Laplace Distributie Calculator - Gratis PDF & Visualisatie Tool

Wat is de Laplace-verdeling?

De Laplace-verdeling, ook wel de dubbele exponentiële verdeling genoemd, is een continue kansverdeling in de vorm van twee exponentiële krommen die met hun toppen aan elkaar zijn verbonden. De verdeling is symmetrisch rond een centrale waarde en heeft zwaardere staarten dan de normale verdeling, waardoor zij meer kans toekent aan extreme waarden. De rekenmachine voor de Laplace-verdeling op deze pagina bepaalt de maximale kansdichtheid van de verdeling op basis van een locatieparameter en een schaalparameter en tekent de volledige dichtheidskromme.

De verdeling is genoemd naar Pierre-Simon Laplace, de Franse wiskundige die haar voor het eerst beschreef in 1774.

Formule van de Laplace-verdeling

De kansdichtheidsfunctie (PDF) van de Laplace-verdeling is:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x is een willekeurig punt op de getallenlijn.
• μ (mu), de locatieparameter, is het centrum van de verdeling. Het is ook het gemiddelde en de mediaan.
• b, de schaalparameter, bepaalt hoe verspreid de verdeling is. Deze moet groter zijn dan 0.
• |x − μ| is de afstand tussen x en het centrum, waarbij de richting wordt genegeerd.

De kromme bereikt haar hoogste punt precies bij x = μ. Op dat punt wordt de formule eenvoudiger, omdat |μ − μ| = 0 en exp(0) = 1, zodat overblijft:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Deze maximale waarde, 1/(2b), is het getal dat de rekenmachine rapporteert.

De rekenmachine voor de Laplace-verdeling gebruiken

1. Voer de locatieparameter (μ) in. Hiermee wordt bepaald waar de verdeling gecentreerd is.
2. Voer de schaalparameter (b) in. Dit moet een positief getal zijn; hoe groter de waarde, hoe vlakker en meer verspreid de kromme is.
3. De rekenmachine toont de maximale dichtheid, 1/(2b), en tekent de dichtheidskromme f(x) van μ − 4b tot μ + 4b. De verticale as van de grafiek is de kansdichtheid en de kromme kan worden gedownload als een tabel met waarden voor x en f(x).

De rekenmachine vraagt niet om een afzonderlijke x-waarde. Hij rapporteert altijd de dichtheid bij de eigen top van de verdeling, x = μ, omdat dit het meest bruikbare samenvattende getal is om verdelingen met verschillende schalen te vergelijken. Gebruik om de dichtheid bij een ander punt te vinden de bovenstaande formule met de gewenste x-waarde, of lees de hoogte af in de grafiek.

Uitgewerkt voorbeeld

Neem een locatie van μ = 4 en een schaal van b = 2.

1. Controleer of b positief is: 2 > 0, dus de invoer is geldig.
2. De top ligt bij x = μ = 4, waar |x − μ| = 0.
3. Bereken de maximale dichtheid: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

De rekenmachine toont 0,250000. De getekende kromme bereikt haar top bij (4, 0,25) en daalt aan beide kanten symmetrisch, van μ − 4b tot μ + 4b, dus in dit geval van −4 tot 12.

Omdat de formule voor de maximale dichtheid, 1/(2b), μ niet bevat, verschuift het veranderen van de locatie de kromme alleen naar links of rechts. Het verandert de hoogte niet. Alleen de schaalparameter verandert de hoogte.

Meer voorbeelden

Gemiddelde, variantie en standaardafwijking

Voor een Laplace-verdeling met locatie μ en schaal b geldt:

• Gemiddelde = μ
• Mediaan = μ
• Variantie = 2b²
• Standaardafwijking = b√2

Laplace-verdeling versus normale verdeling

Beide verdelingen zijn symmetrisch en klokvormig, en beide worden volledig beschreven door een centrum en een spreidingsparameter. Het verschil zit in de staarten. Bij de normale verdeling neemt de dichtheid af met het kwadraat van de afstand tot het gemiddelde, waardoor extreme waarden zeer snel uiterst zeldzaam worden. Bij de Laplace-verdeling neemt zij af met de gewone afstand, waardoor extreme waarden relatief waarschijnlijker blijven. Daardoor is de Laplace-verdeling bruikbaar wanneer echte gegevens meer uitschieters bevatten dan een normale verdeling voorspelt.

Veelvoorkomende toepassingen

• Signaal- en beeldverwerking: voor het modelleren van ruis en het comprimeren van beelden, omdat verschillen tussen pixels of signalen zich vaak rond nul clusteren met af en toe grote sprongen.
• Differentiële privacy: het Laplace-mechanisme voegt Laplace-verdeelde ruis toe aan queryresultaten om individuele gegevens te beschermen en tegelijkertijd de algemene nauwkeurigheid te behouden.
• Robuuste statistiek en regressie: bij Lasso-regressie wordt een priorverdeling met de vorm van een Laplace-verdeling gebruikt, die oplossingen bevoordeelt waarbij veel coëfficiënten exact nul zijn.
• Financiën: voor het modelleren van rendementen op activa, die doorgaans zwaardere staarten hebben dan een normale verdeling suggereert.
• Seismologie: komt voor in modellen van patronen in aardbevingsmagnitudes die verband houden met de wet van Gutenberg-Richter.

Veelgestelde vragen

Wat betekent het resultaat van de rekenmachine?

Het is de maximale waarde van de kansdichtheidsfunctie, gelijk aan 1/(2b). Dit is de hoogte van de kromme in haar centrum, x = μ.

Waarom vraagt de rekenmachine niet om een x-waarde?

De maximale dichtheid, 1/(2b), is dezelfde bij elke x-waarde die gelijk is aan μ, zodat geen afzonderlijke x-invoer nodig is om deze te vinden. Het is het standaardgetal waarmee wordt vergeleken hoe hoog en smal, of laag en breed, twee Laplace-verdelingen zijn. De volledige kromme, die de dichtheid bij elke x toont, is beschikbaar in de grafiek.

Hoe vind ik de dichtheid bij een ander punt dan de top?

Gebruik de formule $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ met de gewenste x-waarde, of lees de hoogte rechtstreeks af uit de getekende kromme.

Waarin verschilt de Laplace-verdeling van de exponentiële verdeling?

De Laplace-verdeling kan worden opgebouwd uit twee exponentiële verdelingen. Als X en Y onafhankelijke exponentiële toevalsvariabelen met dezelfde intensiteitsparameter zijn, dan volgt X − Y een Laplace-verdeling met het centrum op 0.

Wat zijn typische toepassingen van de Laplace-verdeling?

Zij wordt gebruikt in signaalverwerking, beeldcompressie, differentiële privacy, robuuste statistiek, Lasso-regressie en bij het modelleren van financiële rendementen en aardbevingsmagnitudes, overal waar echte gegevens meer extreme waarden vertonen dan een normale verdeling voorspelt.

Kan de Laplace-verdeling negatief zijn, of geldt zij alleen voor positieve waarden?

Zij is gedefinieerd voor alle reële getallen, zowel positieve als negatieve, in tegenstelling tot de exponentiële verdeling, die alleen niet-negatieve waarden aanneemt.

Referenties

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution