Kritische Waarde Calculator | Z-toets, t-toets, Chi-kwadraat

Een kritieke waarde is het afkappunt in een kansverdeling dat de grens van het ‘verwerpingsgebied’ in een hypothesetoets markeert. Als een toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde valt, wordt het resultaat statistisch significant genoemd en wordt de nulhypothese verworpen. Deze calculator vindt kritieke waarden voor de drie meest voorkomende toetsen: de Z-toets, de t-toets en de chi-kwadraattoets.

Wat is een kritieke waarde?

In de statistiek beginnen onderzoekers vaak met een nulhypothese, een eenvoudige aanname dat er niets ongewoons gebeurt (bijvoorbeeld dat een nieuw geneesmiddel geen effect heeft). Uit steekproefgegevens wordt een toetsingsgrootheid berekend. Deze wordt vergeleken met een kritieke waarde om te bepalen of de gegevens voldoende bewijs tegen de nulhypothese leveren.

De kritieke waarde hangt af van drie dingen: de keuze van de toets, het significantieniveau (geschreven als α, de Griekse letter alfa) en of de toets eenzijdig of tweezijdig is. Het significantieniveau is de kans dat een ware nulhypothese ten onrechte wordt verworpen, vaak ingesteld op 0,05 (5%) of 0,01 (1%).

Een eenzijdige toets controleert op een effect in één richting, zoals ‘groter dan’. Deze heeft één kritieke waarde. Een tweezijdige toets controleert op een effect in beide richtingen en heeft twee kritieke waarden, één aan elke kant van de verdeling.

Een kritieke waarde berekenen

1. Kies de toets: Z-toets (grote steekproeven of bekende populatievariantie), t-toets (kleine steekproeven met onbekende variantie) of chi-kwadraattoets (categorische gegevens of goodness-of-fit-toets).
2. Kies het type staart: eenzijdig of tweezijdig.
3. Kies het significantieniveau α, een getal tussen 0 en 1. Veelgebruikte keuzes zijn 0,10, 0,05 en 0,01.
4. Voer voor een t-toets of chi-kwadraattoets de vrijheidsgraden (df) in. Voor een t-toets is df gelijk aan de steekproefomvang minus 1. Voor een chi-kwadraat-goodness-of-fittoets is df gelijk aan het aantal categorieën minus 1.
5. Zoek de waarde op (of bereken deze) die het gekozen staartgebied onder de verdelingscurve afbakent. Dit is de kritieke waarde.

Formules voor kritieke waarden

Elke formule gebruikt de inverse van een cumulatieve verdelingsfunctie: de waarde van x waarvoor het oppervlak onder de curve tot en met x gelijk is aan een doelkans p.

Formule voor de Z-toets

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(eenzijdig)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(tweezijdig)}$

Φ⁻¹ is de inverse van de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling.

Formule voor de t-toets

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(eenzijdig)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(tweezijdig)}$

t⁻¹(p, df) is de inverse van de cumulatieve verdelingsfunctie van de t-verdeling met df vrijheidsgraden.

Formule voor de chi-kwadraattoets

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(eenzijdig)}$ $\chi^2_{\text{ondergrens}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{bovengrens}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(tweezijdig)}$

De chi-kwadraatverdeling neemt alleen positieve waarden aan. Daarom zijn beide kritieke waarden positief en is de onderste kleiner dan de bovenste.

Voorbeeld: kritieke waarde voor de Z-toets

Een team voor kwaliteitscontrole wil een eenzijdige kritieke waarde voor de Z-toets bij α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Elke toetsingsgrootheid boven 1,6449 valt in het verwerpingsgebied.

Voorbeeld: kritieke waarde voor de t-toets

Een onderzoeker voert een experiment uit met 20 deelnemers, dus df = 19. Die wil een tweezijdige kritieke waarde bij α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

De verwerpingsgebieden zijn t < -2,8609 en t > 2,8609.

