a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plokštuma

Miller Indeksai (3,2,1) Kristalinė Plokštuma

3D vizualizacija kristalinės plokštumos su Miller indeksais (3,2,1). Plokštuma kerta x, y ir z ašis taškuose 2, 3 ir 6 atitinkamai, gaunant Miller indeksus (3,2,1) po atvirkštinių reikšmių paėmimo ir mažiausio sveikųjų skaičių rinkinio su ta pačia proporcija radimo.

Miller Indeksų Formulė ir Apskaičiavimo Metodas

Norint apskaičiuoti Miller indeksus (h,k,l) kristalinei plokštumai, atlikite šiuos matematinius žingsnius naudodami mūsų Miller indeksų skaičiuoklę:

1. Nustatykite plokštumos interceptus su x, y ir z kristalografinėmis ašimis, suteikdami reikšmes a, b ir c.
2. Paimkite šių interceptų atvirkštines reikšmes: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Paverskite šias atvirkštines reikšmes į mažiausią sveikųjų skaičių rinkinį, kuris išlaiko tą pačią proporciją.
4. Gautieji trys sveikieji skaičiai yra Miller indeksai (h,k,l).

Matematiškai tai galima išreikšti taip:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Kur:

• (h,k,l) yra Miller indeksai
• a, b, c yra plokštumos interceptai su x, y ir z ašimis atitinkamai

Specialūs Atvejai ir Konvencijos

Yra keletas specialių atvejų ir konvencijų, kurias svarbu suprasti:

1. Begalybės Interceptai: Jei plokštuma yra lygiagreti ašiai, jos interceptas laikomas begalybe, o atitinkamas Miller indeksas tampa nuliu.

2. Neigiami Indeksai: Jei plokštuma kerta ašį neigiamos pusėje, atitinkamas Miller indeksas yra neigiamas, žymimas brūkšniu virš skaičiaus kristalografinėje notacijoje, pvz., (h̄kl).

3. Daliniai Interceptai: Jei interceptai yra daliniai, jie paverčiami sveikaisiais skaičiais, padauginus iš mažiausio bendro daliklio.

4. Supaprastinimas: Miller indeksai visada sumažinami iki mažiausio sveikųjų skaičių rinkinio, kuris išlaiko tą pačią proporciją.

Kaip Naudotis Miller Indeksų Skaičiuokle: Žingsnis po Žingsnio Vadovas

Mūsų Miller indeksų skaičiuoklė suteikia paprastą būdą nustatyti Miller indeksus bet kuriai kristalinei plokštumai. Štai kaip naudotis Miller indeksų skaičiuokle:

1. Įveskite Interceptus: Įveskite reikšmes, kur plokštuma kertasi su x, y ir z ašimis.

   • Naudokite teigiamus skaičius interceptams teigiamoje pradinėje pusėje.
   • Naudokite neigiamus skaičius interceptams neigiamos pusėje.
   • Įveskite "0" plokštumoms, kurios yra lygiagrečios ašiai (begalybės interceptas).

2. Peržiūrėkite Rezultatus: Skaičiuoklė automatiškai apskaičiuos ir parodys Miller indeksus (h,k,l) nurodytai plokštumai.

3. Vizualizuokite Plokštumą: Skaičiuoklė apima 3D vizualizaciją, kad padėtų jums suprasti plokštumos orientaciją kristaliniame tinkle.

4. Kopijuokite Rezultatus: Naudokite mygtuką "Kopijuoti į iškarpinę", kad lengvai perkelti apskaičiuotus Miller indeksus į kitas programas.

Miller Indeksų Apskaičiavimo Pavyzdys

Pažvelkime į pavyzdį:

Tarkime, plokštuma kerta x, y ir z ašis taškuose 2, 3 ir 6 atitinkamai.

1. Interceptai yra (2, 3, 6).
2. Paimame atvirkštines reikšmes: (1/2, 1/3, 1/6).
3. Norint rasti mažiausią sveikųjų skaičių rinkinį su ta pačia proporcija, padauginame iš mažiausio bendro daliklio (MBD) (MBD iš 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
4. Todėl Miller indeksai yra (3,2,1).

Miller Indeksų Taikymas Moksle ir Inžinerijoje

Miller indeksai turi daugybę taikymų įvairiose mokslo ir inžinerijos srityse, todėl Miller indeksų skaičiuoklė yra esminė:

Kristalografija ir Rentgeno Difrakcija

Miller indeksai yra būtini interpretuojant rentgeno difrakcijos modelius. Atstumas tarp kristalinių plokštumų, identifikuotų pagal jų Miller indeksus, lemia kampus, kuriais rentgeno spinduliai yra difraguojami, laikantis Bragg'o dėsnio:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Kur:

• $n$ yra sveikasis skaičius
• $\lambda$ yra rentgeno spindulių bangos ilgis
• $d_{hkl}$ yra atstumas tarp plokštumų su Miller indeksais (h,k,l)
• $\theta$ yra kritimo kampas

Medžiagotyra ir Inžinerija

1. Paviršiaus Energijos Analizė: Skirtingos kristalografinės plokštumos turi skirtingas paviršiaus energijas, kurios veikia tokias savybes kaip kristalų augimas, katalizė ir sukibimas.

