T-Test Calculator - Gratis Online Statistische Analyse Tool

Wat is een t-toets?

Een t-toets is een statistische methode die nagaat of het gemiddelde van een reeks getallen betekenisvol verschilt van een ander gemiddelde of van een vaste waarde. De toets wordt ook de t-toets van Student genoemd. Onderzoekers gebruiken deze om twee groepen te vergelijken, zoals een behandelingsgroep en een controlegroep, of om één groep te vergelijken met een bekende standaard.

De toets levert een getal op dat de t-statistiek wordt genoemd. Een t-statistiek die ver van nul ligt, wijst erop dat de gemiddelden werkelijk verschillen. Een t-statistiek dicht bij nul wijst erop dat een verschil gewoon door toevallige ruis kan zijn ontstaan.

Soorten t-toetsen

Deze calculator ondersteunt drie soorten t-toetsen.

• t-toets voor één steekproef: vergelijkt het gemiddelde van één steekproef met een bekende of veronderstelde waarde.
• t-toets voor twee steekproeven: vergelijkt de gemiddelden van twee onafhankelijke steekproeven, zoals twee afzonderlijke groepen mensen. Deze calculator gebruikt de t-toets van Welch, die niet veronderstelt dat de spreiding in beide groepen even groot is.
• gepaarde t-toets: vergelijkt twee reeksen metingen die bij dezelfde proefpersonen zijn verricht, zoals scores vóór en na een behandeling.

Deze t-toetscalculator gebruiken

1. Kies een type toets: voor één steekproef, voor twee steekproeven of gepaard.
2. Voer de gegevens in.
   • Eén steekproef: voer de waarden van de steekproef, gescheiden door komma's, in en ook het populatiegemiddelde waarmee deze wordt vergeleken.
   • Twee steekproeven: voer beide steekproeven in als afzonderlijke lijsten met waarden die door komma's zijn gescheiden.
   • Gepaard: voer de paren in de vorm (x1,y1), (x2,y2) enzovoort in.
3. Stel een significantieniveau in, meestal 0,05. De calculator gebruikt deze waarde niet. Hij rapporteert de p-waarde en laat de beslissing aan jou over.
4. De t-statistiek, de vrijheidsgraden en de p-waarde verschijnen zodra er voldoende gegevens zijn. Er is geen knop om in te drukken.

Vergelijk de p-waarde met het significantieniveau om de significantie te beoordelen. Als de p-waarde kleiner dan of gelijk aan het significantieniveau is, wordt het verschil als statistisch significant beschouwd.

Formule van de t-toets

Formule van de t-toets voor één steekproef

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ is het steekproefgemiddelde, $\mu_0$ is de waarde waarmee wordt vergeleken, $s$ is de standaardafwijking van de steekproef en $n$ is de steekproefomvang. Vrijheidsgraden: $df = n - 1$.

Formule van de t-toets voor twee steekproeven (toets van Welch)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

De vrijheidsgraden worden bepaald met de vergelijking van Welch-Satterthwaite:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Deze formule levert meestal een df op die geen geheel getal is.

Formule van de gepaarde t-toets

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ is het gemiddelde van de verschillen tussen elk paar, $s_d$ is de standaardafwijking van die verschillen en $n$ is het aantal paren. Vrijheidsgraden: $df = n - 1$.

Een t-toets berekenen: uitgewerkt voorbeeld

Een fabrikant beweert dat een batterij gemiddeld 50 uur meegaat. Een tester controleert negen batterijen en noteert de volgende levensduren, in uren:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Stap 1: Formuleer de hypothesen. Nulhypothese: het ware gemiddelde is 50 uur. Alternatieve hypothese: het ware gemiddelde is niet 50 uur.

Stap 2: Bereken het steekproefgemiddelde.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Stap 3: Bereken de standaardafwijking van de steekproef. De afwijkingen van het gemiddelde zijn 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. In het kwadraat zijn dit 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, samen 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Stap 4: Bereken de t-statistiek.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Stap 5: Bereken de vrijheidsgraden.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Stap 6: Bereken de p-waarde. Bij $t = 0$ en $df = 8$ is de tweezijdige p-waarde 1,00.

Stap 7: Trek een conclusie. Omdat 1,00 groter is dan 0,05, is er onvoldoende bewijs dat de gemiddelde levensduur van de batterij afwijkt van 50 uur.

Aannames van de t-toets

Een t-toets levert alleen betrouwbare resultaten op wanneer aan enkele voorwaarden ongeveer wordt voldaan.

