Conische Doorsneden Calculator - Cirkel, Ellips, Parabool

Q: Hoe bereken je de excentriciteit?

De excentriciteit ligt vast voor een cirkel ($ e = 0 $) en een parabool ($ e = 1 $). Voor een ellips geldt $ e = \sqrt{1 - (b/a)^2} $, met gebruik van de halve lange as $ a $ en de halve korte as $ b $. Voor een hyperbool geldt $ e = \sqrt{1 + (b/a)^2} $, met gebruik van de helft van de transversale as $ a $ en de helft van de toegevoegde as $ b $.

Wat is een rekenmachine voor kegelsneden?

Een rekenmachine voor kegelsneden bepaalt de excentriciteit en de standaardvergelijking van een cirkel, ellips, parabool of hyperbool op basis van enkele metingen. Deze vier krommen ontstaan wanneer een plat vlak een kegel onder verschillende hoeken doorsnijdt.

De vier kegelsneden

Wanneer een kegel recht wordt doorgesneden, ontstaat een cirkel. Door het vlak te kantelen, ontstaat een ellips. Een snede evenwijdig aan de zijkant van de kegel vormt een parabool. Een snede door beide helften van een dubbele kegel vormt een hyperbool.

Elke kromme heeft een excentriciteit, een getal dat aangeeft in welke mate de kromme afwijkt van een perfecte cirkel.

Cirkel: $e = 0$
Ellips: $0 < e < 1$
Parabool: $e = 1$
Hyperbool: $e > 1$

Deze calculator gebruiken

Kies een type kegelsnede: cirkel, ellips, parabool of hyperbool.
Voer de vereiste metingen in.
- Cirkel: straal ( $r$ )
- Ellips: halve lange as ( $a$ ) en halve korte as ( $b$ )
- Parabool: brandpuntsafstand ( $f$ )
- Hyperbool: de helft van de transversale as ( $a$ ) en de helft van de toegevoegde as ( $b$ )
De excentriciteit en de standaardvergelijking verschijnen automatisch zodra geldige, positieve invoer voor het geselecteerde type kegelsnede is ingevoerd; er is geen knop Berekenen om aan te klikken.
Onder de resultaten wordt een grafiek van de kromme getekend.

De rekenmachine geeft de vergelijking weer met de ingevoerde getallen al ingevuld. Een ellips met $a = 5$ en $b = 3$ wordt dus weergegeven als $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$ . Dat is dezelfde vergelijking als $x^2/25 + y^2/9 = 1$ . De excentriciteit wordt weergegeven op vier decimalen.

Alle invoer moet uit positieve getallen bestaan. Bij een ellips moet de halve lange as minstens zo lang zijn als de halve korte as, omdat de halve lange as per definitie de langste is. Voor een hyperbool geldt die regel niet: de halve transversale as en de halve toegevoegde as kunnen elke positieve lengte hebben, ook gelijke lengtes.

Formule van een cirkel

Voor een cirkel met straal $r$ en middelpunt in de oorsprong:

x^2 + y^2 = r^2

Excentriciteit: $e = 0$ .

Een cirkel is een speciaal geval van een ellips waarbij beide assen even lang zijn en beide brandpunten in het middelpunt liggen.

Formule van een ellips

Voor een ellips met middelpunt in de oorsprong, halve lange as $a$ en halve korte as $b$ , waarbij $a \geq b > 0$ :

\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}

Voorbeeld: $a = 5$ , $b = 3$ .

e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8

Vergelijking: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Wanneer $a = b$ , wordt de ellips een cirkel en is $e = 0$ .

Formule van een parabool

Voor een naar rechts openende parabool met brandpuntsafstand $f$ (de afstand van de top tot het brandpunt):

y^2 = 4fx

Excentriciteit: $e = 1$ , altijd.

Voorbeeld: $f = 2$ . Vergelijking: $y^2 = 8x$ .

