Puasono skirstinio skaičiuoklė - Apskaičiuokite įvykių tikimybes

Kas yra Puasono skirstinio skaičiuoklė?

Puasono skirstinio skaičiuoklė nustato tikimybę, kad per tam tikrą fiksuotą laiko tarpą ar erdvės intervalą įvyks tam tikras įvykių skaičius, kai žinoma, kaip dažnai įvykiai vidutiniškai vyksta. Ji naudojama, kai įvykiai vyksta po vieną, nepriklausomai vienas nuo kito, pastoviu vidutiniu dažniu. Tipiniai pavyzdžiai – per valandą skambučių centrą pasiekiančių skambučių skaičius arba puslapyje esančių rašybos klaidų skaičius.

Puasono skirstinio formulė

Puasono skirstinys nurodo tikimybę, kad įvyks tiksliai k įvykių, kai vidutinis dažnis yra λ (graikų raidė lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Kiekvienas simbolis reiškia:

• λ (lambda) — vidutinis įvykių skaičius per intervalą. Tai vienintelis skirstinio parametras.
• k — tikslus įvykių skaičius, kurio tikimybė skaičiuojama. Tai turi būti sveikasis skaičius, 0 arba didesnis.
• e — Eulerio skaičius, pastovioji, lygi maždaug 2,71828.
• k! — „k faktorialas“, visų sveikųjų skaičių nuo 1 iki k sandauga. Pavyzdžiui, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Pagal susitarimą 0! = 1.

Formulei reikia tik λ ir k. Bendras bandymų skaičius nereikalingas, kitaip nei binominiam skirstiniui.

Kaip apskaičiuoti Puasono tikimybę

1. Pasirinkite λ – tiriamo intervalo vidutinį įvykių skaičių.
2. Pasirinkite k – tikslų įvykių skaičių, kurio tikimybę reikia rasti.
3. Pakelkite e neigiamo λ laipsniu: gausite e^(−λ).
4. Pakelkite λ k laipsniu: gausite λ^k.
5. Raskite k!, tai yra k faktorialą.
6. Padauginkite 3 ir 4 veiksmų rezultatus, tada padalykite iš 5 veiksmo rezultato.

Gautas skaičius yra tikimybė nuo 0 iki 1. Padauginkite ją iš 100, kad išreikštumėte procentais.

Išspręstas pavyzdys

Skambučių centras vidutiniškai gauna 5 skambučius per valandą (λ = 5). Kokia tikimybė, kad per tam tikrą valandą jis gaus tiksliai 3 skambučius (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Padauginkite: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Padalykite iš 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Tikimybė per tą valandą gauti tiksliai 3 skambučius yra maždaug 0,140, arba 14 %.

Daugiau pavyzdžių

Kur naudojamas Puasono skirstinys

Puasono skirstinys modeliuoja retų, nepriklausomų įvykių skaičių. Dažniausi taikymo atvejai:

• Skambučių centrai ir klientų aptarnavimas: prognozuojama, kiek skambučių ar pokalbių per valandą bus gauta.
• Gamyba: vertinamas broko vienetų skaičius gaminių partijoje.
• Draudimas: vertinama, kiek per tam tikrą laikotarpį bus gauta draudimo išmokų prašymų.
• Biologija ir medicina: modeliuojamas mutacijų skaičius arba retų ligų plitimas.
• Fizika: aprašomas radioaktyvusis skilimas, kai kiekvienas atomas skyla nepriklausomai pastoviu vidutiniu dažniu.
• Eismas ir tinklų inžinerija: vertinamas transporto priemonių atvykimas į sankryžą arba užklausų skaičius serveryje.

Puasono skirstinio taikymo sąlygos

Puasono skirstinys tinka situacijai tik tada, kai tenkinamos visos šios sąlygos:

• Įvykiai vyksta po vieną; du įvykiai negali įvykti lygiai tuo pačiu momentu.
• Įvykiai vyksta nepriklausomai – vienas įvykis nepadaro kito įvykio labiau ar mažiau tikėtino.
• Vidutinis dažnis λ išlieka pastovus visame tiriamame intervale.

Jei dažnis laikui bėgant kinta arba įvykiai linkę telktis, paprastasis Puasono skirstinys duomenų tinkamai neaprašys.