• Normaliteit: de gegevens moeten ongeveer klokvormig verdeeld zijn, vooral bij kleine steekproeven.
• Onafhankelijkheid: elke waarneming mag geen invloed hebben op een andere waarneming.
• Aselecte steekproef: de gegevens moeten afkomstig zijn uit een aselecte steekproef van de onderzochte populatie.

Bij een gepaarde t-toets gelden deze voorwaarden voor de verschillen tussen de paren, niet voor de oorspronkelijke scores. Bij grotere steekproeven, ongeveer groter dan 30, blijft een t-toets doorgaans nauwkeurig, ook wanneer de gegevens niet perfect klokvormig verdeeld zijn, vanwege een statistische eigenschap die de centrale limietstelling wordt genoemd.

Alternatieven voor de t-toets

Wanneer niet aan de bovenstaande aannames wordt voldaan, kunnen andere toetsen worden gebruikt.

• Mann-Whitney-U-toets: een niet-parametrisch alternatief voor de t-toets voor twee steekproeven.
• Toets van Wilcoxon met rangtekens: een niet-parametrisch alternatief voor de gepaarde t-toets.
• ANOVA: vergelijkt de gemiddelden van drie of meer groepen tegelijk, in plaats van slechts twee.

Geschiedenis van de t-toets

William Sealy Gosset ontwikkelde de t-toets in 1908 toen hij als chemicus werkte bij de Guinness-brouwerij in Dublin. Guinness stond medewerkers niet toe onderzoek onder hun eigen naam te publiceren, dus gebruikte Gosset het pseudoniem "Student". Daarom wordt de methode vaak de t-toets van Student genoemd. Hij ontwikkelde de toets om te beoordelen of kleine partijen brouwgrondstoffen aan de kwaliteitsnormen voldeden, met telkens slechts enkele steekproeven.

Veelgestelde vragen

Waarvoor wordt een t-toets gebruikt?

Een t-toets gaat na of het gemiddelde van een steekproef significant verschilt van een ander gemiddelde of van een vaste waarde. De toets wordt veel gebruikt in medisch onderzoek, psychologie, onderwijs en bedrijfsonderzoek.

Wanneer moet ik een t-toets voor één steekproef, voor twee steekproeven of een gepaarde t-toets gebruiken?

Gebruik een t-toets voor één steekproef om een steekproefgemiddelde te vergelijken met een bekende waarde. Gebruik een t-toets voor twee steekproeven om twee afzonderlijke, niet-gerelateerde groepen te vergelijken. Gebruik een gepaarde t-toets wanneer dezelfde proefpersonen tweemaal worden gemeten, bijvoorbeeld vóór en na een behandeling.

Wat is het verschil tussen een t-toets en een z-toets?

Een t-toets wordt gebruikt wanneer de steekproef klein is of de standaardafwijking van de populatie onbekend is. Een z-toets wordt gebruikt voor grote steekproeven wanneer de standaardafwijking van de populatie bekend is. In de praktijk wordt de t-toets veel vaker gebruikt, omdat de standaardafwijking van de populatie vooraf zelden bekend is.

Hoe interpreteer ik een p-waarde van een t-toets?

De p-waarde is de kans op een verschil van deze omvang of groter als er in werkelijkheid geen echt verschil zou zijn. Een kleine p-waarde, doorgaans kleiner dan of gelijk aan 0,05, wijst erop dat het waargenomen verschil waarschijnlijk niet uitsluitend door toeval is ontstaan.

Wat is de t-toets van Welch?

De t-toets van Welch is een versie van de t-toets voor twee steekproeven waarvoor niet vereist is dat de varianties van de twee groepen gelijk zijn. Deze calculator gebruikt voor toetsen met twee steekproeven altijd de methode van Welch, omdat die nauwkeurig blijft ongeacht of de spreiding in beide groepen even groot is.

Wat zijn vrijheidsgraden bij een t-toets?

Vrijheidsgraden zijn een getal dat op basis van de steekproefomvang de exacte vorm bepaalt van de t-verdeling die wordt gebruikt om de p-waarde te vinden. Bij een t-toets voor één steekproef of een gepaarde t-toets zijn de vrijheidsgraden gelijk aan de steekproefomvang min 1. De t-toets van Welch voor twee steekproeven gebruikt een formule die meestal een waarde oplevert die geen geheel getal is.

Referenties

1. Gosset, W. S. (1908). "The Probable Error of a Mean." Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sectie 1.3.6.7.2, "Critical Values of the Student's t Distribution."