Laplaso skirstinio skaičiuotuvas - Nemokamas PDF ir vizualizacijos įrankis

Kas yra Laplaso skirstinys?

Laplaso skirstinys, dar vadinamas dvigubuoju eksponentiniu skirstiniu, yra tolydusis tikimybinis skirstinys, kurio forma primena dvi eksponentines kreives, sujungtas viena su kita viršūnėje. Jis yra simetriškas apie centrinę reikšmę, o jo uodegos yra sunkesnės nei normaliojo skirstinio, todėl ekstremalios reikšmės turi didesnę tikimybę. Šiame puslapyje esanti Laplaso skirstinio skaičiuoklė pagal vietos parametrą ir mastelio parametrą nustato didžiausią skirstinio tikimybės tankį ir nubraižo visą tankio kreivę.

Skirstinys pavadintas prancūzų matematiko Pierre'o-Simono Laplace'o vardu; jis pirmasis jį aprašė 1774 metais.

Laplaso skirstinio formulė

Laplaso skirstinio tikimybės tankio funkcija (PDF) yra:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x yra bet kuris skaičių tiesės taškas.
• μ (mju), vietos parametras, yra skirstinio centras. Jis taip pat yra vidurkis ir mediana.
• b, mastelio parametras, kontroliuoja, kiek skirstinys išsiskleidęs. Jis turi būti didesnis už 0.
• |x − μ| yra atstumas tarp x ir centro, neatsižvelgiant į kryptį.

Kreivė aukščiausią tašką pasiekia tiksliai ties x = μ. Tame taške formulė supaprastėja, nes |μ − μ| = 0 ir exp(0) = 1, todėl lieka:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Ši didžiausia reikšmė, 1/(2b), yra skaičius, kurį pateikia skaičiuoklė.

Kaip naudoti Laplaso skirstinio skaičiuoklę

1. Įveskite vietos parametrą (μ). Taip nustatoma, kur yra skirstinio centras.
2. Įveskite mastelio parametrą (b). Tai turi būti teigiamas skaičius; kuo didesnė parametro reikšmė, tuo kreivė plokštesnė ir labiau išsiskleidusi.
3. Skaičiuoklė rodo didžiausią tankį, 1/(2b), ir nubraižo tankio kreivę f(x) nuo μ − 4b iki μ + 4b. Grafiko vertikalioji ašis rodo tikimybės tankį, o kreivę galima atsisiųsti kaip x ir f(x) reikšmių lentelę.

Skaičiuoklė neprašo atskiros x reikšmės. Ji visada pateikia tankį ties paties skirstinio viršūne, x = μ, nes tai yra vienintelis naudingiausias apibendrinantis skaičius, kai lyginami skirtingo mastelio skirstiniai. Norėdami rasti tankį kitame taške, naudokite pirmiau pateiktą formulę su dominančia x reikšme arba nuskaitykite kreivės aukštį grafike.

Išspręstas pavyzdys

Tarkime, kad vietos reikšmė yra μ = 4, o mastelio reikšmė b = 2.

1. Patikrinkite, ar b yra teigiamas: 2 > 0, todėl įvestys yra tinkamos.
2. Viršūnė yra ties x = μ = 4, kur |x − μ| = 0.
3. Apskaičiuokite didžiausią tankį: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Skaičiuoklė rodo 0,250000. Nubraižyta kreivė pasiekia viršūnę taške (4, 0,25) ir simetriškai leidžiasi abiejose pusėse, apimdama intervalą nuo μ − 4b iki μ + 4b, t. y. šiuo atveju nuo −4 iki 12.

Kadangi didžiausio tankio formulėje 1/(2b) μ nėra, pakeitus vietą kreivė tik pasislenka į kairę arba į dešinę. Jos aukštis nesikeičia. Aukštį keičia tik mastelio parametras.

