Kegel Diameter Calculator - Bereken vanuit Hoogte & Straal

Wat is de diameter van een kegel?

De diameter van een kegel is de breedte van het cirkelvormige grondvlak, gemeten in een rechte lijn door het middelpunt. Deze is gelijk aan tweemaal de straal van het grondvlak. Een kegel kan ook worden beschreven aan de hand van zijn hoogte (de rechte afstand van het grondvlak tot de top) en zijn mantellijn (de afstand van de top langs de buitenkant van de kegel tot de rand van het grondvlak). Als twee van deze drie waarden bekend zijn, kan de derde worden berekend.

Formule voor de diameter van een kegel

Er zijn twee gebruikelijke manieren om de diameter te berekenen, afhankelijk van welke metingen beschikbaar zijn.

Vanuit hoogte en schuine hoogte:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Hierbij is d de diameter, s de schuine hoogte en h de hoogte. Dit volgt uit de stelling van Pythagoras: de schuine hoogte is de hypotenusa van een rechthoekige driehoek die wordt gevormd door de hoogte en de straal, dus $s^2 = h^2 + r^2$. Door de straal vrij te maken en deze te verdubbelen, krijg je de diameter. De calculator berekent dezelfde waarde in de equivalente vorm $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Beide vormen geven hetzelfde antwoord, maar de tweede behoudt meer correcte cijfers wanneer de schuine hoogte slechts iets groter is dan de hoogte.

Vanuit de straal:

$d = 2r$

Dit is eenvoudigweg de definitie van diameter. Als de straal al bekend is, is geen andere meting nodig.

De schuine hoogte moet altijd langer zijn dan de hoogte, omdat deze de hypotenusa van een rechthoekige driehoek is en een hypotenusa altijd de langste zijde is. Als de schuine hoogte gelijk aan of korter dan de hoogte is, beschrijft de vorm geen geldige kegel.

Zo bereken je de diameter van een kegel

Methode 1: hoogte en schuine hoogte

1. Meet de hoogte (h), de rechte verticale afstand van het grondvlak tot de top.
2. Meet de schuine hoogte (s), de afstand van de top tot de rand van het grondvlak langs het oppervlak van de kegel.
3. Kwadrateer beide waarden, trek het kwadraat van de hoogte af van het kwadraat van de schuine hoogte en neem de vierkantswortel: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Vermenigvuldig het resultaat met 2 om de diameter te krijgen.

Methode 2: straal

1. Meet de straal (r), de afstand van het middelpunt van het grondvlak tot de rand ervan.
2. Vermenigvuldig met 2.

Er mag telkens maar één van deze twee methoden worden gebruikt. Het opgeven van de hoogte, schuine hoogte en straal tegelijk is dubbelzinnig, omdat de drie waarden mogelijk geen consistente kegel beschrijven.

Uitgewerkt voorbeeld

Voorbeeld 1: hoogte en schuine hoogte

Een kegel heeft een hoogte van 3 eenheden en een schuine hoogte van 5 eenheden.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

De diameter is 8 eenheden.

Voorbeeld 2: straal

Een kegel heeft een straal van 4 eenheden.

$d = 2 \times 4 = 8$

De diameter is 8 eenheden. Dit komt overeen met Voorbeeld 1, omdat een kegel met een hoogte van 3 en een schuine hoogte van 5 een straal van het grondvlak van 4 heeft.

Voorbeeld 3: een platte kegel

Een kegel heeft een hoogte van 0,1 eenheden en een schuine hoogte van 10 eenheden.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

De diameter is ongeveer 20,00 eenheden. Wanneer de hoogte zeer klein is vergeleken met de schuine hoogte, nadert de diameter tweemaal de schuine hoogte.

Voorbeeld 4: een naaldvormige kegel

Een kegel heeft een hoogte van 9,99 eenheden en een schuine hoogte van 10 eenheden.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

De diameter is ongeveer 0,89 eenheden. Wanneer de schuine hoogte slechts iets langer is dan de hoogte, is de kegel hoog en dun en is de diameter van het grondvlak klein.

Waar berekeningen van de kegeldiameter worden gebruikt

De diameter van een kegel speelt een rol overal waar kegelvormen worden gemeten of gebouwd. Ingenieurs gebruiken deze bij het ontwerpen van trechters, straalpijpen en kegelvormige tanks. Fabrikanten gebruiken deze om mallen en kegelvormige onderdelen op maat te maken. Geologen gebruiken vergelijkbare metingen om vulkanische kegels te beschrijven. Dezelfde relatie tussen hoogte, mantellijn en straal geldt voor elke rechte cirkelvormige kegel, van een papieren feesthoed tot de neus van een raket.

Geschiedenis

De wiskundige studie van kegels gaat terug tot het oude Griekenland. Apollonius van Perga schreef rond 200 v.Chr. een belangrijk werk met de naam Conics, waarin hij onderzocht hoe vlakken kegels doorsnijden en zo cirkels, ellipsen, parabolen en hyperbolen vormen. De basisrelatie tussen de hoogte, straal en schuine hoogte van een kegel, gebaseerd op de stelling van Pythagoras, is al sinds de oudheid bekend en wordt nog steeds gebruikt.

Veelgestelde vragen

Wat is de diameter van een kegel?

Dit is de breedte van het cirkelvormige grondvlak van de kegel, recht door het middelpunt gemeten. Deze is tweemaal de straal van het grondvlak.

Hoe vind je de diameter van een kegel zonder de straal?

Gebruik de hoogte en schuine hoogte met de formule $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Hiermee wordt de stelling van Pythagoras toegepast om de straal te vinden, waarna deze wordt verdubbeld.

Wat is de relatie tussen de diameter, hoogte en schuine hoogte van een kegel?

De hoogte, de straal en de schuine hoogte vormen een rechthoekige driehoek. De schuine hoogte is de hypotenusa, de hoogte is de ene rechthoekszijde en de straal de andere: $s^2 = h^2 + r^2$. De diameter is tweemaal de straal.

Waarom wijst de calculator sommige waarden af?

De hoogte moet groter zijn dan nul. De schuine hoogte moet groter zijn dan de hoogte, omdat een hypotenusa niet korter dan of gelijk aan een rechthoekszijde kan zijn. De straal moet groter zijn dan nul. De hoogte en schuine hoogte, of de straal, moeten afzonderlijk worden ingevoerd; het tegelijk invoeren van alle drie is dubbelzinnig en wordt afgewezen. Als naast een hoogte een straal wordt ingevoerd, wordt alleen de straal gebruikt, omdat deze de diameter al vastlegt.

Kan een kegel twee verschillende diameters hebben?

Een standaardkegel heeft één diameter, aan het grondvlak, en loopt aan de top uit in een punt. Een afgeknotte kegel, waarvan de puntige bovenkant is afgesneden, heeft twee diameters, één aan elk vlak uiteinde.

Welke eenheden moeten worden gebruikt?

Elke consistente eenheid werkt, zoals centimeters, meters of inches. Het resultaat wordt uitgedrukt in dezelfde eenheid als die van de invoerwaarden.

Referenties

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J.J. en Robertson, E.F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/