Poisson Verdeling Calculator - Bereken Gebeurtenis Kansen

Wat is een calculator voor de Poissonverdeling?

Een calculator voor de Poissonverdeling berekent de kans dat een bepaald aantal gebeurtenissen plaatsvindt in een vaste periode of ruimte, gegeven hoe vaak de gebeurtenissen gemiddeld plaatsvinden. De calculator wordt gebruikt wanneer gebeurtenissen één voor één en onafhankelijk van elkaar plaatsvinden, met een constant gemiddeld tempo. Typische voorbeelden zijn het aantal telefoongesprekken dat een callcenter in een uur ontvangt of het aantal typefouten op een pagina.

Formule van de Poissonverdeling

De Poissonverdeling geeft de kans op precies k gebeurtenissen wanneer de gemiddelde intensiteit λ is (de Griekse letter lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Elk symbool betekent:

• λ (lambda) — het gemiddelde aantal gebeurtenissen per interval. Dit is de enige parameter van de verdeling.
• k — het exacte aantal gebeurtenissen waarvoor de kans wordt berekend. Het moet een geheel getal zijn van 0 of hoger.
• e — het getal van Euler, een vaste constante die ongeveer gelijk is aan 2,71828.
• k! — „k faculteit”, het product van alle gehele getallen van 1 tot en met k. Bijvoorbeeld: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Per conventie geldt 0! = 1.

Voor de formule zijn alleen λ en k nodig. Een totaal aantal proeven is niet nodig, anders dan bij de binomiale verdeling.

Zo berekent u een Poissonkans

1. Kies λ, het gemiddelde aantal gebeurtenissen in het interval dat wordt onderzocht.
2. Kies k, het exacte aantal gebeurtenissen waarvoor de kans moet worden bepaald.
3. Verhef e tot de macht −λ: dit geeft e^(−λ).
4. Verhef λ tot de macht k: dit geeft λ^k.
5. Bepaal k!, de faculteit van k.
6. Vermenigvuldig de resultaten van stap 3 en 4 en deel vervolgens door het resultaat van stap 5.

Het resultaat is een kans tussen 0 en 1. Vermenigvuldig deze met 100 om de kans als percentage uit te drukken.

Uitgewerkt voorbeeld

Een callcenter ontvangt gemiddeld 5 telefoongesprekken per uur (λ = 5). Wat is de kans dat het in een bepaald uur precies 3 telefoongesprekken ontvangt (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Vermenigvuldigen: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Delen door 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

De kans op precies 3 telefoongesprekken in dat uur is ongeveer 0,140, oftewel 14%.

Meer voorbeelden

Waar de Poissonverdeling wordt gebruikt

De Poissonverdeling modelleert tellingen van zeldzame, onafhankelijke gebeurtenissen. Veelvoorkomende toepassingen zijn:

• Callcenters en klantenservice: voorspellen hoeveel telefoongesprekken of chats per uur binnenkomen.
• Productie: het schatten van het aantal defecten in een partij producten.
• Verzekeringen: het schatten van het aantal claims dat in een bepaalde periode binnenkomt.
• Biologie en geneeskunde: het modelleren van het aantal mutaties of de verspreiding van zeldzame ziekten.
• Natuurkunde: het beschrijven van radioactief verval, waarbij elk atoom onafhankelijk vervalt met een constant gemiddeld tempo.
• Verkeer en netwerkengineering: het schatten van de aankomst van voertuigen bij een kruispunt of van verzoeken bij een server.

Voorwaarden voor het gebruik van de Poissonverdeling

De Poissonverdeling past alleen bij een situatie als aan al deze voorwaarden wordt voldaan:

• Gebeurtenissen vinden één voor één plaats; twee gebeurtenissen kunnen niet exact op hetzelfde moment plaatsvinden.
• Gebeurtenissen vinden onafhankelijk plaats — de ene gebeurtenis maakt de volgende niet meer of minder waarschijnlijk.
• De gemiddelde intensiteit, λ, blijft constant gedurende het onderzochte interval.

Als het tempo in de loop van de tijd verandert of gebeurtenissen de neiging hebben zich te clusteren, beschrijft de gewone Poissonverdeling de gegevens niet goed.

