Milerio indeksų skaičiuoklė - Konvertuoti kristalo plokštumos perkirtas į (hkl)

Kas yra Millerio indeksai?

Millerio indeksai – tai trijų sveikųjų skaičių aibė, rašoma (h,k,l), nurodanti plokštumą kristalinėje gardelėje. Kristalinė gardelė yra pasikartojantis tvarkingas atomų išsidėstymas kietojoje medžiagoje. Millerio indeksai tiksliai parodo, kokį gardelės pjūvį atitinka plokštuma, todėl nereikia jos geometrijos aprašyti žodžiais. Juos įvedė britų mineralogas Williamas Hallowesas Milleris 1839 metais, ir šiandien jie tebėra standartinis kristalografijos žymėjimas.

Šis skaičiuotuvas perskaičiuoja plokštumos sankirtas su kristalografinėmis x, y ir z ašimis į jos Millerio indeksus (h,k,l).

Millerio indeksų formulė

Millerio indeksai gaunami iš plokštumos sankirtų su ašimis atvirkštinių dydžių. Jei plokštuma kerta x, y ir z ašis atitinkamai a, b ir c atstumais nuo pradžios taško, indeksai tenkina lygtį:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Kaip apskaičiuoti Millerio indeksus iš sankirtų

1. Nustatykite, kur plokštuma kerta kiekvieną ašį, matuodami vienetinės gardelės briaunos vienetais. Šiuos atstumus pažymėkite a, b ir c.
2. Paimkite kiekvienos sankirtos atvirkštinį dydį: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Padauginkite visus tris atvirkštinius dydžius iš to paties skaičiaus, kad kiekvienas taptų sveikuoju skaičiumi.
4. Padalykite tris sveikuosius skaičius iš jų didžiausio bendro daliklio, kad jų nebūtų galima dar labiau sutrumpinti.

Trys gauti sveikieji skaičiai yra h, k ir l. Plokštuma, kuri niekada nekerta ašies, laikoma kertančia ją begalybėje, o 1 padalijus iš begalybės gaunama 0, todėl tos ašies Millerio indeksas yra 0.

Išspręstas pavyzdys

Plokštuma kerta x ašį taške 2, y ašį taške 3, o z ašį taške 6.

1. Sankirtos: (2, 3, 6)
2. Atvirkštiniai dydžiai: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Padauginame iš mažiausio bendro vardiklių kartotinio 6: (3, 2, 1)
4. Didžiausias bendras 3, 2 ir 1 daliklis yra 1, todėl skaičių nebegalima dar labiau sutrumpinti.

Millerio indeksai yra (321).

Kiti pavyzdžiai

• Plokštumos, einančios per (1, ∞, 2) ir lygiagrečios y ašiai, atvirkštiniai dydžiai yra (1, 0, 1/2). Padauginus iš 2, gaunama (2, 0, 1). 0 rodo, kad plokštuma niekada nekerta y ašies.
• Plokštumos, einančios per (-1, 2, 3), atvirkštiniai dydžiai yra (-1, 1/2, 1/3). Padauginus iš 6, gaunama (-6, 3, 2), paprastai rašoma (6̄32), virš neigiamo indekso uždedant brūkšnį.
• Plokštumos, einančios per (1, ∞, ∞), atvirkštiniai dydžiai yra (1, 0, 0), todėl gaunama (100). Tai yra vienas iš šešių kubo paviršių.

Ypatingi atvejai

Plokštuma, lygiagreti ašiai, niekada jos nekerta, todėl ši sankirta laikoma begaline, o jos Millerio indeksas yra 0. Plokštuma, kertanti ašį neigiamoje pradžios taško pusėje, turi neigiamą indeksą: formaliojoje žymėsenoje virš skaičiaus rašomas brūkšnys, o paprastame tekste naudojamas minuso ženklas. Per patį pradžios tašką einančiai plokštumai Millerio indeksų apibrėžti negalima, nes kiekviena lygiagrečių plokštumų šeima gardelėje turi būti nutolusi nuo pradžios taško, kad ją būtų galima indeksuoti; prieš aprašant tokią plokštumą pradžios tašką reikia perkelti. Su trupmeninėmis sankirtomis elgiamasi taip pat kaip ir su sveikosiomis: apskaičiuojamas kiekvienos jų atvirkštinis dydis, tada trupmenos panaikinamos.

Indeksai visada sutrumpinami iki mažiausių galimų sveikųjų skaičių. (622) ir (311) aprašo tą pačią plokštumų šeimą, tačiau kristalografai visada rašo (311).

Kaip naudotis šia skaičiuokle

Įveskite plokštumos sankirtas su x, y ir z ašimis.

• Naudokite teigiamą skaičių sankirtai teigiamoje pradžios taško pusėje, o neigiamą – neigiamoje pusėje.
• Plokštumai, lygiagrečiai ašiai, įveskite „infinity“, „inf“ arba „∞“.
• Nulinė sankirta nepriimama, nes per pradžios tašką einančiai plokštumai šiuo metodu negalima priskirti Millerio indeksų.

Skaičiuotuvas indeksus apskaičiuoja iš karto ir parodo plokštumos diagramą vienetinės gardelės viduje.

