Z-Score Rekenmachine - Standaardscore & Kansberekening Tool

Wat is een z-score?

Een z-score, ook wel standaardscore genoemd, meet hoeveel standaardafwijkingen een gegevenspunt van het gemiddelde van een dataset afligt. Een z-score van 0 betekent dat de waarde gelijk is aan het gemiddelde. Een positieve z-score betekent dat de waarde boven het gemiddelde ligt en een negatieve z-score dat deze eronder ligt.

Z-scoreformule

De z-score van een gegevenspunt wordt met deze formule berekend:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Waarbij:

• $z$ is de z-score
• $x$ is het gegevenspunt
• $\mu$ is het gemiddelde van de dataset
• $\sigma$ is de standaardafwijking van de dataset

De standaardafwijking kan niet nul zijn, omdat delen door nul geen gedefinieerd resultaat heeft. De standaardafwijking kan ook niet negatief zijn, omdat deze per definitie altijd nul of positief is.

Een z-score berekenen

1. Bereken het gemiddelde van de dataset door alle waarden op te tellen en te delen door het aantal waarden, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Bereken de standaardafwijking. Bereken eerst de variantie, het gemiddelde van de gekwadrateerde verschillen met het gemiddelde, en neem daar vervolgens de vierkantswortel van.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Dit is de standaardafwijking van de populatie, waarbij wordt gedeeld door $n$. Wanneer de getallen een steekproef uit een grotere groep vormen, deel dan in plaats daarvan door $n - 1$.

3. Trek het gemiddelde af van het gegevenspunt en deel het resultaat door de standaardafwijking.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Uitgewerkt voorbeeld

Een student behaalt 85 punten op een toets. Het gemiddelde van de klas is 75 en de standaardafwijking van de scores van de klas is 10.

• Gegevenspunt: $x = 85$
• Gemiddelde: $\mu = 75$
• Standaardafwijking: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

De z-score van de student is 1,0. De score ligt één standaardafwijking boven het gemiddelde van de klas.

Z-score en cumulatieve kans

Een z-score kan worden omgezet in een cumulatieve kans: de kans dat een willekeurig gekozen waarde uit een normale verdeling op of onder dat punt valt. Dit is het gebied onder de standaardnormale curve links van $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Voor de z-score van de student, 1,0, is de cumulatieve kans ongeveer 0,8413, oftewel 84,13%. Dit betekent dat de student beter heeft gescoord dan ongeveer 84% van de klas, ervan uitgaande dat de scores een normale verdeling volgen. De calculator geeft de z-score weer op vier decimalen en de cumulatieve kans als percentage op twee decimalen.

Enkele referentiepunten:

Een z-score interpreteren

De meeste waarden in een normale verdeling liggen binnen 2 standaardafwijkingen van het gemiddelde. Z-scores buiten +3 of -3 zijn zeldzaam en worden vaak beschouwd als uitschieters: waarden die sterk afwijken van de rest van de gegevens.

Met z-scores kunnen ook waarden worden vergeleken die op verschillende schalen zijn gemeten. Een toetsscore en een lengtemeting kunnen niet rechtstreeks met elkaar worden vergeleken, maar hun z-scores wel, omdat beide de afstand tot een gemiddelde in dezelfde eenheden van standaardafwijking beschrijven.

Z-score versus t-score

Een z-score gaat ervan uit dat de standaardafwijking van de populatie bekend is en werkt het best met grote steekproeven. Een t-score wordt gebruikt wanneer de standaardafwijking van de populatie onbekend is en de steekproef klein is, doorgaans met minder dan 30 waarnemingen. Beide beschrijven de afstand tot een gemiddelde, maar een t-score komt uit de t-verdeling, die zwaardere staarten heeft om rekening te houden met de extra onzekerheid in een kleine steekproef.

Veelvoorkomende toepassingen van z-scores

• Gestandaardiseerde toetsen. De ruwe score van een student vergelijken met de totale verdeling van scores.
• Detectie van uitschieters. Gegevenspunten markeren die in een dataset ver van het gemiddelde liggen.
• Kwaliteitscontrole. Nagaan of een geproduceerd item binnen een aanvaardbaar bereik valt.
• Hypothesetoetsing. Z-toetsen gebruiken z-scores om te beoordelen of een steekproefgemiddelde wezenlijk afwijkt van een bekend populatiegemiddelde.

Geschiedenis

De z-score bouwt voort op de normale verdeling, die door Abraham de Moivre in 1733 werd beschreven en in het begin van de 19e eeuw verder werd ontwikkeld door Carl Friedrich Gauss en Pierre-Simon Laplace. Het standaardiseren van waarden in eenheden van standaardafwijking werd in de 20e eeuw gebruikelijk bij psychologische tests en kwaliteitscontrole.

Veelgestelde vragen

Wat is een z-score in de statistiek? Een z-score is het aantal standaardafwijkingen dat een gegevenspunt van het gemiddelde van zijn dataset afligt. De score wordt berekend met de formule z = (x − μ) / σ.

Hoe interpreteer ik een z-score? Een z-score van 0 betekent dat de waarde gelijk is aan het gemiddelde. Een positieve waarde ligt boven het gemiddelde en een negatieve waarde eronder. Waarden buiten +3 of -3 zijn ongebruikelijk.

Kan een z-score negatief zijn? Ja. Een negatieve z-score betekent simpelweg dat het gegevenspunt onder het gemiddelde ligt. Een z-score van -2 betekent dat de waarde 2 standaardafwijkingen onder het gemiddelde ligt.

Wat is het verschil tussen een z-score en een t-score? Een z-score wordt gebruikt bij grote steekproeven wanneer de standaardafwijking van de populatie bekend is. Een t-score wordt gebruikt bij kleine steekproeven, doorgaans met minder dan 30 waarnemingen, wanneer deze niet bekend is.

Wat betekent cumulatieve kans bij een z-score? Het is de kans dat een willekeurig geselecteerde waarde uit een normale verdeling kleiner dan of gelijk aan de gegeven z-score is. Deze kans is gelijk aan het gebied onder de normale curve links van dat punt.

Wat gebeurt er als de standaardafwijking nul is? De z-score is niet gedefinieerd, omdat de formule delen door nul vereist. Een standaardafwijking van nul betekent dat elke waarde in de dataset identiek is.

Referenties

1. Standaardscore, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normale verdeling en z-scores, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review