Gamos skirstinio skaičiuoklė - Statistinės analizės įrankis

Kas yra gama skirstinio skaičiuoklė?

Gama skirstinio skaičiuoklė pagal du įvesties duomenis – formos parametrą ir mastelio parametrą – nustato gama skirstinio vidurkį, dispersiją, asimetriją, ekscesą ir modą. Ji taip pat nubraižo skirstinio tikimybės tankio funkciją kaip kreivę.

Kas yra gama skirstinys?

Gama skirstinys yra tolydusis tikimybinis skirstinys, taikomas teigiamoms reikšmėms. Jį apibrėžia du parametrai: formos parametras, paprastai žymimas k, ir mastelio parametras, paprastai žymimas θ (teta). Abu jie turi būti didesni už nulį. Gama skirstinys naudojamas dydžiams, kurie negali būti neigiami, modeliuoti, pavyzdžiui, kritulių kiekiams, draudimo žalų dydžiams ir laikui iki mašinos dalies gedimo.

Gama skirstinio formulė

Gama skirstinio tikimybės tankio funkcija (PDF) yra:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Čia x yra reikšmė, kuriai matuojamas tankis, o Γ(k) yra gama funkcija – faktorialo apibendrinimas ne sveikiesiems skaičiams. Formulė galioja tik, kai x > 0; visur kitur tankis lygus nuliui.

Kaip apskaičiuoti gama skirstinio savybes

Pagal formos parametrą k ir mastelio parametrą θ skaičiuoklė nustato:

• Vidurkis: k × θ
• Dispersija: k × θ²
• Asimetrija: 2 / √k
• Ekscesas: 3 + 6 / k
• Moda: (k − 1) × θ, kai k ≥ 1, kitu atveju 0

Asimetrija parodo, kiek kreivė yra nesimetriška. Mažesnė k reikšmė lemia ilgesnę dešinę uodegą. Ekscesas parodo, kokios sunkios uodegos, palyginti su normaliuoju skirstiniu, kurio ekscesas lygus 3. Moda yra x reikšmė, kurioje kreivė pasiekia viršūnę. Kai k mažesnis už 1, tankis didėja x artėjant prie 0, todėl vidinės viršūnės nėra ir skaičiuoklė nurodo modos reikšmę 0.

Išspręstas pavyzdys

Tarkime, formos parametras k = 2, o mastelio parametras θ = 3.

• Vidurkis = 2 × 3 = 6
• Dispersija = 2 × 3² = 18
• Asimetrija = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Ekscesas = 3 + 6 / 2 = 6
• Moda = (2 − 1) × 3 = 3

Modos taške, kai x = 3, tankis apskaičiuojamas taip: f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Įvedus abu parametrus, skaičiuoklė automatiškai nubraižo visą kreivę.

Kaip naudoti gama skirstinio skaičiuoklę

1. Įveskite formos parametrą (k) – teigiamą skaičių.
2. Įveskite mastelio parametrą (θ) – teigiamą skaičių.
3. Vidurkis, dispersija, asimetrija, ekscesas ir moda parodomi iškart, kai abiejuose laukuose įrašomi tinkami skaičiai. Atskiro skaičiavimo mygtuko nėra: rezultatai atnaujinami įvedant skaičius.
4. Po rezultatais esančioje diagramoje rodoma tikimybės tankio funkcija. Ji braižoma nuo reikšmės, esančios šiek tiek virš x = 0, iki didesnės iš šių ribų: trijų vidurkių arba penkių mastelio parametro reikšmių.

Abu parametrai turi būti baigtiniai skaičiai, didesni už 0, ir nė vienas negali būti didesnis už 1000. Taip pat atmetamos reikšmės, mažesnės nei maždaug 2 × 10⁻¹⁶, nes tokio dydžio reikšmėms suvestinės skaičių reikšmės tampa beprasmės. Už leistino intervalo ribų esanti reikšmė vietoj rezultatų pateikia klaidos pranešimą.

Kur naudojamas gama skirstinys

Gama skirstinys modeliuoja daugelį realių dydžių, kurie visada yra teigiami ir dažnai yra pasvirę į dešinę:

• Draudimas: žalų dydžiai ir išmokų sumos
• Meteorologija: per nustatytą laikotarpį iškritusių kritulių kiekiai
• Inžinerija: laikas iki komponento gedimo
• Eilių teorija: laukimo trukmės, sudarytos iš kelių eksponentinių etapų
• Biologija: genų raiškos lygiai ir rūšių skaičiaus duomenys

Susiję skirstiniai

Du gerai žinomi skirstiniai yra ypatingi gama skirstinio atvejai:

• Eksponentinis skirstinys: gama skirstinys, kurio k = 1
• Chi kvadrato skirstinys: gama skirstinys, kurio k = n/2 ir θ = 2, kur n yra laisvės laipsnių skaičius

Veibulio ir lognormalusis skirstiniai yra dažnos alternatyvos teigiamiems, asimetriškiems duomenims modeliuoti.

Dažnai užduodami klausimai

Kam naudojamas gama skirstinys? Jis modeliuoja tolydžius teigiamus dydžius, pavyzdžiui, laukimo trukmes, kritulių kiekius ir draudimo žalas, ypač kai duomenys krypsta didelių reikšmių link.

Kaip rasti gama skirstinio vidurkį? Padauginkite formos parametrą iš mastelio parametro: vidurkis = k × θ. Kai k = 2 ir θ = 3, vidurkis yra 6.

Kuo skiriasi formos ir mastelio parametrai? Formos parametras (k) lemia kreivės formą, įskaitant jos asimetriją. Mastelio parametras (θ) ištempia arba suspaudžia kreivę išilgai x ašies, nekeisdamas pagrindinės jos formos.

Kaip gama skirstinys susijęs su eksponentiniu skirstiniu? Eksponentinis skirstinys yra gama skirstinys, kurio formos parametras k = 1.

Ar gama skirstinys gali įgyti neigiamas reikšmes? Ne. Jis apibrėžtas tik tada, kai x > 0. Duomenims, kurie gali būti neigiami, reikia kito skirstinio, pavyzdžiui, normaliojo skirstinio.

Ar ši skaičiuoklė apskaičiuoja suminę skirstinio funkciją? Ne. Ji apskaičiuoja vidurkį, dispersiją, asimetriją, ekscesą ir modą bei nubraižo tikimybės tankio funkciją. Suminės tikimybės reikšmių ji nepateikia.

Šaltiniai

1. "Gamma distribution." Vikipedija, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S. ir Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. John Wiley & Sons.