Pereiti prie turinio
🛠️
Whiz Tools

Binominės skirstinės skaičiuoklė - Nemokamas tikimybių įrankis

Akimirksniu apskaičiuokite binominės skirstinės tikimybes. Nemokama internetinė skaičiuoklė statistikai, duomenų mokslui ir tikimybių teorijai su išsamiais žingsniais.

Binominės Skirstinės Skaičiuotuvas

Tikimybė
0.246094

Binominės Skirstinės Vizualizacija

Binominės Skirstinės Diagrama
Diagrama, rodanti binominę skirstinę 10 bandymams su 0.5 sėkmės tikimybe0.00000.05000.10000.15000.20000.2500Tikimybė012345678910Sėkmių Skaičius (k)0.00100.00980.04390.11720.20510.24610.20510.11720.04390.00980.0010
Įkrovimo skaičiuotuvas...
📚

Dokumentacija

Kas yra binominio skirstinio skaičiuoklė?

Binominio skirstinio skaičiuoklė nustato tikimybę gauti tikslų sėkmių skaičių per fiksuotą nepriklausomų bandymų skaičių, kai kiekvieno bandymo sėkmės tikimybė yra tokia pati. Ji naudojama statistikoje, kokybės kontrolėje, medicinoje ir bet kurioje srityje, kurioje tiriami pasikartojantys įvykiai, kurių baigtis gali būti tik „taip“ arba „ne“.

Pagrindinė idėja yra binominis skirstinys – tikimybinis modelis sėkmėms skaičiuoti per pasikartojančius bandymus, kurių kiekvienas turi tik dvi baigtis, paprastai vadinamas sėkme ir nesėkme.

Binominio skirstinio formulė

Tikimybė gauti tiksliai k sėkmių per n bandymų yra:

P(X=k)=(nk) pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}

Kiekvienas simbolis reiškia:

  • n — bandymų skaičius.
  • k — sėkmių skaičius, kurio tikimybę reikia rasti.
  • p — sėkmės tikimybė per vieną bandymą; tai skaičius nuo 0 iki 1.
  • (nk)\binom{n}{k} — binominis koeficientas, nurodantis skirtingų būdų pasirinkti k sėkmių iš n bandymų skaičių. Jis lygus n!k!(n−k)!\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Kiekvienas bandymas turi būti nepriklausomas, t. y. vieno bandymo baigtis neturi keisti kito bandymo tikimybės, o sėkmės tikimybė p turi išlikti tokia pati per visus bandymus. Vienas bandymas su dviem galimomis baigtimis, pavyzdžiui, vienas monetos metimas, vadinamas Bernulio bandymu. Binominis skirstinys gaunamas sudėjus n Bernulio bandymų.

Kaip apskaičiuoti binominę tikimybę

  1. Užrašykite n, k ir p.
  2. Apskaičiuokite binominį koeficientą (nk)\binom{n}{k} – būdų išdėstyti k sėkmių tarp n bandymų skaičių.
  3. Pakelkite p k laipsniu.
  4. Pakelkite (1 − p) (n − k) laipsniu.
  5. Sudauginkite visus tris skaičius.

Šiame puslapyje esanti skaičiuoklė šiuos veiksmus atlieka automatiškai. Įveskite n, p ir k, o ji pateiks P(X = k) bei stulpelinę diagramą, rodančią kiekvienos galimos baigties tikimybę nuo 0 iki n sėkmių.

Išspręstas pavyzdys

Pavyzdys 1: monetos metimai

Sąžininga moneta metama 10 kartų. Kokia tikimybė, kad herbas iškris tiksliai 3 kartus?

  • n = 10, p = 0,5, k = 3
  • (103)=120\binom{10}{3} = 120
  • 0.53=0.1250.5^3 = 0.125
  • 0.57=0.00781250.5^{7} = 0.0078125
  • Rezultatas: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, arba maždaug 11,72 %

Pavyzdys 2: kokybės kontrolė

Gamykla patikrina 100 gaminių. Kiekvieno gaminio defektų tikimybė yra 2 %. Kokia tikimybė, kad nė vienas iš 100 gaminių neturės defektų?

  • n = 100, p = 0,02, k = 0
  • Kadangi k = 0, formulė supaprastėja iki (1−p)n=0.98100(1-p)^n = 0.98^{100}
  • Rezultatas: ≈ 0,1326, arba maždaug 13,26 %

Pavyzdys 3: ligos tyrimas

Mieste dėl ligos, kuria serga 0,1 % gyventojų, ištiriama 1 000 žmonių (p = 0,001). Kokia tikimybė, kad tiksliai 5 iš 1 000 žmonių bus užsikrėtę?

  • n = 1000, p = 0,001, k = 5
  • (10005)=8,250,291,250,200\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200
  • 0.0015=1×10−150.001^5 = 1 \times 10^{-15}
  • 0.999995≈0.36950.999^{995} \approx 0.3695
  • Rezultatas: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, arba maždaug 0,30 % (tiksli reikšmė 0,0030488, t. y. 0,30488 %)

Vidurkis ir dispersija

Binominiam skirstiniui su parametrais n ir p:

  • Vidurkis (laukiamoji reikšmė): E(X) = np
  • Dispersija: Var(X) = np(1 − p)
  • Standartinis nuokrypis: σ = √[np(1 − p)]

Vidurkis nurodo vidutinį tikėtiną sėkmių skaičių per daugelį pakartojimų. Pavyzdyje 1 vidurkis yra 10 × 0,5 = 5 herbai.

