Przejdź do treści
🛠️
Whiz Tools

Kalkulator okręgu jednostkowego: dokładne sin, cos, tan

Wpisz kąt w stopniach lub radianach, aby otrzymać jego punkt na okręgu jednostkowym, sinus, cosinus, tangens, kąt odniesienia i ćwiartkę. Uzyskaj dokładne wartości dla kątów szczególnych.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Kalkulator załadunku...
📚

Dokumentacja

Kalkulator okręgu jednostkowego

Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu 1 narysowany wokół początku układu współrzędnych. Kalkulator okręgu jednostkowego przyjmuje jeden kąt i podaje miejsce, w którym ten kąt przecina okrąg: punkt (x, y), sinus, cosinus i tangens, kąt odniesienia oraz ćwiartkę. Ta strona odczytuje kąt w stopniach lub radianach i podaje wartości dokładne, takie jak √3/2, dla szesnastu standardowych kątów.

Działanie kalkulatora

Użytkownik wpisuje jeden kąt i wybiera stopnie lub radiany. Strona zwraca:

  • punkt (x, y), w którym kąt przecina okrąg
  • cos θ, sin θ i tan θ
  • kąt odniesienia w stopniach i radianach
  • ćwiartkę albo oś, jeśli kąt wypada na jednej z nich
  • kąt w obu jednostkach oraz ten sam kąt sprowadzony do jednego pełnego obrotu

Dla szesnastu standardowych kątów wyniki są podawane w dokładnych postaciach zamkniętych, a poniżej wyświetlane są rozwinięcia dziesiętne. Każdy inny kąt jest wyświetlany z ośmioma cyframi znaczącymi. Zaokrąglane jest tylko wyświetlanie.

Wzór na okrąg jednostkowy

Kąty mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi x. Promień poprowadzony pod kątem θ przecina okrąg w jednym punkcie, a dwie współrzędne tego punktu są odpowiednio cosinusem i sinusem:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

gdzie xx jest współrzędną poziomą, yy współrzędną pionową, a θ\theta kątem.

Promień wynosi 1, więc współrzędne i dwie wartości funkcji są tą samą parą liczb pod dwiema nazwami. Z tego powodu okrąg rysuje się z promieniem 1, a nie o dowolnym innym rozmiarze. Tangens jest zbudowany z tej samej pary:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Każdy punkt na okręgu spełnia także twierdzenie Pitagorasa zastosowane do trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych xx i yy oraz przeciwprostokątnej 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Stopnie i radiany