Puasono ir susiję skirstiniai

• Binominis skirstinys: naudojamas, kai yra fiksuotas bandymų skaičius ir žinoma sėkmės tikimybė kiekvieno bandymo metu, pavyzdžiui, metant monetą 20 kartų. Puasono skirstinys gaunamas iš binominio skirstinio, kai bandymų skaičius tampa labai didelis, o sėkmės tikimybė per bandymą artėja prie nulio, tačiau jų sandauga išlieka maždaug lygi λ.
• Normalusis skirstinys: kai λ didelis, maždaug didesnis nei 20, Puasono skirstinys yra panašus į varpo formos normalųjį skirstinį, kurio vidurkis ir dispersija lygūs λ.
• Eksponentinis skirstinys: Puasono skirstinys skaičiuoja, kiek įvykių įvyksta per fiksuotą intervalą, o eksponentinis skirstinys aprašo laukimo tarp šių įvykių trukmę.

Pastaba apie istoriją

Prancūzų matematikas Siméonas Denisas Poissonas skirstinį pristatė 1837 metais knygoje apie tikimybę, taikomą teismų sprendimams. Iš pradžių jis sulaukė mažai dėmesio. Jo naudojimas išaugo 20-ojo amžiaus pradžioje, kai statistikai, tokie kaip Ladislausas Bortkiewiczius ir Ronaldas Fisheris, pradėjo jį taikyti tikriems įvykių skaičiaus duomenims, įskaitant garsų Prūsijos karių, žuvusių nuo arklių spyrių, tyrimą.

Dažnai užduodami klausimai

Ką lambda (λ) reiškia Puasono skirstinyje? Lambda yra vidutinis tikėtinas įvykių skaičius tiriamame intervale. Tai taip pat yra skirstinio dispersija, todėl didesnis λ reiškia ir didesnį vidutinį skaičių, ir didesnę galimų rezultatų sklaidą.

Ar k arba λ gali būti neigiamas arba trupmeninis? λ turi būti didesnis už 0, tačiau gali būti dešimtainis skaičius, pavyzdžiui, 2,5 įvykio per valandą. k turi būti sveikasis skaičius, lygus 0 arba didesnis, nes jis skaičiuoja realius įvykius; jis negali būti neigiamas ar trupmeninis.

Kuo Puasono skirstinys skiriasi nuo binominio skirstinio? Binominiam skirstiniui reikia fiksuoto bandymų skaičiaus ir fiksuotos sėkmės tikimybės per bandymą. Puasono skirstiniui reikia tik vidutinio dažnio, be to, jis tinka įvykiams, kurie iš esmės gali įvykti bet kiek kartų.

Kada vietoj jo reikėtų naudoti normalųjį skirstinį? Kai λ didelis, paprastai didesnis nei maždaug 20, normalusis skirstinys, kurio vidurkis ir dispersija tokie patys, gerai aproksimuoja Puasono skirstinį ir dažnai yra lengviau apskaičiuojamas rankiniu būdu.

Kodėl skaičiuoklė kartais rodo skaičių moksliniu užrašu? Rezultatai paprastai rodomi šešių skaitmenų po kablelio tikslumu. Kai tikimybė yra mažesnė nei 0,0001, suapvalinus iki šešių skaitmenų po kablelio būtų rodoma 0,000000 ir nebūtų matyti, kokia ji iš tikrųjų maža, todėl skaičiuoklė vietoj to pereina prie mokslinio užrašo. Kai λ = 20 ir k = 1, ji rodo 4.122307e-8, o tai reiškia 0,00000004122307.

Ar yra ribojimų, kokias reikšmes skaičiuoklė priima? Taip. λ turi būti didesnis už 0 ir ne didesnis nei 700, o k turi būti sveikasis skaičius nuo 0 iki 1000. Viršijus šias ribas, skaičiuoklė rodo klaidą. Šios ribos užtikrina, kad rezultatas patektų į skaičių intervalą, kurį gali saugoti kompiuteris, ir kad diagramoje būtų įskaitomas stulpelių skaičius.

Ar Puasono skirstinys leidžia vienu metu įvykti daugiau nei vienam įvykiui? Ne. Modelyje daroma prielaida, kad įvykiai vyksta po vieną. Jei du įvykiai dažnai įvyksta kartu, duomenims geriau tinka kitas skirstinys.

Šaltiniai

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paryžius, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. Niujorkas: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH statistinių metodų elektroninis vadovas, skyrius 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp ir Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.