Ką priima skaičiuoklė

  • n turi būti sveikasis skaičius, lygus 1 arba didesnis. Dešimtainis įrašas suapvalinamas iki artimiausio sveikojo bandymų skaičiaus, todėl 10,9 laikomas 11.
  • p turi būti nuo 0 iki 1, įskaitant abu galinius taškus.
  • k turi būti sveikasis skaičius, lygus 0 arba didesnis, ir negali būti didesnis už n. Gauti 8 sėkmes per 5 bandymus neįmanoma, todėl skaičiuoklė vietoj skaičiaus pateikia klaidą.

Jei kuris nors laukelis paliekamas tuščias, skaičiuoklė nerodo nei rezultato, nei diagramos, užuot spėjusi reikšmę.

Kada taikomas binominis skirstinys

Binominis skirstinys tinka situacijai tik tada, kai tenkinamos visos keturios sąlygos:

  1. Bandymų skaičius n iš anksto yra fiksuotas.
  2. Kiekvienas bandymas turi tik dvi baigtis: sėkmę arba nesėkmę.
  3. Sėkmės tikimybė p yra tokia pati per kiekvieną bandymą.
  4. Bandymai yra nepriklausomi vienas nuo kito.

Traukiant kortas iš kaladės ir negrąžinant jų atgal, nepriklausomumo sąlyga pažeidžiama, nes ištraukus kortą pasikeičia kito traukimo tikimybė. Tokiu atveju taikomas hipergeometrinis skirstinys.

Susiję skirstiniai

  • Puasono skirstinys: naudojamas binominiam skirstiniui apytiksliai įvertinti, kai n yra didelis, o p mažas, todėl vidutinis sėkmių skaičius (np) išlieka saikingas. Jis dažnai taikomas retiems įvykiams, pavyzdžiui, ligos atvejui Pavyzdyje 3, modeliuoti.
  • Normalusis skirstinys: kai n yra didelis, o p nėra pernelyg arti 0 ar 1, binominis skirstinys yra apytiksliai varpo formos ir gali būti aproksimuojamas normaliuoju skirstiniu, kurio vidurkis yra np, o dispersija – np(1 − p).
  • Hipergeometrinis skirstinys: naudojamas vietoj binominio skirstinio, kai imtis iš baigtinės populiacijos sudaroma negrąžinant elementų.

Dažnai užduodami klausimai

Ką daro binominio skirstinio skaičiuoklė?

Ji apskaičiuoja tikimybę gauti tiksliai k sėkmių per n nepriklausomų bandymų, kurių kiekvieno sėkmės tikimybė yra p, naudodama formulę P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Kuo skiriasi binominis ir normalusis skirstiniai?

Binominis skirstinys yra diskretus, t. y. jis pateikia tik sveikaisiais skaičiais išreikštą sėkmių skaičių. Normalusis skirstinys yra tolydusis. Kai n yra didelis, binominį skirstinį galima aproksimuoti normaliojo skirstinio kreive, kurios vidurkis yra np, o dispersija – np(1 − p).

Ar p gali būti 0 arba 1?

Taip. Jei p = 0, nė vienas bandymas negali būti sėkmingas, todėl P(X = 0) = 1. Jei p = 1, kiekvienas bandymas būna sėkmingas, todėl P(X = n) = 1. Visų kitų k reikšmių tikimybė tokiais atvejais yra 0.

Koks ryšys tarp binominio ir Bernulio skirstinių?

Bernulio skirstinys apibūdina vieną bandymą su dviem baigtimis (n = 1). Binominis skirstinys yra n nepriklausomų Bernulio bandymų suma, todėl Bernulio skirstinys tėra binominis skirstinys, kai n = 1.

Koks gali būti n, kol skaičiuoklė nepradeda pateikti netikslių rezultatų?

Skaičiuoklė veikia naudodama standartinę dvigubo tikslumo aritmetiką. Ji tiesiogiai padaugina tris formulės dalis ir pereina prie logaritmų, kai binominis koeficientas viršija didžiausią skaičių, kurį gali išlaikyti dvigubo tikslumo formatas; taip nutinka, kai n yra maždaug 1 000, o k yra arti n/2. Rezultatai ir toliau išlieka teisingi. Tikimybė, mažesnė nei maždaug 1e-308, pateikiama kaip 0, nes jos negali išlaikyti joks dvigubo tikslumo skaičius.

Kaip apskaičiuojamas binominis koeficientas?

Binominis koeficientas C(n, k) nurodo būdų pasirinkti k elementų iš n elementų skaičių, neatsižvelgiant į jų tvarką. Jis lygus n! / (k! × (n − k)!). Skaičiuoklė jį sudaro palaipsniui: daugina iš vieno daugiklio ir dalija iš kito, todėl jai nereikia saugoti viso faktorialo. Kai n labai didelis, ji vietoj to sudeda šių daugiklių logaritmus.

Šaltiniai

  1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
  2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
  3. Johnson, Norman L. ir kt. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.