Millerio indeksų taikymas

Rentgeno spindulių difrakcija. Kiekviena dėmė arba smailė rentgeno spindulių difrakcijos rašte atitinka tam tikrą gardelės plokštumų, turinčių konkretų (hkl), šeimą. Brago dėsnis susieja atstumą tarp šių plokštumų su difrakcijos kampu:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Čia d_hkl yra atstumas tarp (h,k,l) plokštumų, λ – rentgeno spindulių bangos ilgis, o θ – difrakcijos kampas. Stebimų smailių susiejimas su (hkl) reikšmėmis, vadinamas indeksavimu, yra pagrindinis nežinomos kristalo struktūros nustatymo etapas.

Medžiagų mokslas. Skirtingos kristalo plokštumos atveria skirtingą atomų išsidėstymą, todėl jų paviršiaus energija, cheminių reakcijų greitis ir vaidmuo metalo deformacijoje skiriasi. Kubinės gardelės su centruotais paviršiais metaluose, pavyzdžiui, aliuminyje, atomų plokštumos lengviausiai slenka viena kitos atžvilgiu išilgai {111} plokštumų. Kompiuterių lustams skirti silicio padėklai paprastai pjaunami pagal (100) arba (111) plokštumą, nes pasirinkimas turi įtakos vėlesnių gamybos etapų eigai.

Mineralogija. Natūraliuose kristaluose matomi plokšti paviršiai ir kryptys, kuriomis mineralas lengvai skyla (jo skalumas), atitinka tam tikras mažų indeksų plokštumas. Halitas (valgomoji druska) skyla pagal {100} plokštumas, o fluoritas – pagal {111} plokštumas.

Millerio–Bravaiso indeksai šešiakampiams kristalams

Šešiakampiai kristalai, pavyzdžiui, magnis, cinkas ir titanas, paprastai aprašomi keturių indeksų sistema (hkil), o ne trimis indeksais. Papildomas indeksas i nėra nepriklausomas; visada i = -(h+k). Ši forma leidžia lengviau matyti, kad dvi plokštumos priklauso tai pačiai pagal simetriją ekvivalentiškai šeimai, o tai ne visada akivaizdu vien iš trijų indeksų Millerio žymėsenos šešiakampėje gardelėje.

Istorija

Millerio indeksus Williamas Hallowesas Milleris įvedė savo 1839 metų knygoje A Treatise on Crystallography. Ankstesnės kristalų paviršių žymėjimo sistemos jau egzistavo, tačiau Millerio metodas, kai naudojami sankirtų atvirkštiniai dydžiai, palengvino lygiagrečių ašiai plokštumų aprašymą, nes jų sankirta yra begalinė, o atvirkštinis dydis – tiesiog 0. Maxui von Laue 1912 metais atradus kristalų rentgeno spindulių difrakciją, Williamas Henry Braggas ir Williamas Lawrence'as Braggas parodė, kad Millerio indeksai tiksliai aprašo plokštumas, lemiančias difrakcijos smailes; už šį darbą jie pasidalijo 1915 metų Nobelio fizikos premiją.

Dažnai užduodami klausimai

Kam naudojami Millerio indeksai? Jie nurodo konkrečias kristalinės gardelės plokštumas. Jie naudojami rentgeno spindulių ir elektronų difrakcijos smailėms indeksuoti, metalų slydimo plokštumoms aprašyti, puslaidininkių padėklų orientacijai nurodyti ir mineralų kristalų paviršiams bei skilimui žymėti.

Ką reiškia nulis Millerio indekse? Tai reiškia, kad plokštuma yra lygiagreti tai ašiai ir jos niekada nekerta. Pavyzdžiui, (201) yra lygiagreti y ašiai.

Ką reiškia neigiami Millerio indeksai? Jie reiškia, kad plokštuma kerta tą ašį neigiamoje pradžios taško pusėje. Neigiamas indeksas rašomas virš skaičiaus uždedant brūkšnį, pavyzdžiui, (2̄11), arba naudojant minuso ženklą, pavyzdžiui, (-2,1,1).

Kodėl per pradžios tašką einanti plokštuma negali turėti Millerio indeksų? Millerio indeksai gaunami iš sankirtos atvirkštinio dydžio. Per pradžios tašką einanti plokštuma kerta kiekvieną ašį taške 0, o 1/0 yra neapibrėžta, todėl šiuo metodu indeksų priskirti negalima, nebent plokštuma būtų perkelta.

Kuo skiriasi Millerio ir Millerio–Bravaiso indeksai? Millerio indeksams (hkl) naudojami trys skaičiai, jie tinka bet kuriai kristalų sistemai. Millerio–Bravaiso indeksai (hkil) turi ketvirtą, nuo kitų priklausantį indeksą ir daugiausia naudojami šešiakampiams kristalams, kuriuose jie palengvina simetriškai ekvivalentiškų plokštumų atpažinimą.

Kaip atstumas tarp plokštumų susijęs su Millerio indeksais? Kubiniame kristale, kurio briaunos ilgis yra a, atstumas tarp gretimų (hkl) plokštumų yra d = a / √(h² + k² + l²). Didesnių indeksų plokštumos yra arčiau viena kitos. Kitose kristalų sistemose taikoma panaši, tačiau sudėtingesnė formulė, atsižvelgianti į nevienodus ašių ilgius ir ne-90° kampus.

Šaltiniai

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Kembridžas: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W. ir Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4-asis leidimas). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D. ir Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3-iasis leidimas). Pearson Education.
5. Tarptautinė kristalografijos sąjunga. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.