Binominālā sadalījuma kalkulators - Brīva varbūtību rīks

Kas ir binomiālā sadalījuma kalkulators?

Binomiālā sadalījuma kalkulators nosaka varbūtību iegūt precīzu panākumu skaitu noteiktā skaitā neatkarīgu mēģinājumu, ja katrā mēģinājumā panākuma iespēja ir vienāda. To izmanto statistikā, kvalitātes kontrolē, medicīnā un jebkurā jomā, kurā pēta atkārtotus notikumus ar atbildi “jā” vai “nē”.

Pamatā ir binomiālais sadalījums — varbūtību modelis panākumu skaitīšanai atkārtotos mēģinājumos, no kuriem katram ir tikai divi iznākumi, parasti saukti par panākumu un neveiksmi.

Binomiālā sadalījuma formula

Varbūtība iegūt tieši k panākumus n mēģinājumos ir:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Katrs simbols nozīmē:

• n — mēģinājumu skaits.
• k — panākumu skaits, kuram jānosaka varbūtība.
• p — panākuma varbūtība vienā mēģinājumā, skaitlis no 0 līdz 1.
• $\binom{n}{k}$ — binomiālais koeficients, dažādo veidu skaits, kā no n mēģinājumiem izvēlēties k panākumus. Tas ir vienāds ar $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Katram mēģinājumam jābūt neatkarīgam, tas nozīmē, ka viena mēģinājuma iznākums nemaina cita mēģinājuma izredzes, un panākuma varbūtībai p jāpaliek nemainīgai visos mēģinājumos. Vienu mēģinājumu ar diviem iespējamiem iznākumiem, piemēram, vienu monētas metienu, sauc par Bernulli mēģinājumu. Binomiālo sadalījumu iegūst, saskaitot n Bernulli mēģinājumu iznākumus.

Kā aprēķināt binomiālo varbūtību

1. Pierakstiet n, k un p.
2. Aprēķiniet binomiālo koeficientu $\binom{n}{k}$ — veidu skaitu, kā k panākumus izvietot n mēģinājumos.
3. Aprēķiniet p pakāpē k.
4. Aprēķiniet (1 − p) pakāpē (n − k).
5. Sareiziniet visus trīs skaitļus.

Šīs lapas kalkulators šīs darbības veic automātiski. Ievadiet n, p un k, un tas atgriež P(X = k), kā arī stabiņu diagrammu, kurā parādīta katra iespējamā iznākuma varbūtība no 0 līdz n panākumiem.

Atrisināts piemērs

Piemērs 1: monētas metieni

Metiet godīgu monētu 10 reizes. Kāda ir varbūtība iegūt tieši 3 ģerboņus?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Rezultāts: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172 jeb aptuveni 11,72%

Piemērs 2: kvalitātes kontrole

Rūpnīcā pārbauda 100 izstrādājumus. Katram izstrādājumam ir 2% varbūtība būt bojātam. Kāda ir varbūtība, ka neviens no 100 izstrādājumiem nebūs bojāts?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Tā kā k = 0, formula vienkāršojas līdz $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Rezultāts: ≈ 0,1326 jeb aptuveni 13,26%

Piemērs 3: slimības pārbaude

Pilsētā pārbauda 1 000 cilvēkus, lai noteiktu slimību, ar kuru inficēti 0,1% iedzīvotāju (p = 0,001). Kāda ir varbūtība, ka tieši 5 no 1 000 cilvēkiem būs inficēti?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Rezultāts: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305 jeb aptuveni 0,30% (precīzā vērtība 0,0030488 jeb 0,30488%)

Vidējā vērtība un dispersija

Binomiālajam sadalījumam ar parametriem n un p:

• Vidējā vērtība (sagaidāmā vērtība): E(X) = np
• Dispersija: Var(X) = np(1 − p)
• Standartnovirze: σ = √[np(1 − p)]

Vidējā vērtība parāda vidējo sagaidāmo panākumu skaitu daudzos atkārtotos mēģinājumos. Piemērā 1 vidējā vērtība ir 10 × 0,5 = 5 ģerboņus.

Ko pieņem kalkulators

• n jābūt veselam skaitlim, kas ir 1 vai lielāks. Decimāla ievade tiek noapaļota līdz tuvākajam veselam mēģinājumu skaitam, tāpēc 10,9 tiek uzskatīts par 11.
• p jābūt diapazonā no 0 līdz 1, ieskaitot abas robežvērtības.
• k jābūt veselam skaitlim, kas ir 0 vai lielāks, un tas nedrīkst būt lielāks par n. Iegūt 8 panākumus 5 mēģinājumos nav iespējams, tāpēc kalkulators skaitļa vietā parāda kļūdu.

