Millera indeksu kalkulators - Pārvērst kristāla plaknes pārskaņas (hkl)

Kas ir Millera indeksi?

Millera indeksi ir trīs veselu skaitļu kopa, ko raksta (h,k,l), un tie identificē plakni kristālrežģī. Kristālrežģis ir cietā materiālā esošs atkārtojošs, sakārtots atomu izkārtojums. Millera indeksi zinātniekiem precīzi parāda, kuram griezumam caur šo režģi atbilst plakne, un nav vajadzības tās ģeometriju aprakstīt vārdos. Tos ieviesa britu mineralogs Viljams Halouss Millers 1839. gadā, un tie joprojām ir kristalogrāfijā izmantotais standarta apzīmējums.

Šis kalkulators pārveido plaknes krustpunktus ar kristalogrāfiskajām x, y un z asīm par tās Millera indeksiem (h,k,l).

Millera indeksu formula

Millera indeksus iegūst no plaknes asu krustpunktu apgrieztajiem lielumiem. Ja plakne šķērso x, y un z asis attālumos a, b un c no koordinātu sākumpunkta, indeksi atbilst šādam nosacījumam:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Kā aprēķināt Millera indeksus no krustpunktiem

1. Nosakiet, kur plakne šķērso katru asi, mērot vienības šūnas malas garuma vienībās. Apzīmējiet šos krustpunktus ar a, b un c.
2. Aprēķiniet katra krustpunkta apgriezto lielumu: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Reiziniet visus trīs apgrieztos lielumus ar vienu un to pašu skaitli, lai katrs kļūtu par veselu skaitli.
4. Izdaliet trīs veselos skaitļus ar to lielāko kopīgo dalītāju, lai tos vairs nevarētu saīsināt.

Iegūtie trīs skaitļi ir h, k un l. Ja plakne asi nekad nešķērso, pieņem, ka tās krustpunkts atrodas bezgalībā, un 1 dalīts ar bezgalību ir 0, tāpēc šai asij Millera indekss ir 0.

Aprēķina piemērs

Plakne šķērso x asi punktā 2, y asi punktā 3 un z asi punktā 6.

1. Krustpunkti: (2, 3, 6)
2. Apgrieztie lielumi: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Reiziniet ar saucēju mazāko kopīgo dalāmo 6: (3, 2, 1)
4. Skaitļu 3, 2 un 1 lielākais kopīgais dalītājs ir 1, tāpēc skaitļus vairs nevar saīsināt.

Millera indeksi ir (321).

Citi piemēri

• Plaknei, kas iet caur punktiem (1, ∞, 2) un ir paralēla y asij, apgrieztie lielumi ir (1, 0, 1/2). Reizinot ar 2, iegūst (2, 0, 1). 0 parāda, ka plakne nekad nešķērso y asi.
• Plaknei, kas iet caur punktiem (-1, 2, 3), apgrieztie lielumi ir (-1, 1/2, 1/3). Reizinot ar 6, iegūst (-6, 3, 2), ko parasti raksta kā (6̄32), virs negatīvā indeksa liekot svītru.
• Plaknei, kas iet caur punktiem (1, ∞, ∞), apgrieztie lielumi ir (1, 0, 0), un iegūst (100). Tā ir viena no sešām kuba skaldnēm.

Īpašie gadījumi

Plakne, kas ir paralēla asij, to nekad nešķērso, tāpēc šis krustpunkts tiek uzskatīts par bezgalīgu un attiecīgais Millera indekss ir 0. Plaknei, kas asi šķērso koordinātu sākumpunkta negatīvajā pusē, ir negatīvs indekss; formālajā apzīmējumā virs skaitļa liek svītru, bet parastā tekstā izmanto mīnusa zīmi. Plaknei, kas iet caur pašu koordinātu sākumpunktu, Millera indeksi nav definēti, jo katrai paralēlo plakņu saimei režģī jābūt nobīdītai no koordinātu sākumpunkta, lai to varētu indeksēt; pirms šādu plakni var aprakstīt, koordinātu sākumpunkts ir jāpārvieto. Daļskaitļu krustpunktus apstrādā tāpat kā veselus skaitļus: aprēķina katra apgriezto lielumu un pēc tam atbrīvojas no daļām.

Indeksus vienmēr saīsina līdz iespējami mazākajiem veselajiem skaitļiem. (622) un (311) apraksta vienu un to pašu plakņu saimi, taču kristalogrāfi vienmēr raksta (311).

Kā izmantot šo kalkulatoru

Ievadiet plaknes krustpunktus ar x, y un z asi.

• Izmantojiet pozitīvu skaitli krustpunktam koordinātu sākumpunkta pozitīvajā pusē un negatīvu skaitli — negatīvajā pusē.
• Plaknei, kas ir paralēla asij, ievadiet “infinity”, “inf” vai “∞”.
• Nulles krustpunkts netiek pieņemts, jo plaknei, kas iet caur koordinātu sākumpunktu, ar šo metodi nevar piešķirt Millera indeksus.

Kalkulators indeksus aprēķina uzreiz un parāda plaknes diagrammu vienības šūnā.

