a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plāns

Millera Indeksi (3,2,1) Kristāla Plāns

3D vizualizācija par kristāla plānu ar Millera indeksi (3,2,1). Plāns saskaras ar x, y un z asīm punktos 2, 3 un 6 attiecīgi, rezultātā iegūstot Millera indeksus (3,2,1) pēc apgriezto vērtību ņemšanas un mazākā vesela skaitļa kopas ar to pašu attiecību noteikšanas.

Millera Indeksi Formula un Aprēķina Metode

Lai aprēķinātu Millera indeksus (h,k,l) kristāla plānam, sekojiet šiem matemātiskajiem soļiem, izmantojot mūsu Millera indeksa kalkulatoru:

1. Nosakiet plāna interceptus ar x, y un z kristalogrāfiskajām asīm, dodot vērtības a, b un c.
2. Ņemiet šo interceptu apgriezto vērtību: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Pārvērtiet šīs apgriezto vērtības uz mazāko veselu skaitļu kopu, kas saglabā to pašu attiecību.
4. Rezultātā iegūtie trīs veseli skaitļi ir Millera indeksi (h,k,l).

Matemātiski to var izteikt kā:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Kur:

• (h,k,l) ir Millera indeksi
• a, b, c ir plāna intercepti ar x, y un z asīm attiecīgi

Īpaši Gadījumi un Konvencijas

Ir vairāki īpaši gadījumi un konvencijas, kas ir svarīgi saprast:

1. Bezgalības Intercepti: Ja plāns ir paralēls asij, tā intercepts tiek uzskatīts par bezgalību, un attiecīgais Millera indekss kļūst par nulli.

2. Negatīvie Indeksi: Ja plāns saskaras ar asi negatīvajā pusē no izcelsmes, attiecīgais Millera indekss ir negatīvs, ko norāda ar svītru virs skaitļa kristalogrāfiskajā notācijā, piemēram, (h̄kl).

3. Frakcionālie Intercepti: Ja intercepti ir frakcionāli, tie tiek pārvērsti par veseliem skaitļiem, reizinot ar mazāko kopējo reizinātāju.

4. Vienkāršošana: Millera indeksi vienmēr tiek samazināti līdz mazākajai veselu skaitļu kopai, kas saglabā to pašu attiecību.

Kā Lietot Millera Indices Kalkulatoru: Soli pa Solim

Mūsu Millera indeksa kalkulators nodrošina vienkāršu veidu, kā noteikt Millera indeksus jebkuram kristāla plānam. Šeit ir, kā izmantot Millera indeksa kalkulatoru:

1. Ievadiet Interceptus: Ievadiet vērtības, kur plāns saskaras ar x, y un z asīm.

   • Izmantojiet pozitīvus skaitļus interceptiem pozitīvajā pusē no izcelsmes.
   • Izmantojiet negatīvus skaitļus interceptiem negatīvajā pusē.
   • Ievadiet "0" plāniem, kas ir paralēli asij (bezgalības intercepts).

2. Skatiet Rezultātus: Kalkulators automātiski aprēķinās un parādīs Millera indeksus (h,k,l) norādītajam plānam.

3. Vizualizējiet Plānu: Kalkulators ietver 3D vizualizāciju, lai palīdzētu jums saprast plāna orientāciju kristāla režģī.

4. Kopējiet Rezultātus: Izmantojiet pogu "Kopēt uz starpliktuvi", lai viegli pārsūtītu aprēķinātos Millera indeksus uz citām lietojumprogrammām.

Millera Indeksi Aprēķina Piemērs

Pastaigāsim cauri piemēram:

Pieņemsim, ka plāns saskaras ar x, y un z asīm punktos 2, 3 un 6 attiecīgi.

1. Intercepti ir (2, 3, 6).
2. Ņemot apgriezto vērtību: (1/2, 1/3, 1/6).
3. Lai atrastu mazāko veselu skaitļu kopu ar to pašu attiecību, reiziniet ar mazāko kopējo reizinātāju (LCM no 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
4. Tādējādi Millera indeksi ir (3,2,1).

Millera Indeksi Pielietojumi Zinātnē un Inženierijā

Millera indeksi ir daudzveidīgi pielietojumi dažādās zinātnes un inženierijas jomās, padarot Millera indeksa kalkulatoru būtisku:

Kristalogrāfija un X-ray Difrakcija

Millera indeksi ir būtiski X-ray difrakcijas modeļu interpretācijai. Attālums starp kristāla plāniem, ko identificē ar to Millera indeksi, nosaka leņķus, pie kuriem X-ray tiek difraktēti, sekojot Bragga likumam:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Kur:

• $n$ ir vesels skaitlis
• $\lambda$ ir X-ray viļņa garums
• $d_{hkl}$ ir attālums starp plāniem ar Millera indeksi (h,k,l)
• $\theta$ ir ieejas leņķis

Materiālu Zinātne un Inženierija

1. Virsmu Enerģijas Analīze: Dažādi kristalogrāfiskie plāni ir ar atšķirīgām virsmas enerģijām, kas ietekmē īpašības, piemēram, kristāla augšanu, katalīzi un pielipšanu.