Ja kāds lauks ir atstāts tukšs, kalkulators vērtības minēšanas vietā neparāda ne rezultātu, ne diagrammu.

Kad piemēro binomiālo sadalījumu

Binomiālais sadalījums ir piemērots situācijai tikai tad, ja ir spēkā visi četri nosacījumi:

1. Mēģinājumu skaits n ir iepriekš noteikts.
2. Katram mēģinājumam ir tikai divi iznākumi: panākums vai neveiksme.
3. Panākuma varbūtība p ir vienāda katrā mēģinājumā.
4. Mēģinājumi ir savstarpēji neatkarīgi.

Kāršu vilkšana no kavas bez kāršu atgriešanas pārkāpj neatkarības nosacījumu, jo kārts izņemšana maina nākamās vilkšanas izredzes. Šādā situācijā izmanto hiperģeometrisko sadalījumu.

Saistītie sadalījumi

• Puasona sadalījums: to izmanto binomiālā sadalījuma tuvināšanai, ja n ir liels un p mazs, tāpēc vidējais panākumu skaits (np) paliek mērens. To bieži izmanto retu notikumu, piemēram, slimības gadījuma piemērā 3, modelēšanai.
• Normālais sadalījums: ja n ir liels un p nav pārāk tuvs 0 vai 1, binomiālais sadalījums ir aptuveni zvanveida un to var tuvināt ar normālo sadalījumu, kura vidējā vērtība ir np un dispersija — np(1 − p).
• Hiperģeometriskais sadalījums: to izmanto binomiālā sadalījuma vietā, ja izlasi no galīgas kopas iegūst bez elementu atgriešanas.

Biežāk uzdotie jautājumi

Ko dara binomiālā sadalījuma kalkulators?

Tas aprēķina varbūtību iegūt tieši k panākumus n neatkarīgos mēģinājumos, kuros katra panākuma varbūtība ir p, izmantojot formulu P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Kāda ir atšķirība starp binomiālo un normālo sadalījumu?

Binomiālais sadalījums ir diskrēts, tas nozīmē, ka tas rada tikai veselu panākumu skaitu. Normālais sadalījums ir nepārtraukts. Ja n ir liels, binomiālo sadalījumu var tuvināt ar normālo līkni, kuras vidējā vērtība ir np un dispersija — np(1 − p).

Vai p var būt 0 vai 1?

Jā. Ja p = 0, neviens mēģinājums nevar beigties ar panākumu, tāpēc P(X = 0) = 1. Ja p = 1, katrs mēģinājums beidzas ar panākumu, tāpēc P(X = n) = 1. Šajos gadījumos visu pārējo k vērtību varbūtība ir 0.

Kāda ir saistība starp binomiālo un Bernulli sadalījumu?

Bernulli sadalījums apraksta vienu mēģinājumu ar diviem iznākumiem (n = 1). Binomiālais sadalījums ir n neatkarīgu Bernulli mēģinājumu summa, tāpēc Bernulli sadalījums ir binomiālais sadalījums ar n = 1.

Cik liels var būt n, pirms kalkulators kļūst neprecīzs?

Kalkulators izmanto standarta dubultās precizitātes aritmētiku. Tas formulas trīs daļas reizina tieši un pāriet uz logaritmiem, kad binomiālais koeficients pārsniedz lielāko skaitli, ko var attēlot dubultās precizitātes formātā; tas notiek aptuveni pie n = 1 000, kad k ir tuvs n/2. Pēc šī punkta rezultāti joprojām ir pareizi. Varbūtība, kas ir mazāka par aptuveni 1e-308, tiek parādīta kā 0, jo to nevar attēlot dubultās precizitātes formātā.

Kā aprēķina binomiālo koeficientu?

Binomiālais koeficients C(n, k) skaita veidus, kā no n elementiem izvēlēties k elementus neatkarīgi no to secības. Tas ir vienāds ar n! / (k! × (n − k)!). Kalkulators to veido pakāpeniski, reizinot ar vienu reizinātāju un dalot ar nākamo, tāpēc tam nav jāuzglabā visa faktoriāla vērtība. Ļoti lieliem n tas tā vietā saskaita šo reizinātāju logaritmus.

Atsauces

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. u. c. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.