Kalkulator Isipadu Kon - Kira Isipadu Kon & Frustum

Apakah kalkulator isi padu kon?

Kalkulator isi padu kon menentukan isi padu kon atau kon terpancung (frustum) berdasarkan jejari dan tingginya. Kon ialah bentuk pepejal dengan satu tapak bulat rata yang menirus secara lancar ke satu titik yang dipanggil puncak. Kon terpancung ialah bahagian yang tinggal selepas bahagian atas kon dipotong dengan potongan yang selari dengan tapak, lalu meninggalkan dua permukaan bulat dan bukannya satu.

Formula isi padu kon

Isi padu kon penuh bergantung pada jejari tapaknya dan ketinggiannya.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V ialah isipadu kon.
• r ialah jejari tapak bulat.
• h ialah ketinggian, diukur secara lurus dari tapak ke puncak.
• π (pi) adalah kira-kira 3.14159.

Contoh pengiraan

Kon dengan jejari tapak 3 unit dan ketinggian 4 unit mempunyai isi padu berikut:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37.70 unit padu

Cara mengira isi padu kon dengan kalkulator

Kalkulator tersebut menerima tiga input:

1. Jejari — jejari tapak.
2. Ketinggian — ketinggian kon, dari tapak ke puncak.
3. Ketinggian potongan dari tapak (pilihan) — jarak di atas tapak tempat kon dipotong, jika bahagian atasnya dipotong.

Membiarkan ketinggian potongan kosong atau memasukkan 0 memberikan isi padu kon penuh yang tidak dipotong. Memasukkan ketinggian potongan yang lebih kecil daripada ketinggian penuh memberikan isi padu kon terpancung di bawah potongan. Gambar rajah di bawah input menandakan tiga ukuran yang sama pada bentuk tersebut.

Kalkulator menolak jejari atau ketinggian yang sifar, negatif, kosong atau terlalu besar untuk diproses sebagai nombor biasa. Dalam keadaan tersebut, kalkulator memaparkan notis dan bukannya isi padu, supaya tidak memaparkan angka yang direka-reka.

Formula isi padu kon terpancung (frustum)

Isi padu kon terpancung bergantung pada jejari dua permukaan bulatnya dan ketinggiannya sendiri.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R ialah jejari permukaan bawah yang lebih besar.
• r ialah jejari permukaan atas yang lebih kecil.
• h ialah ketinggian kon terpancung, diukur antara kedua-dua permukaan.

Kalkulator tidak meminta jejari atas secara langsung. Sebaliknya, kalkulator menerima jejari tapak, ketinggian kon sekiranya kon itu tidak dipotong, dan ketinggian potongan. Kemudian, kalkulator mengira jejari atas dengan menggunakan konsep segi tiga serupa:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

dengan c ialah ketinggian potongan di atas tapak dan f ialah ketinggian penuh kon yang tidak dipotong.

Contoh pengiraan

Katakan jejari tapak ialah 3 unit, ketinggian penuh kon yang tidak dipotong ialah 12 unit, dan ketinggian potongan ialah 4 unit.

Jejari atas = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 unit

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79.59 unit padu

Jika ketinggian potongan sama dengan atau lebih besar daripada ketinggian penuh, potongan itu berada pada atau di atas puncak, maka tiada apa-apa yang dibuang. Kalkulator kemudian mengembalikan isi padu kon penuh, dan gambar rajah melukiskan kon penuh.

Sejarah formula isi padu kon

Ahli matematik Yunani purba merupakan orang pertama yang mengaitkan isi padu kon dengan isi padu silinder. Democritus, yang aktif pada akhir abad ke-5 SM, dikreditkan dengan dakwaan bahawa isi padu kon sama dengan satu pertiga isi padu silinder yang mempunyai tapak dan ketinggian yang sama. Beliau tidak membuktikannya. Eudoxus dari Cnidus, yang bekerja pada abad berikutnya, memberikan bukti ketat pertama menggunakan teknik yang dipanggil kaedah penghabisan, salah satu pendahulu kalkulus kamiran. Formula V = (1/3)πr²h kekal sama sejak itu.

Kegunaan pengiraan isi padu kon

Isi padu kon dan kon terpancung digunakan apabila sesuatu bentuk mengecil daripada tapak yang lebar kepada satu titik atau bahagian atas yang lebih kecil. Jurutera menggunakan formula ini untuk menentukan saiz tangki berbentuk kon, corong suapan dan corong. Arkitek menggunakannya untuk menganggarkan bahan bagi bumbung berbentuk kon. Ahli geologi menggunakannya untuk menganggarkan isi padu kon gunung berapi dan bentuk muka bumi yang serupa.

Soalan lazim

Bagaimanakah isi padu kon dikira?

Darabkan π dengan kuasa dua jejari, darabkan hasilnya dengan ketinggian, kemudian bahagikan dengan 3: V = (1/3)πr²h. Kon dengan jejari 5 cm dan ketinggian 10 cm mempunyai isi padu kira-kira 261.80 sentimeter padu.

Apakah formula bagi kon terpancung (frustum)?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), dengan R dan r ialah jejari dua permukaan bulat, manakala h ialah ketinggian kon terpancung itu sendiri, yang diukur antara kedua-dua permukaan tersebut.

Bagaimanakah kalkulator mengira jejari atas kon terpancung?

Kalkulator menggunakan segi tiga serupa. Jejari atas sama dengan jejari tapak yang didarab dengan (1 − ketinggian potongan ÷ ketinggian penuh kon). Ini mengandaikan bahawa kon terpancung itu berasal daripada kon yang mempunyai sisi lurus.

Apakah yang berlaku jika ketinggian potongan lebih besar daripada atau sama dengan ketinggian?

Kalkulator menganggap bentuk itu sebagai kon penuh yang tidak dipotong dan mengembalikan V = (1/3)πr²h menggunakan jejari dan ketinggian yang dimasukkan.

Apakah yang berlaku jika jejari atau ketinggian sifar atau negatif?

Kalkulator memerlukan kedua-dua jejari dan ketinggian lebih besar daripada sifar. Jika mana-mana satu daripadanya sifar, negatif, kosong atau terlalu besar untuk diproses sebagai nombor biasa, kalkulator memaparkan notis dan bukannya isi padu.

Bagaimanakah isi padu kon dikira daripada diameter dan bukannya jejari?

Bahagikan diameter dengan 2 untuk mendapatkan jejari, kemudian gunakan V = (1/3)πr²h seperti biasa.

Rujukan

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—Sumber Web Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—Sumber Web Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html