2. Mehāniskās Īpašības: Kristāla plānu orientācija ietekmē mehāniskās īpašības, piemēram, slīpuma sistēmas, šķelšanās plānus un plīšanas uzvedību.

3. Pusvadītāju Ražošana: Pusvadītāju ražošanā tiek izvēlēti konkrēti kristāla plāni epitaksiskai augšanai un ierīču ražošanai, ņemot vērā to elektroniskās īpašības.

4. Tekstūras Analīze: Millera indeksi palīdz raksturot priekšroku orientācijām (tekstūru) polikristāliskos materiālos, kas ietekmē to fiziskās īpašības.

Mineraloģija un Geoloģija

Geologi izmanto Millera indeksus, lai aprakstītu kristāla sejas un šķelšanās plānus minerālos, palīdzot ar identifikāciju un izpratni par veidošanās apstākļiem.

Izglītības Pielietojumi

Millera indeksi ir pamatjēdzieni, kas tiek mācīti materiālu zinātnes, kristalogrāfijas un cietvielu fizikas kursos, padarot šo kalkulatoru par vērtīgu izglītības rīku.

Alternatīvas Millera Indeksu

Lai gan Millera indeksi ir visplašāk izmantotā notācija kristāla plāniem, pastāv vairākas alternatīvas sistēmas:

1. Miller-Bravais Indeksi: Četru indeksu notācija (h,k,i,l), ko izmanto sešstūra kristāla sistēmās, kur i = -(h+k). Šī notācija labāk atspoguļo sešstūra struktūru simetriju.

2. Vebera Simboli: Galvenokārt izmantoti vecākā literatūrā, īpaši, lai aprakstītu virzienus kubiskos kristālos.

3. Tiešie Režģa Vektori: Dažos gadījumos plāni tiek aprakstīti, izmantojot tiešos režģa vektorus, nevis Millera indeksus.

4. Vikofa Pozīcijas: Lai aprakstītu atomu pozīcijas kristāla struktūrās, nevis plānus.

Neskatoties uz šīm alternatīvām, Millera indeksi paliek standarta notācija to vienkāršības un vispārējās piemērojamības dēļ visās kristāla sistēmās.

Millera Indeksu Vēsture

Millera indeksu sistēmu izstrādāja britu mineraloģists un kristalogrāfs Viljams Halovess Millers 1839. gadā, publicējot to savā traktātā "A Treatise on Crystallography". Millera notācija balstījās uz iepriekšējiem darbiem, ko veikuši Augusts Bravais un citi, taču sniedza elegantāku un matemātiski konsekventāku pieeju.

Pirms Millera sistēmas tika izmantotas dažādas notācijas, lai aprakstītu kristāla sejas, tostarp Veisa parametri un Naumanna simboli. Millera inovācija bija izmantot interceptu apgriezto vērtību, kas vienkāršoja daudzas kristalogrāfiskās aprēķinus un nodrošināja intuitīvāku paralēlo plānu attēlojumu.

Millera indeksu pieņemšana paātrinājās ar X-ray difrakcijas atklāšanu, ko veica Makss fon Laue 1912. gadā, un sekojošo Viljama Lorensa Bragga un Viljama Henrija Bragga darbu. Viņu pētījumi parādīja Millera indeksu praktisko lietderību difrakcijas modeļu interpretācijā un kristāla struktūru noteikšanā.

Visā 20. gadsimtā, kad kristalogrāfija kļuva arvien svarīgāka materiālu zinātnē, cietvielu fizikā un bioloģijā, Millera indeksi kļuva stingri nostiprināti kā standarta notācija. Šodien tie paliek būtiski mūsdienu materiālu raksturošanas tehnikās, datoru kristalogrāfijā un nanomateriālu projektēšanā.

Koda Piemēri Millera Indeksu Aprēķināšanai

import math
import numpy as np

def calculate_miller_indices(intercepts):
    """
    Aprēķināt Millera indeksus no interceptiem
    
    Args:
        intercepts: Trīs interceptu saraksts [a, b, c]
        
    Returns:
        Trīs Millera indeksu saraksts [h, k, l]
    """
    # Apstrādāt bezgalības interceptus (paralēli asij)
    reciprocals = []
    for intercept in intercepts:
        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
            reciprocals.append(0)
        else:
            reciprocals.append(1 / intercept)
    
    # Atrast nenulles vērtības GCD aprēķināšanai
    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
    
    if not non_zero:
        return [0, 0, 0]
    
    # Mērogot uz saprātīgiem veseliem skaitļiem (izvairīties no peldošā punkta problēmām)
    scale = 1000
    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
    
    # Atrast G