Fisher's Exacte Toets Calculator - Gratis Statistisch Hulpmiddel

Wat is de exacte toets van Fisher?

De exacte toets van Fisher is een statistische methode die nagaat of twee categorische variabelen verband houden, met gebruik van gegevens die zijn gerangschikt in een tabel van 2×2. De methode berekent een exacte kans, een zogenaamde p-waarde, in plaats van een benadering. Daardoor is deze toets bruikbaar wanneer de steekproef klein is.

De toets vergelijkt aantallen in twee rijen en twee kolommen, zoals patiënten die wel of niet zijn behandeld en wel of niet zijn hersteld. Een tabel van 2×2 heeft vier cellen, meestal aangeduid met A, B, C en D, plus rij- en kolomtotalen.

De exacte toets van Fisher versus de chi-kwadraattoets

De chi-kwadraattoets gaat ook na of twee categorische variabelen verband houden, maar berust op een benadering die alleen goed werkt wanneer de celaantallen voldoende groot zijn. Een veelgebruikte vuistregel is: als een verwacht celaantal in de tabel lager is dan 5, wordt de chi-kwadraatbenadering onbetrouwbaar en is de exacte toets van Fisher de betere keuze. De exacte toets van Fisher werkt bij elke steekproefomvang, maar is wiskundig exact in plaats van benaderend. Dat is het belangrijkste voordeel bij kleine steekproeven.

De exacte toets van Fisher berekenen

De toets gebruikt de hypergeometrische verdeling, die de kans beschrijft dat een bepaald aantal elementen uit een groep wordt getrokken zonder ze terug te leggen. Gegeven de rij- en kolomtotalen van een tabel geeft de hypergeometrische verdeling de kans op elke specifieke verdeling van de vier celaantallen.

De kansformule

Voor een tabel met de cellen A, B, C en D, rijtotalen r₁ = A + B en r₂ = C + D, kolomtotalen c₁ = A + C en c₂ = B + D, en een totale steekproefomvang n = A + B + C + D, is de kans op precies die tabel:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Hier betekent "!" faculteit: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Eenzijdige p-waarde

Een eenzijdige p-waarde telt de kans op de waargenomen tabel op bij die van elke andere tabel met dezelfde rij- en kolomtotalen die in dezelfde richting een even sterk of sterker verband laat zien. De "richting" wordt bepaald door cel A te vergelijken met de waarde die deze cel zou hebben als de twee variabelen geen verband hielden, de verwachte waarde genoemd: E(A) = r₁c₁ / n.

• Als A gelijk is aan of groter is dan E(A), neigt het verband naar positief, en wordt de som genomen over elke mogelijke waarde van cel A vanaf de waargenomen waarde tot en met de hoogst mogelijke waarde.
• Als A kleiner is dan E(A), neigt het verband naar negatief, en loopt de som van de laagst mogelijke waarde van cel A tot en met de waargenomen waarde.

Tweezijdige p-waarde

Een tweezijdige p-waarde telt de kansen op van elke mogelijke tabel met dezelfde rij- en kolomtotalen waarvan de kans gelijk is aan of kleiner is dan de kans van de waargenomen tabel. Dit omvat extreme resultaten in beide richtingen, waardoor een tweezijdige p-waarde doorgaans groter is dan een eenzijdige p-waarde die met dezelfde tabel is berekend.

Uitgewerkt voorbeeld

In een kleine studie krijgen 10 patiënten een nieuw geneesmiddel en 10 andere patiënten een placebo. De resultaten:

Hier zijn A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 en n = 20. De verwachte waarde van A bij onafhankelijkheid is E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Omdat 8 groter is dan 5,5, neigt het verband naar positief. Daarom loopt de eenzijdige som van A = 8 tot de hoogst mogelijke waarde van A, namelijk 10.

Het uitwerken van de hypergeometrische kansen voor A = 8, 9 en 10 geeft een eenzijdige p-waarde van ongeveer 0,0349. Wanneer de kansen van elke tabel (in beide richtingen) met een kans die gelijk is aan of kleiner is dan die van de waargenomen tabel worden opgeteld, ontstaat een tweezijdige p-waarde van ongeveer 0,0698.

Bij de gebruikelijke drempel van 0,05 geldt het eenzijdige resultaat als statistisch significant, terwijl dat voor het tweezijdige resultaat niet geldt. Dit laat zien waarom de keuze van het type toets van belang is: een eenzijdige toets is alleen geschikt wanneer de richting van het effect (hier: dat het geneesmiddel de uitkomsten verbetert) voorafgaand aan het bekijken van de gegevens was voorspeld.

Wanneer de exacte toets van Fisher gebruiken

De exacte toets van Fisher wordt vaak gebruikt bij:

• Klinische onderzoeken met een klein aantal patiënten.
• Kwaliteitscontroles waarbij het aantal defecten tussen twee productiepartijen wordt vergeleken.
• Genetisch onderzoek waarbij het aantal gevallen van een kenmerk tussen twee kleine groepen wordt vergeleken.
• Elke tabel van 2×2 waarin een verwacht celaantal lager is dan 5.

Veelgestelde vragen

Waarvoor wordt de exacte toets van Fisher gebruikt? De toets gaat na of twee categorische variabelen verband houden, op basis van aantallen in een tabel van 2×2. Deze toets wordt vaak gekozen boven de chi-kwadraattoets wanneer de steekproef klein is.

Wanneer moet de exacte toets van Fisher worden gebruikt in plaats van de chi-kwadraattoets? Wanneer een verwacht celaantal in de tabel lager is dan 5, of wanneer extra zekerheid over de exacte kans nodig is, ongeacht de steekproefomvang.

Wat is het verschil tussen eenzijdige en tweezijdige resultaten? Een eenzijdige p-waarde toetst een vooraf voorspelde richting van het effect, die is vastgesteld voordat de gegevens werden bekeken. Een tweezijdige p-waarde toetst of er in een van beide richtingen een verband bestaat. Een tweezijdige p-waarde uit dezelfde tabel is doorgaans groter.

Geeft deze rekenmachine een oddsratio? Nee. De rekenmachine geeft alleen de exacte p-waarde. Een oddsratio voor dezelfde tabel kan afzonderlijk worden gevonden door A × D te delen door B × C.

Kan de exacte toets van Fisher worden gebruikt voor tabellen die groter zijn dan 2×2? De hier beschreven versie is bedoeld voor tabellen van 2×2. Voor grotere tabellen is een verwante methode nodig, de Freeman-Halton-uitbreiding, die in de meeste statistische software beschikbaar is.

Kan de exacte toets van Fisher worden gebruikt voor gepaarde gegevens, zoals voor-en-na-metingen bij dezelfde personen? Nee. De toets gaat uit van twee onafhankelijke groepen. Voor gepaarde categorische gegevens is in plaats daarvan de McNemar-toets nodig.

Referenties

1. Fisher, R.A. (1922). "On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P." Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. & Halton, J.H. (1951). "Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance." Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3e ed.). Wiley.