Rechte Circulaire Kegel Calculator - Volume, Oppervlakte & Formules

Wat is een rechte cirkelkegel?

Een rechte cirkelkegel is een vast lichaam met een vlakke cirkelvormige basis en één gebogen zijde die taps toeloopt naar één punt, de top. Hij is „recht” omdat de top zich recht boven het middelpunt van de basis bevindt. Een lijn van de top recht naar beneden naar de basis komt op de basis uit en staat daar loodrecht op. Deze rekenmachine berekent het volume, het basisoppervlak, het manteloppervlak en het totale oppervlak van een kegel op basis van de straal en de hoogte.

Veelvoorkomende voorbeelden van deze vorm zijn verkeerskegels, ijshoorntjes, trechters en de daken van sommige torens.

Afmetingen van een kegel

Twee afmetingen beschrijven een rechte cirkelkegel:

• Straal (r): de afstand van het middelpunt van de cirkelvormige basis tot de rand ervan.
• Hoogte (h): de rechte verticale afstand van de basis tot de top.

Een derde lengte, de schuine hoogte (l), is de afstand langs de buitenkant van de kegel van de top naar de rand van de basis. Deze wordt niet rechtstreeks gemeten. In plaats daarvan wordt hij berekend uit de straal en de hoogte, omdat deze drie lengten een rechthoekige driehoek vormen. De rekenmachine gebruikt de schuine hoogte om het manteloppervlak te berekenen, maar toont deze niet als afzonderlijk resultaat.

De rekenmachine legt geen eenheid vast. Voer de straal en de hoogte in dezelfde eenheid in. Elk oppervlak wordt dan uitgedrukt in vierkante eenheden en het volume in kubieke eenheden. Geen van beide waarden mag negatief zijn, omdat een lengte niet negatief kan zijn; de rekenmachine toont dan een melding in plaats van een resultaat. De resultaten worden afgerond op vier decimalen.

Formules voor een kegel

Formule voor de schuine hoogte

De straal, de hoogte en de schuine hoogte vormen een rechthoekige driehoek. Daarom volgt de schuine hoogte uit de stelling van Pythagoras:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Formule voor het basisoppervlak

De basis is een cirkel, dus het oppervlak ervan wordt berekend met de standaardformule voor de oppervlakte van een cirkel:

$$A_b = \pi r^2$$

Formule voor het manteloppervlak

Het manteloppervlak omvat alleen de gebogen zijde, niet de basis. Als de gebogen zijde vlak zou worden uitgerold, zou deze een sector van een cirkel vormen met als oppervlakte:

$$A_l = \pi r l$$

Formule voor het totale oppervlak

Het totale oppervlak is de som van de basis en de gebogen zijde:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Voor een kegel die aan de basis open is, zoals een papieren trechter, is voor materiaalberekeningen alleen het manteloppervlak nodig.

Formule voor het volume van een kegel

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Het volume van een kegel is precies een derde van dat van een cilinder met dezelfde basis en hoogte. Archimedes bewees dit verband met een methode die aan de differentiaalrekening voorafging. Later werd het bevestigd met integraalrekening, waarbij de kegel wordt opgevat als een oneindige stapel steeds kleiner wordende cirkelschijven van de basis tot de top.

Zo bereken je het volume van een kegel: uitgewerkt voorbeeld

Neem een kegel met straal r = 5 eenheden en hoogte h = 12 eenheden.

1. Bereken de schuine hoogte.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ eenheden}$$

2. Bereken het basisoppervlak.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ eenheden}^2$$

3. Bereken het manteloppervlak.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ eenheden}^2$$

4. Bereken het totale oppervlak.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ eenheden}^2$$

5. Bereken het volume.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ eenheden}^3$$

Diagram

De gestippelde verticale lijn is de hoogte, van de basis tot de top. De gestippelde horizontale lijn is de straal, van het middelpunt van de basis tot de rand ervan.

Waar kegels in het dagelijks leven voorkomen

Berekeningen van het volume en het oppervlak van kegels komen in verschillende praktische situaties voor:

• Plaatwerkfabricage: het manteloppervlak geeft de hoeveelheid vlak materiaal aan die nodig is om een conische trechter, vultrechter of verloopstuk voor een kanaal te rollen, voordat een marge voor naden en afval wordt toegevoegd.
• Opslagcapaciteit: de formule voor het volume geeft de capaciteit van conische tanks en de conische bodems van silo's.
• Bouw: spitsen, torenkappen en andere conische dakelementen gebruiken het manteloppervlak om de benodigde hoeveelheid dakbedekking te schatten.
• Alledaagse voorwerpen: papieren bekers, ijshoorntjes en verkeerskegels zijn allemaal bij benadering rechte cirkelkegels.

Deze rekenmachine gaat uit van een perfecte kegel met een cirkelvormige basis en de top recht boven het middelpunt van de basis. Een kegel waarvan de top is afgesneden, een afgeknotte kegel genoemd, heeft een andere reeks formules nodig omdat deze twee stralen heeft in plaats van één.

Geschiedenis

Griekse wiskundigen uit de oudheid bestudeerden kegels al rond 300 v.Chr. Euclides definieerde in de Elementen een kegel als het vaste lichaam dat ontstaat door een rechthoekige driehoek rond een van zijn rechthoekszijden te draaien. Later bestudeerde Apollonius van Perga de krommen die ontstaan door een kegel onder verschillende hoeken door te snijden, tegenwoordig kegelsneden genoemd: de cirkel, de ellips, de parabool en de hyperbool. De formule V = (1/3)πr²h werd door Archimedes bewezen met de uitputtingsmethode, een meetkundige techniek die ongeveer 2.000 jaar vooruitliep op de integraalrekening.

Veelgestelde vragen

Wat maakt een kegel „recht cirkelvormig”?

„Recht” betekent dat de top zich recht boven het middelpunt van de basis bevindt, zodat de as loodrecht op de basis staat. Bij een schuine kegel bevindt de top zich aan één kant. „Cirkelvormig” betekent dat de basis een cirkel is en geen ellips of andere vorm.

Wat is de formule voor het volume van een kegel?

V = (1/3)πr²h, waarbij r de straal van de basis is en h de loodrechte hoogte. Voor het volume is de schuine hoogte niet nodig.

Wat is de formule voor het oppervlak van een kegel?

Het totale oppervlak is A = πr² + πrl, waarbij r de straal is en l de schuine hoogte. De eerste term is het basisoppervlak en de tweede het manteloppervlak. Laat de eerste term weg als de kegel geen basis heeft, zoals bij een open trechter.

Wat is de schuine hoogte en waarin verschilt deze van de hoogte?

De hoogte is de rechte verticale afstand van de basis tot de top, gemeten door de binnenkant van de kegel. De schuine hoogte is de afstand langs het buitenoppervlak van de top tot de rand van de basis. Ze hangen samen volgens l = √(r² + h²), waarbij de schuine hoogte altijd de langere van de twee is wanneer de straal groter is dan nul.

Hoe bereken ik het volume van een kegel uit de diameter?

Deel de diameter door 2 om de straal te krijgen en gebruik vervolgens V = (1/3)πr²h. Een kegel met een diameter van 10 cm en een hoogte van 15 cm heeft bijvoorbeeld een straal van 5 cm, dus V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Werkt deze rekenmachine voor afgeknotte kegels?

Nee. Een afgeknotte kegel is een kegel waarvan de top is afgesneden. Daardoor heeft hij twee stralen in plaats van één en zijn eigen formules voor volume en oppervlak nodig.