Voorbeeld: kritieke waarden voor de chi-kwadraattoets

Een analist vergelijkt waargenomen en verwachte aantallen in 5 categorieën, dus df = 4. Die wil tweezijdige kritieke waarden bij α = 0,05.

$\chi^2_{\text{ondergrens}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{bovengrens}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Een chi-kwadraatstatistiek onder 0,4844 of boven 11,1433 zou in het verwerpingsgebied vallen.

Veelgebruikte kritieke waarden

Naarmate het aantal vrijheidsgraden toeneemt, nemen de kritieke waarden van de t-verdeling af in de richting van de overeenkomstige waarden van de Z-toets, omdat de t-verdeling de normale verdeling benadert.

Veelgestelde vragen

Waarvoor wordt een kritieke waarde gebruikt? Deze bepaalt de grens om te beslissen of een toetsingsgrootheid extreem genoeg is om de nulhypothese te verwerpen. Als de statistiek de kritieke waarde overschrijdt, is het resultaat statistisch significant op het gekozen α-niveau.

Wat is het verschil tussen een eenzijdige en een tweezijdige kritieke waarde? Een eenzijdige toets zoekt naar een effect in één richting en heeft één kritieke waarde. Een tweezijdige toets zoekt naar een effect in beide richtingen en heeft twee kritieke waarden, die voor de Z-toets en de t-toets symmetrisch rond het midden liggen. Bij dezelfde α is een tweezijdige kritieke waarde in absolute zin groter dan een eenzijdige, omdat dezelfde totale kans over twee staarten wordt verdeeld in plaats van over één.

Wanneer moet een Z-toets worden gebruikt in plaats van een t-toets? Een Z-toets wordt gebruikt wanneer de populatievariantie bekend is of de steekproef groot is, doorgaans 30 of meer waarnemingen. Een t-toets wordt gebruikt voor kleinere steekproeven met een onbekende populatievariantie. Naarmate de steekproefomvang toeneemt, naderen de kritieke waarden van de t-toets die van de Z-toets.

Kan een kritieke waarde negatief zijn? Ja. De verdelingen van de Z-toets en de t-toets zijn symmetrisch rond nul, dus een tweezijdige toets heeft één negatieve en één positieve kritieke waarde. Kritieke waarden van de chi-kwadraattoets zijn altijd positief, omdat de chi-kwadraatverdeling alleen is gedefinieerd voor waarden van nul of meer.

Welke invloed hebben vrijheidsgraden op een kritieke waarde? Vrijheidsgraden geven aan hoeveel onafhankelijke informatie de gegevens bevatten, meestal de steekproefomvang minus het aantal parameters dat al is geschat. Een kleiner aantal vrijheidsgraden leidt tot bredere verdelingen met zwaardere staarten en grotere kritieke waarden. Bij een groter aantal vrijheidsgraden komen de t-verdeling en de chi-kwadraatverdeling dichter bij de normale verdeling.

Welke kritieke waarde hoort bij een betrouwbaarheidsniveau van 95%? Bij een betrouwbaarheidsniveau van 95% geldt α = 0,05. Voor een tweezijdige Z-toets zijn de kritieke waarden ±1,9600. Voor een eenzijdige Z-toets is de kritieke waarde 1,6449.

Geschiedenis

Karl Pearson introduceerde de chi-kwadraattoets in 1900. William Sealy Gosset, die publiceerde als ‘Student’, ontwikkelde de t-verdeling in 1908 om kleine steekproeven in de Guinness-brouwerij te kunnen verwerken. Ronald Fisher formaliseerde significantietoetsing en kritieke waarden in de jaren 1920 in zijn boek Statistical Methods for Research Workers. Voor de komst van computers zochten onderzoekers kritieke waarden op in gedrukte tabellen; tegenwoordig berekenen rekenmachines en software deze rechtstreeks met de formules van de verdelingen.

Referenties

1. Pearson, K. (1900). ‘On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.’ Philosophical Magazine, serie 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). ‘The probable error of a mean.’ Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, ‘Critical Values’.