Poissonverdeling versus verwante verdelingen

• Binomiale verdeling: wordt gebruikt wanneer er een vast aantal proeven is en voor elke proef een bekende kans op succes geldt, zoals bij het 20 keer opgooien van een munt. De Poissonverdeling is de limiet waartoe de binomiale verdeling nadert wanneer het aantal proeven zeer groot wordt en de succeskans per proef naar nul afneemt, terwijl hun product rond λ blijft.
• Normale verdeling: bij een grote λ, grofweg boven 20, lijkt de Poissonverdeling sterk op een klokvormige normale verdeling met gemiddelde λ en variantie λ.
• Exponentiële verdeling: terwijl de Poissonverdeling telt hoeveel gebeurtenissen in een vast interval plaatsvinden, beschrijft de exponentiële verdeling de wachttijd tussen die gebeurtenissen.

Een opmerking over de geschiedenis

De Franse wiskundige Siméon Denis Poisson introduceerde de verdeling in 1837, in een boek over kansrekening toegepast op rechterlijke uitspraken. Aanvankelijk trok de verdeling weinig aandacht. Het gebruik ervan nam toe in het begin van de 20e eeuw, nadat statistici zoals Ladislaus Bortkiewicz en Ronald Fisher de verdeling toepasten op echte telgegevens, waaronder een beroemde studie naar Pruisische soldaten die door paardenhoeven om het leven waren gekomen.

Veelgestelde vragen

Wat betekent lambda (λ) in een Poissonverdeling? Lambda is het gemiddelde aantal gebeurtenissen dat in het onderzochte interval wordt verwacht. Het is ook de variantie van de verdeling. Een grotere λ betekent dus zowel een hoger gemiddeld aantal als een grotere spreiding in mogelijke uitkomsten.

Kan k of λ negatief zijn of een breuk zijn? λ moet groter zijn dan 0, maar mag een decimaal getal zijn, zoals 2,5 gebeurtenissen per uur. k moet een geheel getal van 0 of hoger zijn, omdat het werkelijke gebeurtenissen telt; het kan niet negatief of fractioneel zijn.

Waarin verschilt de Poissonverdeling van de binomiale verdeling? Voor de binomiale verdeling zijn een vast aantal proeven en een vaste succeskans per proef nodig. Voor de Poissonverdeling is alleen een gemiddeld tempo nodig; deze werkt voor gebeurtenissen die in principe een willekeurig aantal keer kunnen plaatsvinden.

Wanneer moet in plaats daarvan de normale verdeling worden gebruikt? Bij een grote λ, doorgaans boven ongeveer 20, benadert een normale verdeling met hetzelfde gemiddelde en dezelfde variantie de Poissonverdeling nauwkeurig. Vaak is deze ook eenvoudiger met de hand te gebruiken.

Waarom geeft de calculator soms een getal in wetenschappelijke notatie weer? Resultaten worden normaal gesproken weergegeven op zes decimalen. Wanneer een kans kleiner is dan 0,0001, zou afronding op zes decimalen deze afronden op 0,000000 en verbergen hoe klein de kans werkelijk is. Daarom schakelt de calculator over op wetenschappelijke notatie. Voor λ = 20 en k = 1 geeft de calculator 4.122307e-8 weer, wat 0,00000004122307 betekent.

Zijn er grenzen aan de waarden die de calculator accepteert? Ja. λ moet groter zijn dan 0 en mag niet groter zijn dan 700. k moet een geheel getal van 0 tot 1000 zijn. Buiten deze grenzen geeft de calculator een foutmelding. De limieten zorgen ervoor dat het resultaat binnen het bereik van getallen blijft dat een computer kan opslaan en dat de grafiek een leesbaar aantal balken bevat.

Houdt de Poissonverdeling rekening met meer dan één gebeurtenis tegelijk? Nee. Het model veronderstelt dat gebeurtenissen één voor één plaatsvinden. Als twee gebeurtenissen regelmatig tegelijk plaatsvinden, past een andere verdeling beter bij de gegevens.

Referenties

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Parijs, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sectie 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp en Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.