2. Mechaninės Savybės: Kristalinių plokštumų orientacija veikia mechanines savybes, tokias kaip slydimo sistemos, plyšimo plokštumos ir lūžio elgsena.

3. Puslaidininkių Gamybos: Puslaidininkių gamyboje pasirenkamos specifinės kristalinės plokštumos epitaksiniam augimui ir prietaisų gamybai dėl jų elektroninių savybių.

4. Tekstūros Analizė: Miller indeksai padeda charakterizuoti pageidaujamas orientacijas (tekstūrą) poliakristalinėse medžiagose, kurios veikia jų fizines savybes.

Mineralogija ir Geologija

Geologai naudoja Miller indeksus apibūdinti kristalų paviršius ir plyšimo plokštumas mineraluose, padėdami identifikuoti ir suprasti formavimo sąlygas.

Švietimo Taikymas

Miller indeksai yra pagrindinės sąvokos, mokomos medžiagotyros, kristalografijos ir kietojo kūno fizikos kursuose, todėl ši skaičiuoklė yra vertingas švietimo įrankis.

Alternatyvos Miller Indeksams

Nors Miller indeksai yra plačiausiai naudojama notacija kristalinėms plokštumoms, egzistuoja keletas alternatyvių sistemų:

1. Miller-Bravais Indeksai: Keturių indeksų notacija (h,k,i,l), naudojama šešiakampių kristalų sistemoms, kur i = -(h+k). Ši notacija geriau atspindi šešiakampių struktūrų simetriją.

2. Weber Simboliai: Naudojami daugiausia senesnėje literatūroje, ypač apibūdinant kryptis kubiniuose kristaluose.

3. Tiesioginiai Tinklo Vektoriai: Kai kuriais atvejais plokštumos apibūdinamos naudojant tiesioginius tinklo vektorius, o ne Miller indeksus.

4. Wyckoff Pozicijos: Apibūdina atomų pozicijas kristalinėse struktūrose, o ne plokštumose.

Nepaisant šių alternatyvų, Miller indeksai išlieka standartine notacija dėl savo paprastumo ir universalaus taikymo visose kristalinėse sistemose.

Miller Indeksų Istorija

Miller indeksų sistema buvo sukurta britų mineralogijos ir kristalografijos specialisto William Hallowes Miller 1839 metais, paskelbta jo traktate "A Treatise on Crystallography". Millerio notacija remiasi ankstesniu Auguste Bravais ir kitų darbu, tačiau pateikė elegantiškesnį ir matematiškai nuoseklesnį požiūrį.

Prieš Millerio sistemą buvo naudojamos įvairios notacijos kristalų paviršiams apibūdinti, įskaitant Weiss parametrus ir Naumann simbolius. Millerio inovacija buvo naudoti atvirkštines interceptų reikšmes, kas supaprastino daugelį kristalografinių skaičiavimų ir suteikė intuityvesnį lygiagrečių plokštumų atvaizdavimą.

Miller indeksų priėmimas pagreitėjo su rentgeno difrakcijos atradimu, kurį atliko Max von Laue 1912 metais, ir vėlesniu William Lawrence Bragg ir William Henry Bragg darbu. Jų tyrimai parodė praktinę Miller indeksų naudą interpretuojant difrakcijos modelius ir nustatant kristalų struktūras.

Per 20-ąjį amžių, kai kristalografija tapo vis svarbesnė medžiagotyroje, kietojo kūno fizikoje ir biochemijoje, Miller indeksai tapo tvirtai įsitvirtinę kaip standartinė notacija. Šiandien jie išlieka esminiai moderniose medžiagų charakterizavimo technikose, kompiuterinėje kristalografijoje ir nanomedžiagų dizaino srityse.

Kodo Pavyzdžiai Miller Indeksų Apskaičiavimui

import math
import numpy as np

def calculate_miller_indices(intercepts):
    """
    Apskaičiuoti Miller indeksus iš interceptų
    
    Args:
        intercepts: Trijų interceptų sąrašas [a, b, c]
        
    Returns:
        Trijų Miller indeksų sąrašas [h, k, l]
    """
    # Tvarkyti begalybės interceptus (lygiagrečiai ašiai)
    reciprocals = []
    for intercept in intercepts:
        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
            reciprocals.append(0)
        else:
            reciprocals.append(1 / intercept)
    
    # Rasti ne nulinės reikšmės GCD skaičiavimui
    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
    
    if not non_zero:
        return [0, 0, 0]
    
    # Sumažinti iki protingų sve