Strona akceptuje obie jednostki i podaje wynik w obu. Łączy je zależność, zgodnie z którą pół obrotu to π radianów:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ gdzie $\theta_{\mathrm{deg}}$ oznacza kąt w stopniach, a $\theta_{\mathrm{rad}}$ ten sam kąt w radianach. ### Redukcja do jednego obrotu Kąt może być ujemny i może przekraczać pełny obrót. Punkt na okręgu powtarza się co 360°, dlatego strona najpierw sprowadza kąt do przedziału od 0° do, ale bez, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ gdzie $\theta$ jest kątem wpisanym w stopniach, a $\theta_0$ tym samym kierunkiem zapisanym w obrębie jednego obrotu. 750° sprowadza się do 30°, a −30° do 330°. Sprowadzanie odbywa się w stopniach, w których reszta jest dokładna. ### Kąt odniesienia i ćwiartka Kąt odniesienia to kąt ostry między promieniem a osią x. Nigdy nie przekracza 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{w przeciwnym razie} \end{cases}$$ gdzie $\theta_0$ jest kątem sprowadzonym, wyrażonym w stopniach. Wartości bezwzględne sinusa, cosinusa i tangensa zależą tylko od kąta odniesienia. Ćwiartka określa znaki. | Ćwiartka | Kąt sprowadzony | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | od 0° do 90° | + | + | + | | II | od 90° do 180° | − | + | − | | III | od 180° do 270° | − | − | + | | IV | od 270° do 360° | + | − | − | Kąty 0°, 90°, 180° i 270° leżą na osi. Ćwiartka jest otwartym obszarem między dwiema osiami, więc żaden z tych czterech kątów nie znajduje się w ćwiartce, a strona podaje nazwę osi zamiast wybierać sąsiednią ćwiartkę. ### Szesnaście standardowych kątów Pięć kątów odniesienia ma dokładne postacie zamknięte. | Kąt odniesienia | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | nieokreślony | Odbicie tych wierszy w trzech pozostałych ćwiartkach daje szesnaście kątów: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 i 330 stopni. Strona generuje je przez obracanie punktów z pierwszej ćwiartki o ćwierć obrotu za każdym razem, zamiast przepisywać tabelę cztery razy, ponieważ właśnie podczas przepisywania może pojawić się błędny znak. Kąty 15°, 75° i 105° również mają postacie zamknięte, ale dwuwyrazowe, takie jak 2 − √3. Nie należą one do tej rodziny i są podawane w postaci dziesiętnej. Dla 15° otrzymujemy cos 0,96592583, sin 0,25881905 i tan 0,26794919. ### Przykład obliczeniowy: 210 stopni 210° jest większy od 180° i mniejszy od 270°, więc wypada w ćwiartce III. Odjęcie 180 daje kąt odniesienia równy 30°. Dla kąta odniesienia 30° trzy wartości bezwzględne wynoszą √3/2, 1/2 i √3/3. Ćwiartka III sprawia, że obie współrzędne są ujemne, więc punkt to (−√3/2, −1/2). Tangens jest ilorazem liczby ujemnej przez ujemną, więc pozostaje dodatni i wynosi √3/3. W radianach kąt wynosi 7π/6, a kąt odniesienia π/6. W postaci dziesiętnej strona pokazuje cos −0,8660254, sin −0,5 i tan 0,57735027. 570° i −150° dają te same wyniki, ponieważ oba kąty sprowadzają się do 210°. ### Które stałe są dokładne | Stała | Wartość | Dokładna? | Źródło | |---|---|---|---| | Stopnie w jednym pełnym obrocie | 360 | dokładne z definicji | ISO 80000-3 | | Radiany w jednym pełnym obrocie | 2π | dokładne z definicji | ISO 80000-3; broszura SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | dokładna | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | dokładna | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | dokładna | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | brak wartości | dokładna, biegun | NIST DLMF §4,15 | π jest liczbą niewymierną, więc nie ma dokładnej postaci dziesiętnej ani binarnej, a każda przechowywana wartość jest zaokrąglona. Strona na dwa sposoby nie dopuszcza tego zaokrąglenia do wyników. Sprowadzanie odbywa się w stopniach, w których 360 dzieli się bez reszty. Standardowe kąty są też odczytywane z powyższej tabeli postaci zamkniętych, a nie wyznaczane na podstawie zmiennoprzecinkowego sinusa. ### Odczytywanie kąta podanego w radianach Wartość podana w radianach jest już zaokrągloną liczbą dziesiętną. π/2 wpisuje się jako 1,5707963267948966, a przeliczenie tej wartości z powrotem daje kąt oddalony od 90 o około jedną dziesięciobilionową stopnia, zamiast dokładnie 90. Dlatego strona odczytuje każdy kąt oddalony od standardowego o mniej niż jedną milionową stopnia jako ten standardowy kąt. Tolerancja wybiera używaną tabelę; nigdy nie rozszerza wyniku. 30,001° nie staje się 30°. Kąty większe niż miliard stopni są odrzucane. To ograniczenie arytmetyki, a nie geometrii: odstęp między liczbami, które komputer może przechowywać, rośnie wraz z ich wielkością, a powyżej około czterech i pół miliarda stopni odstęp ten jest większy niż jedna milionowa stopnia, więc sprowadzanie nie zachowuje już wystarczającej szczegółowości, aby określić kąt. Wartość miliarda pozostawia margines poniżej tego punktu. ### Często zadawane pytania **Do czego służy okrąg jednostkowy?** Zamienia sinus i cosinus we współrzędne. Odczytanie jednego punktu z okręgu daje obie wartości naraz, a rysunek pokazuje, dlaczego powtarzają się co pełny obrót i dlaczego ich znaki zmieniają się z ćwiartki na ćwiartkę. **Jaka jest dokładna wartość sin 30°?** Jedna druga. cos 30° to √3/2, czyli w przybliżeniu 0,8660254, a tan 30° to √3/3, czyli w przybliżeniu 0,57735027. **Dlaczego tan 90° jest nieokreślony?** Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa, a cos 90° wynosi 0. Dzielenie przez zero nie ma wyniku. Strona rozpoznaje biegun na podstawie nazwy kąta, a nie przez sprawdzanie, czy obliczony tangens jest dużą liczbą, ponieważ stromy tangens tuż przed 90° jest zwykłą liczbą. **Czym jest kąt odniesienia?** To kąt ostry między promieniem a osią x, więc zawsze leży między 0° a 90°. Kąty 150°, 210° i 330° mają kąt odniesienia równy 30°, dlatego ich sinusy i cosinusy mają te same trzy wartości bezwzględne i różnią się tylko znakiem. **Czy ujemny kąt działa?** Tak. Ujemny kąt wyznacza obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara. −30° wskazuje ten sam kierunek co 330°, więc strona zwraca punkt (√3/2, −1/2) oraz ćwiartkę IV. **Dlaczego strona pokazuje kąt dwa razy?** 750° i 30° przecinają okrąg w tym samym punkcie, ale nie oznaczają tego samego obrotu. Strona pokazuje kąt wpisany przez użytkownika, przeliczony na drugą jednostkę, oraz podaje obok niego kąt sprowadzony.