Konwerter jednostek kąta: stopnie, radiany, grady, obroty
Przelicz kąt między stopniami, radianami, gradami (gonami) i obrotami, wyświetlając wszystkie cztery wartości jednocześnie. Jeden pełny obrót to dokładnie 360 stopni i 400 gonów, czyli 2π radiana.
Angle Converter
Type an angle in one unit and read it in turns, degrees, gradians and radians at once.
Converted angle
Dokumentacja
Konwerter jednostek kąta
Kąt mierzy, jak bardzo jeden kierunek został odchylony od drugiego. Konwerter jednostek kąta przelicza kąt z jednej jednostki na inną, na przykład stopnie na radiany. Ta strona przelicza między obrotami, stopniami, gradami (zwanymi też gonami) i radianami oraz pokazuje wszystkie cztery wartości jednocześnie.
Działanie konwertera
Użytkownik wpisuje jedną liczbę i wybiera jednostkę, w której jest ona wyrażona. Strona zwraca ten sam kąt we wszystkich czterech jednostkach.
- Wyniki są wyświetlane z dokładnością do ośmiu cyfr znaczących. Zaokrąglane jest tylko wyświetlanie. Przeliczenie odbywa się na liczbie wpisanej przez użytkownika.
- Wynik mniejszy niż 0,0001 albo równy co najmniej miliardowi jest wyświetlany w notacji naukowej. Zero jest wyświetlane jako zwykłe 0.
- Kąty ujemne są przeliczane, ponieważ obrót ma kierunek.
- Kąty nie są sprowadzane do jednego pełnego obrotu. 720 stopni daje 2 obroty, a nie 0.
- Puste pole wyświetla monit zamiast liczby. Odnośnik zawierający jednostkę, której ta strona nie oferuje, wyświetla komunikat zamiast wyniku przeliczenia.
Cztery jednostki
| Jednostka | Symbol | Liczba obrotów w jednej jednostce | Dokładna z definicji |
|---|---|---|---|
| Obrót | obrót | 1 | Tak, jeden pełny obrót |
| Stopień | ° | 1/360 | Tak |
| Grad (gon) | gon | 1/400 | Tak |
| Radian | rad | 1/(2π) | Tak jako ułamek, nie jako liczba dziesiętna |
Obrót to jeden pełny obrót, zakończony powrotem do kierunku, z którego się rozpoczął. Stopień dzieli ten obrót na 360 części; jest to zwyczaj odziedziczony po babilońskim systemie liczenia sześćdziesiątkowego. Grad dzieli go na 400 części, dzięki czemu kąt prosty ma wartość równą 100 gradów. Radian to kąt, którego łuk na okręgu ma długość równą promieniowi tego okręgu; w jednym obrocie mieści się 2π radianów.
Wzór przeliczania kątów
Każda jednostka odpowiada stałej liczbie obrotów, dlatego przeliczenie polega na jednym mnożeniu, a następnie jednym dzieleniu. Kąt jest najpierw przeliczany na obroty, a potem z obrotów na żądaną jednostkę:
gdzie oznacza wpisany kąt, oznacza liczbę obrotów w jednej jednostce wybranej jednostki, oznacza liczbę obrotów w jednej jednostce żądanej jednostki, a oznacza wynik.
Po drodze nic nie jest dodawane ani odejmowane. Wszystkie cztery skale zaczynają liczenie w tym samym miejscu, więc zmienia się tylko wielkość kroku. Temperatura jest przypadkiem, w którym tak nie jest: skale Celsjusza i Fahrenheita zaczynają się w różnych punktach, więc konwerter, który tylko mnoży, podałby 0 °C jako 0 °F zamiast 32 °F.
Po podstawieniu współczynników stopni i radianów do tego wzoru otrzymuje się parę, której ludzie najczęściej szukają:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ gdzie $\theta_{\mathrm{deg}}$ oznacza kąt w stopniach, a $\theta_{\mathrm{rad}}$ ten sam kąt w radianach. ### Dlaczego strona liczy od obrotów, a nie od radianów Obrót jest jednostką, względem której mierzy się trzy pozostałe. Ten wybór nie jest jedynie kwestią wyglądu. Każdą z tych jednostek można wyrazić względem każdej innej jako ułamek zwykły o całkowitym liczniku i mianowniku, więc komputer może przechowywać ich wartości bez błędu i zwracać wyniki dokładnie równe oczekiwanym liczbom całkowitym. Radiany nie pozwalają na to, ponieważ π nie ma dokładnej postaci dziesiętnej. Gdyby radian był jednostką podstawową, każdy stopień i każdy grad musiałby przejść przez π i z powrotem. Kąt prosty wpisany jako 90 stopni zwróciłby wtedy 99,99999999999999 gonów zamiast 100, a 200 gonów dałoby 180,00000000000003 stopnia. Liczenie od obrotu pozostawia π w jedynym wierszu, który rzeczywiście go wymaga. ### Przykład obliczeniowy: 100 stopni 100 stopni to kąt, od którego strona rozpoczyna obliczenia. Jeden stopień stanowi 1/360 obrotu, więc strona mnoży 100 przez 1/360 i otrzymuje 0,2777777777777778 obrotu. Wyświetla go jako 0,27777778. Dwa pozostałe wyniki powstają przez podzielenie tej wartości przez ich własne współczynniki. Dzielenie przez 1/400 jest równoznaczne z mnożeniem przez 400, co daje 111,11111111111111 gonów, wyświetlanych jako 111,11111. Dzielenie przez 1/(2π) daje 1,7453292519943295 rad, wyświetlane jako 1,7453293. Kąt prosty jest prostszy. 90 stopni to ćwierć obrotu, więc strona zwraca 0,25 obrotu, dokładnie 100 gonów oraz 1,5707963 rad. ### Typowe przeliczenia kątów Każdy wiersz pokazuje, co jedna wartość daje we wszystkich czterech jednostkach, z dokładnością do ośmiu cyfr znaczących. | Dane wejściowe | obrót | stopnie | gon | radiany | |---|---|---|---|---| | 1 obrót | 1 | 360 | 400 | 6,2831853 | | 1 stopień | 0,0027777778 | 1 | 1,1111111 | 0,017453293 | | 1 gon | 0,0025 | 0,9 | 1 | 0,015707963 | | 1 radian | 0,15915494 | 57,29578 | 63,661977 | 1 | | 90 stopni | 0,25 | 90 | 100 | 1,5707963 | | 180 stopni | 0,5 | 180 | 200 | 3,1415927 | ### Które wartości są dokładne, a które zaokrąglone Trzy z czterech współczynników to dokładne ułamki, dlatego przeliczanie między obrotami, stopniami i gradami jest ograniczone wyłącznie przez działania arytmetyczne, a nie przez stałe. - Jeden obrót to dokładnie 360 stopni. Stopień nie jest jednostką SI, ale Międzynarodowe Biuro Miar i Wag wymienia go w broszurze SI wśród jednostek spoza SI dopuszczonych do stosowania z SI; jeden stopień odpowiada π/180 radiana. - Jeden obrót to dokładnie 400 gradów. Norma ISO 80000-3, dotycząca wielkości i jednostek przestrzeni i czasu, określa jednego gona jako π/200 radiana, czyli jedną czterechsetną obrotu. - Jeden obrót to 2π radianów. Radian jest spójną jednostką SI kąta płaskiego, definiowaną jako stosunek długości łuku do promienia, więc ta zależność jest również definicją. π jest jednak liczbą niewymierną: jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie powtarza, dlatego żadna zapisana liczba dziesiętna nie jest jej pełną wartością. - W praktyce współczynnik radiana jest więc zaokrąglany. Strona tworzy go z wartości π przechowywanej przez komputer, 3,141592653589793, która jest najbliższym przybliżeniem, jakie może reprezentować liczba podwójnej precyzji. Wyniki w radianach dziedziczą to zaokrąglenie. Pozostałe trzy jednostki nie. Zaokrąglenie widoczne dla czytelnika wynika z wyświetlania, a nie ze stałych. Osiem cyfr znaczących wystarcza, by pokazać w całości wartość definiującą, a zarazem ukryć ostatnie cyfry obliczeń komputera, które zawierają szum zaokrągleń, a nie informacje. ### Często zadawane pytania **Ile stopni ma jeden radian?** 57,29578 stopnia z dokładnością do ośmiu cyfr znaczących, zwykle podawane jako 57,3. W postaci dokładnej jest to 180/π stopnia, a π nie ma dokładnej postaci dziesiętnej. **Ile radianów ma 90 stopni?** 1,5707963 radiana z dokładnością do ośmiu cyfr znaczących. W postaci dokładnej jest to π/2 radiana. **Dlaczego kąt prosty ma 100 gonów?** Ponieważ pełny obrót obejmuje 400 gradów, a kąt prosty stanowi ćwierć obrotu. Grad zaprojektowano właśnie w tym celu, aby geodeci mogli pracować w systemie dziesiętnym zamiast dzielić pełny obrót na 90 części. **Czy 1 gon to tyle samo co 0,9 stopnia?** Tak, dokładnie. Jeden obrót to 400 gonów, a także 360 stopni, więc jeden gon stanowi 360/400 stopnia. **Czy strona sprowadza 720 stopni do 0?** Nie. Przelicza podaną liczbę, więc 720 stopni daje 2 obroty, 800 gonów i 12,566371 rad. Sprowadzanie kątów do jednego obrotu usuwałoby informację o tym, ile razy coś się obróciło. **Czy można przeliczyć kąt ujemny?** Tak. Wartość ujemna oznacza, że obrót przebiega w przeciwnym kierunku, dlatego jest przeliczana tak jak każda inna liczba. Wpisanie -45 stopni zwraca -0,125 obrotu, -50 gonów i -0,78539816 rad.