Gamma Distribution Calculator

Introduction

Gamma paskirstymas yra tęstinis tikimybių paskirstymas, kuris plačiai naudojamas įvairiose mokslo, inžinerijos ir finansų srityse. Jis apibūdinamas dviem parametrais: formos parametru (k arba α) ir skalės parametru (θ arba β). Šis skaičiuoklė leidžia jums apskaičiuoti įvairias gamma paskirstymo savybes remiantis šiais įvesties parametrais.

Formula

Gamma paskirstymo tikimybių tankio funkcija (PDF) yra pateikta taip:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Kur:

• x > 0 yra atsitiktinis kintamasis
• k > 0 yra formos parametras
• θ > 0 yra skalės parametras
• Γ(k) yra gamma funkcija

Kumulatyvinė paskirstymo funkcija (CDF) yra:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Kur γ(k, x/θ) yra apatinė nebaigta gamma funkcija.

Pagrindinės gamma paskirstymo savybės yra:

1. Vidurkis: $E[X] = k\theta$
2. Variacija: $Var[X] = k\theta^2$
3. Asimetrija: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

How to Use This Calculator

1. Įveskite formos parametrą (k arba α)
2. Įveskite skalės parametrą (θ arba β)
3. Paspauskite "Apskaičiuoti", kad apskaičiuotumėte įvairias gamma paskirstymo savybes
4. Rezultatai parodys vidurkį, variaciją, asimetriją, kurtosis ir kitą svarbią informaciją
5. Bus parodyta tikimybių tankio funkcijos vizualizacija

Calculation

Skaičiuoklė naudoja aukščiau minėtas formules, kad apskaičiuotų įvairias gamma paskirstymo savybes. Štai žingsnis po žingsnio paaiškinimas:

1. Patvirtinkite įvesties parametrus (abu k ir θ turi būti teigiami)
2. Apskaičiuokite vidurkį: $k\theta$
3. Apskaičiuokite variaciją: $k\theta^2$
4. Apskaičiuokite asimetriją: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Apskaičiuokite kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Apskaičiuokite modą: $(k-1)\theta$ kai k ≥ 1, kitaip 0
7. Generuokite taškus PDF kreivei naudodami aukščiau pateiktą formulę
8. Pavaizduokite PDF kreivę

Numerical Considerations

Įgyvendinant gamma paskirstymo skaičiavimus, reikia atsižvelgti į kelis skaitinius aspektus:

1. Labai mažiems formos parametrams (k < 1) PDF gali priartėti prie begalybės, kai x priartėja prie 0, kas gali sukelti skaitinį nestabilumą.
2. Dideliems formos parametrams gamma funkcija Γ(k) gali tapti labai didele, potencialiai sukeldama perpildymą. Tokiais atvejais patartina dirbti su gamma funkcijos logaritmu.
3. Apskaičiuojant CDF, dažnai yra numeriškai stabiliau naudoti specializuotus algoritmus nebaigtai gamma funkcijai, o ne tiesioginį PDF integravimą.
4. Ekstremaliems parametrų vertėms gali prireikti naudoti išplėstinės tikslumo aritmetiką, kad būtų išlaikyta tikslumas.

Use Cases

Gamma paskirstymas turi daugybę taikymo sričių įvairiose srityse:

1. Finansai: Pajamų paskirstymų, draudimo pretenzijų sumų ir turto grąžos modeliavimas
2. Meteorologija: Lietaus modeliavimas ir kitų su oru susijusių reiškinių analizė
3. Inžinerija: Patikimumo analizė ir gedimo laiko modeliavimas
4. Fizika: Laukimo laikų tarp radioaktyvaus skilimo įvykių aprašymas
5. Biologija: Rūšių gausos ir geno ekspresijos lygių modeliavimas
6. Operacijų tyrimai: Eilių teorija ir inventoriaus valdymas

Alternatives

Nors gamma paskirstymas yra universalus, yra susijusių paskirstymų, kurie tam tikrose situacijose gali būti tinkamesni:

1. Eksponentinis paskirstymas: Specialus gamma paskirstymo atvejis, kai k = 1
2. Chi-kvadrato paskirstymas: Specialus gamma paskirstymo atvejis, kai k = n/2 ir θ = 2
3. Weibullo paskirstymas: Dažnai naudojamas kaip alternatyva patikimumo analizėje
4. Logaritminis-norminis paskirstymas: Kita dažnai pasirenkama galimybė modeliuojant iškraipytus, teigiamus duomenis

Parameter Estimation

Dirbant su realiais duomenimis, dažnai reikia įvertinti gamma paskirstymo parametrus. Dažniausiai naudojami metodai:

1. Momentų metodas: Lygiavertinant imties momentus su teoriniais momentais
2. Maksimalios tikimybės įvertinimas (MLE): Ieškant parametrų, kurie maksimalizuoja stebimų duomenų tikimybę
3. Bayeso įvertinimas: Įtraukiant ankstesnę informaciją apie parametrus

Hypothesis Testing

Gamma paskirstymas gali būti naudojamas įvairiuose hipotezių testuose, įskaitant:

1. Gerumo-atitikimo testus, kad nustatytumėte, ar duomenys atitinka gamma paskirstymą
2. Testus dėl dviejų gamma paskirstymų skalės parametrų lygybės
3. Testus dėl dviejų gamma paskirstymų formos parametrų lygybės

History

Gamma paskirstymas turi turtingą istoriją matematikos ir statistikos srityse:

• 18 amžius: Leonhardas Euleris pristatė gamma funkciją, kuri yra glaudžiai susijusi su gamma paskirstymu
• 1836: Siméon Denis Poisson naudojo specialų gamma paskirstymo atvejį savo darbe dėl tikimybių teorijos
• 1920-aisiais: Ronaldas Fisheris populiarino gamma paskirstymo naudojimą statistinėje analizėje
• XX a. viduryje: Gamma paskirstymas tapo plačiai naudojamas patikimumo inžinerijoje ir gyvenimo testavime
• XX a. pabaigoje iki dabar: Kompiuterinės galios pažanga palengvino darbą su gamma paskirstymais įvairiose taikymo srityse

Examples

Štai keletas kodo pavyzdžių, kaip apskaičiuoti gamma paskirstymo savybes:

1' Excel VBA funkcija gamma paskirstymo PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Naudojimas:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma paskirstymas (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Tikimybės tankis')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Pavyzdžio naudojimas:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Apskaičiuoti savybes
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Vidurkis: {mean}")
29print(f"Variacija: {variance}")
30print(f"Asimetrija: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Vidurkis: ${mean}`);
19    console.log(`Variacija: ${variance}`);
20    console.log(`Asimetrija: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Pavyzdžio naudojimas:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Pavaizduoti PDF (naudojant hipotetinę braižymo biblioteką)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Šie pavyzdžiai demonstruoja, kaip apskaičiuoti gamma paskirstymo savybes ir vizualizuoti jo tikimybių tankio funkciją naudojant įvairias programavimo kalbas. Galite pritaikyti šias funkcijas savo specifiniams poreikiams arba integruoti jas į didesnes statistinės analizės sistemas.

References

1. "Gamma paskirstymas." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Prieiga 2024 m. rugpjūčio 2 d.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.