Daugiau pavyzdžių

Vidurkis, dispersija ir standartinis nuokrypis

Laplaso skirstiniui, kurio vieta yra μ, o mastelis – b:

• Vidurkis = μ
• Mediana = μ
• Dispersija = 2b²
• Standartinis nuokrypis = b√2

Laplaso skirstinys ir normalusis skirstinys

Abu skirstiniai yra simetriški ir varpo formos, o juos visiškai apibūdina centras ir sklaidos parametras. Skirtumas slypi uodegose. Normaliojo skirstinio tankis mažėja proporcingai atstumo nuo vidurkio kvadratui, todėl ekstremalios reikšmės labai greitai tampa beveik neįmanomos. Laplaso skirstinio tankis mažėja proporcingai pačiam atstumui, todėl ekstremalios reikšmės išlieka palyginti labiau tikėtinos. Dėl to Laplaso skirstinys naudingas, kai realiuose duomenyse yra daugiau išskirčių, nei numato normalusis skirstinys.

Dažniausi naudojimo atvejai

• Signalų ir vaizdų apdorojimas: triukšmui modeliuoti ir vaizdams glaudinti, nes pikselių ar signalų skirtumai dažnai telkiasi aplink nulį, tačiau retkarčiais pasitaiko didelių šuolių.
• Diferencinis privatumas: Laplaso mechanizmas prie užklausų rezultatų prideda pagal Laplaso skirstinį paskirstytą triukšmą, kad apsaugotų asmens duomenis ir išsaugotų bendrą tikslumą.
• Robustinė statistika ir regresija: Lasso regresijoje naudojamas Laplaso formos apriorinis skirstinys, kuris teikia pirmenybę sprendiniams, kuriuose daugelis koeficientų yra lygūs nuliui.
• Finansai: turto grąžai modeliuoti, nes jos uodegos paprastai būna sunkesnės, nei leidžia manyti normalusis skirstinys.
• Seismologija: naudojamas žemės drebėjimų magnitudžių modeliuose, susijusiuose su Gutenberg–Richterio dėsniu.

Dažnai užduodami klausimai

Ką reiškia skaičiuoklės rezultatas?

Tai yra tikimybės tankio funkcijos didžiausia reikšmė, lygi 1/(2b). Tai kreivės aukštis jos centre, x = μ.

Kodėl skaičiuoklė neprašo x reikšmės?

Didžiausias tankis, 1/(2b), yra toks pats ties kiekviena x reikšme, lygia μ, todėl jam rasti nereikia atskiros x įvesties. Tai standartinis vienas skaičius, naudojamas palyginti, kuri iš dviejų Laplaso skirstinių kreivių yra aukštesnė ir siauresnė arba žemesnė ir platesnė. Visa kreivė, rodanti tankį ties kiekviena x reikšme, pateikiama grafike.

Kaip rasti tankį taške, esančiame ne viršūnėje?

Naudokite formulę $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ su dominančia x reikšme arba nuskaitykite aukštį tiesiai iš nubraižytos kreivės.

Kuo Laplaso skirstinys skiriasi nuo eksponentinio skirstinio?

Laplaso skirstinį galima sudaryti iš dviejų eksponentinių skirstinių. Jei X ir Y yra nepriklausomi eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai, kurių intensyvumo parametras yra vienodas, tuomet X − Y turi Laplaso skirstinį, kurio centras yra 0.

Kur paprastai naudojamas Laplaso skirstinys?

Jis naudojamas signalams apdoroti, vaizdams glaudinti, diferenciniam privatumui, robusinės statistikos ir Lasso regresijos uždaviniuose, taip pat finansinei grąžai ir žemės drebėjimų magnitudėms modeliuoti, kai realiuose duomenyse pasitaiko daugiau ekstremalių reikšmių, nei numato normalusis skirstinys.

Ar Laplaso skirstinys gali būti neigiamas, ar jis taikomas tik teigiamoms reikšmėms?

Jis apibrėžtas visiems realiesiems skaičiams – tiek teigiamiems, tiek neigiamiems, kitaip nei eksponentinis skirstinys, kuris apima tik neneigiamas reikšmes.

Šaltiniai

1. Kotz, S., Kozubowski, T. ir Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Bostonas, Masačusetso valstija.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution