Binomiskās izplatības kalkulators

Ievads

Binomiskā izplatība ir diskreta varbūtību izplatība, kas modelē veiksmju skaitu noteiktā neatkarīgu Bernoulli izmēģinājumu skaitā. Tā tiek plaši izmantota dažādās jomās, tostarp statistikā, varbūtību teorijā un datu zinātnē. Šis kalkulators ļauj aprēķināt varbūtības binomiskajām izplatībām, pamatojoties uz lietotāja sniegtajiem parametriem.

Formula

Varbūtību masas funkcija binomiskajā izplatībā ir dota ar:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Kur:

• n ir izmēģinājumu skaits
• k ir veiksmju skaits
• p ir veiksmju varbūtība katrā izmēģinājumā
• $\binom{n}{k}$ ir binomiskais koeficients, kas aprēķināts kā $\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Kā izmantot šo kalkulatoru

1. Ievadiet izmēģinājumu skaitu (n)
2. Ievadiet veiksmju varbūtību katram izmēģinājumam (p)
3. Ievadiet veiksmju skaitu (k)
4. Noklikšķiniet uz "Aprēķināt" pogas, lai iegūtu varbūtību
5. Rezultāts tiks parādīts kā decimālvienība

Aprēķins

Kalkulators izmanto binomiskās varbūtību formulas, lai aprēķinātu varbūtību, pamatojoties uz lietotāja ievadi. Šeit ir soli pa solim skaidrojums aprēķinam:

1. Aprēķiniet binomisko koeficientu $\binom{n}{k}$
2. Aprēķiniet $p^k$
3. Aprēķiniet $(1-p)^{n-k}$
4. Reiziniet rezultātus no 1., 2. un 3. soļa

Kalkulators veic šos aprēķinus, izmantojot dubultprecizitātes peldošā punkta aritmētiku, lai nodrošinātu precizitāti.

Ievades validācija

Kalkulators veic šādas pārbaudes lietotāja ievadēm:

• n jābūt pozitīvam veselam skaitlim
• p jābūt skaitlim no 0 līdz 1 (iekļaujot)
• k jābūt ne negatīvam veselam skaitlim, kas nav lielāks par n

Ja tiek konstatētas nederīgas ievades, tiks parādīts kļūdas ziņojums, un aprēķins netiks turpināts, līdz tas tiek labots.

Lietošanas gadījumi

Binomiskās izplatības kalkulators ir noderīgs dažādās jomās:

1. Kvalitātes kontrole: Estimējot defektīvu preču varbūtību ražošanas partijā.

2. Medicīna: Aprēķinot ārstēšanas veiksmes varbūtību klīniskajos pētījumos.

3. Finanšu joma: Modelējot akciju cenu kustības varbūtību.

4. Sporta analīze: Prognozējot veiksmīgu mēģinājumu skaitu spēļu sērijā.

5. Epidemioloģija: Estimējot slimības izplatības varbūtību populācijā.

Alternatīvas

Lai gan binomiskā izplatība ir plaši izmantota, ir arī citas saistītās izplatības, kas var būt piemērotākas noteiktās situācijās:

1. Poissona izplatība: Kad n ir ļoti liels un p ir ļoti mazs, Poissona izplatība var būt laba tuvinājums.

2. Normālā tuvinājums: Lieliem n binomiskā izplatība var tikt tuvināta ar normālo izplatību.

3. Negatīvā binomiskā izplatība: Kad jūs interesē izmēģinājumu skaits, kas nepieciešams, lai sasniegtu noteiktu veiksmju skaitu.

4. Hipergeometriskā izplatība: Kad paraugu ņemšana tiek veikta bez aizvietošanas no ierobežotas populācijas.

Vēsture

Binomiskā izplatība ir savas saknes guvusi Jēkaba Bernoulli darbā, kas publicēts pēc viņa nāves viņa grāmatā "Ars Conjectandi" 1713. gadā. Bernoulli pētīja binomisko izmēģinājumu īpašības un izstrādāja lielo skaitļu likumu binomiskajām izplatībām.

18. un 19. gadsimtā matemātiķi, piemēram, Abrahams de Moivre, Pjērs-Simons Laplace un Simēons Denis Poissons, tālāk attīstīja binomiskās izplatības teoriju un tās pielietojumus. De Moivre darbs par binomiskās izplatības tuvināšanu ar normālo izplatību bija īpaši nozīmīgs.

Mūsdienās binomiskā izplatība joprojām ir pamatjēdziens varbūtību teorijā un statistikā, spēlējot būtisku lomu hipotēžu testēšanā, uzticības intervālos un dažādās pielietojumos vairākās disciplīnās.

Piemēri

Šeit ir daži koda piemēri, lai aprēķinātu binomiskās varbūtības:

1' Excel VBA funkcija binomiskās varbūtības aprēķināšanai
2Function BinomialProbability(n As Integer, k As Integer, p As Double) As Double
3    BinomialProbability = Application.WorksheetFunction.Combin(n, k) * p ^ k * (1 - p) ^ (n - k)
4End Function
5' Lietošana:
6' =BinomialProbability(10, 3, 0.5)
7

1import math
2
3def binomial_probability(n, k, p):
4    return math.comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))
5
6## Piemēra lietošana:
7n = 10
8k = 3
9p = 0.5
10probability = binomial_probability(n, k, p)
11print(f"Varbūtība: {probability:.6f}")
12

1function binomialProbability(n, k, p) {
2  const binomialCoefficient = (n, k) => {
3    if (k === 0 || k === n) return 1;
4    return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
5  };
6  
7  return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
8}
9
10// Piemēra lietošana:
11const n = 10;
12const k = 3;
13const p = 0.5;
14const probability = binomialProbability(n, k, p);
15console.log(`Varbūtība: ${probability.toFixed(6)}`);
16

1public class BinomialDistributionCalculator {
2    public static double binomialProbability(int n, int k, double p) {
3        return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
4    }
5
6    private static long binomialCoefficient(int n, int k) {
7        if (k == 0 || k == n) return 1;
8        return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        int n = 10;
13        int k = 3;
14        double p = 0.5;
15
16        double probability = binomialProbability(n, k, p);
17        System.out.printf("Varbūtība: %.6f%n", probability);
18    }
19}
20

Šie piemēri demonstrē, kā aprēķināt binomiskās varbūtības, izmantojot dažādas programmēšanas valodas. Jūs varat pielāgot šīs funkcijas savām specifiskajām vajadzībām vai integrēt tās lielākās statistikas analīzes sistēmās.

Skaitliskie piemēri

1. Monētu mešana:

   • n = 10 (mešanas)
   • p = 0.5 (godīga monēta)
   • k = 3 (galvas)
   • Varbūtība ≈ 0.1172

2. Kvalitātes kontrole:

   • n = 100 (pārbaudītās preces)
   • p = 0.02 (defektu varbūtība)
   • k = 0 (nav defektu)
   • Varbūtība ≈ 0.1326

3. Epidemioloģija:

   • n = 1000 (populācijas lielums)
   • p = 0.001 (infekcijas līmenis)
   • k = 5 (inficētie indivīdi)
   • Varbūtība ≈ 0.0003

Malu gadījumi un apsvērumi

1. Liels n: Kad n ir ļoti liels (piemēram, n > 1000), aprēķinu efektivitāte kļūst par problēmu. Šādos gadījumos tuvinājumi, piemēram, normālā izplatība, var būt praktiskāki.

2. Ekstremālas p vērtības: Kad p ir ļoti tuvs 0 vai 1, var rasties skaitliskās precizitātes problēmas. Var būt nepieciešama īpaša apstrāde, lai nodrošinātu precīzus rezultātus.

3. k = 0 vai k = n: Šos gadījumus var aprēķināt efektīvāk, neizmantojot pilnu binomiskā koeficienta aprēķinu.

4. Kumulatīvās varbūtības: Bieži lietotāji ir ieinteresēti kumulatīvās varbūtībās (P(X ≤ k) vai P(X ≥ k)). Kalkulators var tikt paplašināts, lai nodrošinātu šos aprēķinus.

5. Vizualizācija: Pievienojot vizuālu binomiskās izplatības attēlojumu (piemēram, varbūtību masas funkcijas grafiku), var palīdzēt lietotājiem interpretēt rezultātus intuitīvāk.

Attiecības ar citām izplatībām

1. Normālā tuvinājums: Lieliem n binomiskā izplatība var tikt tuvināta ar normālo izplatību ar vidējo np un dispersiju np(1-p).

2. Poissona tuvinājums: Kad n ir liels un p ir mazs, tādā veidā, ka np ir mēreni, Poissona izplatība ar parametru λ = np var tuvināt binomisko izplatību.

3. Bernoulli izplatība: Binomiskā izplatība ir n neatkarīgu Bernoulli izmēģinājumu summa.

Pieņēmumi un ierobežojumi

1. Fiksēts izmēģinājumu skaits (n)
2. Pastāvīga veiksmju varbūtība (p) katram izmēģinājumam
3. Izmēģinājumu neatkarība
4. Katram izmēģinājumam ir tikai divi iespējamie iznākumi (veiksme vai neveiksme)

Izpratne par šiem pieņēmumiem ir būtiska, lai pareizi pielietotu binomiskās izplatības modeli reālās pasaules problēmām.

Rezultātu interpretācija

Interpretējot binomiskās izplatības rezultātus, ņemiet vērā:

1. Sagaidāmā vērtība: E(X) = np
2. Dispersija: Var(X) = np(1-p)
3. Izkliedēšana: Ja p ≠ 0.5, izplatība ir izkropļota; tā kļūst arvien simetriskāka, palielinoties n
4. Precīzu iznākumu pret diapazoniem varbūtība: Bieži diapazoni (piemēram, P(X ≤ k)) ir informatīvāki nekā precīzas varbūtības

Sniedzot šo visaptverošo informāciju, lietotāji var labāk izprast un pielietot binomisko izplatību savās specifiskajās problēmās.

Atsauces

1. "Binomiskā izplatība." Vikipēdija, Vikipēdijas fonds, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution. Piekļuve 2024. gada 2. augustā.
2. Ross, Šeldons M. "Ievads varbūtību modeļos." Akadēmiskā prese, 2014.
3. Džonsons, Normans L., u.c. "Diskrētās izplatības." Vailija sērija varbūtību un statistikas jomā, 2005.