštas to vieneto kvadratu.