Millera indeksu lietojums

Rentgenstaru difrakcija. Katrs plankums vai maksimums rentgenstaru difrakcijas shēmā atbilst kristālrežģa plakņu saimei ar noteiktu (hkl). Brega likums saista šo plakņu attālumu ar difrakcijas leņķi:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Šeit d_hkl ir attālums starp plaknēm (h,k,l), λ ir rentgenstaru viļņa garums, bet θ ir difrakcijas leņķis. Novēroto maksimumu atbilstības noteikšana (hkl) vērtībām, ko sauc par indeksēšanu, ir viens no pamata soļiem nezināmas kristāliskās struktūras identificēšanā.

Materiālzinātne. Dažādas kristālplaknes atklāj atšķirīgu atomu izkārtojumu, tāpēc tām ir atšķirīga virsmas enerģija, atšķirīgs ķīmiskās reakcijas ātrums un atšķirīga loma metāla deformācijā. Sejas centrētā kubiskā režģa metālos, piemēram, alumīnijā, atomu plaknes visvieglāk slīd cita gar citu pa {111} plaknēm. Silīcija plāksnītes, ko izmanto datoru mikroshēmu izgatavošanai, parasti sagriež pa (100) vai (111) plakni, jo izvēle ietekmē turpmāko ražošanas posmu norisi.

Mineraloģija. Plakanās skaldnes, kas redzamas dabiskā kristālā, un virzieni, pa kuriem minerāls sadalās ar gludu virsmu (šķelšanās), abi atbilst noteiktām plaknēm ar maziem indeksiem. Halīts (vārāmais sāls) šķeļas pa {100} plaknēm, bet fluorīts — pa {111} plaknēm.

Millera–Bravē indeksi sešstūra kristāliem

Sešstūra kristālus, piemēram, magniju, cinku un titānu, parasti apraksta ar četru indeksu sistēmu (hkil), nevis ar trim indeksiem. Papildu indekss i nav neatkarīgs; tas vienmēr ir i = -(h+k). Šī forma ļauj vieglāk saskatīt, ka divas plaknes pieder vienai un tai pašai simetrijas ziņā ekvivalentu plakņu saimei, kas sešstūra režģī ne vienmēr ir acīmredzams, izmantojot tikai trīs indeksu Millera apzīmējumu.

Vēsture

Viljams Halouss Millers Millera indeksus ieviesa savā 1839. gada grāmatā A Treatise on Crystallography. Kristālu skaldņu apzīmēšanas sistēmas pastāvēja jau agrāk, taču Millera metode, kurā izmanto krustpunktu apgrieztos lielumus, ļāva viegli apstrādāt plaknes, kas ir paralēlas asij, jo to krustpunkts ir bezgalīgs un tā apgrieztais lielums vienkārši ir 0. Pēc tam, kad Makss fon Laue 1912. gadā atklāja rentgenstaru difrakciju kristālos, Viljams Henrijs Brags un Viljams Lorenss Brags parādīja, ka Millera indeksi precīzi apraksta plaknes, kas rada difrakcijas maksimumus; par šo darbu viņi kopīgi saņēma Nobela prēmiju fizikā 1915. gadā.

Biežāk uzdotie jautājumi

Kādam nolūkam izmanto Millera indeksus? Tie identificē konkrētas plaknes kristālrežģī. Tos izmanto rentgenstaru un elektronu difrakcijas maksimumu indeksēšanai, slīdes plakņu aprakstīšanai metālos, pusvadītāju plāksnīšu orientācijas norādīšanai, kā arī minerālu skaldņu un šķelšanās apzīmēšanai.

Ko nozīmē nulle Millera indeksā? Tas nozīmē, ka plakne ir paralēla attiecīgajai asij un to nekad nešķērso. Piemēram, (201) ir paralēla y asij.

Ko nozīmē negatīvi Millera indeksi? Tie nozīmē, ka plakne šķērso attiecīgo asi koordinātu sākumpunkta negatīvajā pusē. Negatīvu indeksu raksta ar svītru virs skaitļa, piemēram, (2̄11), vai ar mīnusa zīmi, piemēram, (-2,1,1).

Kāpēc plaknei, kas iet caur koordinātu sākumpunktu, nevar būt Millera indeksu? Millera indeksus iegūst no krustpunkta apgrieztā lieluma. Plakne, kas iet caur koordinātu sākumpunktu, šķērso katru asi punktā 0, bet 1/0 nav definēts, tāpēc metode nevar piešķirt indeksus, ja plakne netiek pārvietota.

Kāda ir atšķirība starp Millera un Millera–Bravē indeksiem? Millera indeksos (hkl) izmanto trīs skaitļus, un tie ir piemērojami jebkurai kristālu sistēmai. Millera–Bravē indeksi (hkil) pievieno ceturto, no pārējiem atkarīgo indeksu, un tos galvenokārt izmanto sešstūra kristāliem, kuros tie atvieglo simetrijas ziņā ekvivalentu plakņu atpazīšanu.

Kā plakņu attālums ir saistīts ar Millera indeksiem? Kubiskā kristālā ar malas garumu a attālums starp blakus esošajām (hkl) plaknēm ir d = a / √(h² + k² + l²). Plaknes ar lielākiem indeksiem atrodas ciešāk cita pie citas. Citās kristālu sistēmās izmanto līdzīgu, bet sarežģītāku formulu, kurā ņem vērā nevienādus asu garumus un ne-90° leņķus.

Atsauces

1. Millers, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Kembridža: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. izdevums). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. izdevums). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.