Formule van een hyperbool

Voor een hyperbool met middelpunt in de oorsprong, halve transversale as $a$ en halve toegevoegde as $b$ , waarbij $a$ en $b$ willekeurige positieve getallen zijn:

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1

e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}

De helft van de transversale as $a$ is de helft van de afstand tussen de twee toppen, de punten waar de kromme omkeert. De helft van de toegevoegde as $b$ is de helft van de lengte van de toegevoegde as, het lijnstuk dat loodrecht daarop door het middelpunt loopt. Deze bepaalt hoe snel de takken uiteenlopen.

In tegenstelling tot een ellips hoeft bij een hyperbool $a$ niet groter te zijn dan $b$ . De twee lengtes zijn onafhankelijk, dus $b$ kan kleiner dan, gelijk aan of groter dan $a$ zijn. Wanneer $a = b$ , noemt men de kromme een rechthoekige hyperbool, met excentriciteit $\sqrt{2} \approx 1.4142$ .

Voorbeeld: $a = 5$ , $b = 3$ .

e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662

Vergelijking: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Praktische toepassingen van kegelsneden

Planeten en kometen volgen banen in de vorm van kegelsneden. De eerste wet van Kepler stelt dat de baan van een planeet een ellips is met de zon in een van de brandpunten. Sommige kometen volgen een parabolisch of hyperbolisch traject en keren nooit terug.

Parabolen bundelen evenwijdige stralen in één punt. Daarom gebruiken ingenieurs parabolische vormen in satellietschotels, telescoopspiegels en autokoplampen. Hyperbolische krommen komen voor in de wanden van koeltorens, waar de vorm sterkte biedt met minder materiaal. Ellipsen worden toegepast in bogen, plafonds van fluistergalerijen en tandwielontwerpen.

Een korte geschiedenis van kegelsneden

De Griekse wiskundige Menaechmus bestudeerde kegelsneden rond 350 v.Chr. tijdens zijn poging het probleem van de verdubbeling van een kubus op te lossen. Apollonius van Perga schreef rond 200 v.Chr. een uitvoerige verhandeling met de titel Conica. Hij gaf de ellips, parabool en hyperbool hun naam en beschreef hun eigenschappen. Eeuwen later gebruikte Johannes Kepler de ellips om de beweging van planeten te beschrijven, en gebruikte Isaac Newton kegelsneden om de zwaartekracht te verklaren.

Veelgestelde vragen

Wat zijn de vier typen kegelsneden?

Cirkel, ellips, parabool en hyperbool. Elke kegelsnede ontstaat wanneer een vlak een kegel onder een andere hoek doorsnijdt, en elke kegelsnede heeft een ander bereik van excentriciteitswaarden.

Hoe bereken je de excentriciteit?

De excentriciteit ligt vast voor een cirkel ( $e = 0$ ) en een parabool ( $e = 1$ ). Voor een ellips geldt $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$ , met gebruik van de halve lange as $a$ en de halve korte as $b$ . Voor een hyperbool geldt $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$ , met gebruik van de helft van de transversale as $a$ en de helft van de toegevoegde as $b$ .

Moet de helft van de transversale as van een hyperbool langer zijn dan de helft van de toegevoegde as?

Nee. In tegenstelling tot de halve lange en halve korte as van een ellips zijn de halve transversale as ( $a$ ) en de halve toegevoegde as ( $b$ ) van een hyperbool onafhankelijke metingen. Beide moeten positief zijn, maar de ene kan langer zijn dan de andere.

Kan een ellips een cirkel worden?

Ja. Wanneer de halve lange as gelijk is aan de halve korte as, is de ellips een cirkel en is de excentriciteit 0.

Waarom hebben satellietschotels een parabolische vorm?

Een parabool weerkaatst stralen die evenwijdig aan haar as lopen naar één brandpunt. Satellietschotels en telescoopspiegels gebruiken deze eigenschap om signalen of licht op één punt te concentreren.

Wat is een rechthoekige hyperbool?

Een rechthoekige hyperbool is een hyperbool waarbij de helft van de transversale as gelijk is aan de helft van de toegevoegde as ( $a = b$ ). De asymptoten staan loodrecht op elkaar en de excentriciteit is $\sqrt{2} \approx 1.4142$ .

Conische Doorsneden Calculator - Cirkel, Ellips, Parabool