Kalkulator Objętości Stożka - Oblicz Objętość Stożka i Ściętego Stożka

Czym jest kalkulator objętości stożka?

Kalkulator objętości stożka oblicza objętość stożka lub figury określanej jako stożek ścięty na podstawie jego promienia i wysokości. Stożek jest bryłą o jednej płaskiej, kołowej podstawie, która płynnie zwęża się do jednego punktu zwanego wierzchołkiem. Stożek ścięty to to, co pozostaje ze stożka po odcięciu jego wierzchołka płaszczyzną równoległą do podstawy, w wyniku czego zamiast jednej powstają dwie kołowe ściany.

Wzór na objętość stożka

Objętość pełnego stożka zależy od promienia jego podstawy i jego wysokości.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V oznacza objętość stożka.
• r oznacza promień kołowej podstawy.
• h oznacza wysokość, mierzoną w linii prostej od podstawy do wierzchołka.
• π (pi) wynosi w przybliżeniu 3,14159.

Przykład obliczeniowy

Stożek o promieniu podstawy równym 3 jednostek i wysokości równej 4 jednostek ma następującą objętość:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 jednostek sześciennych

Jak obliczyć objętość stożka za pomocą kalkulatora

Kalkulator wymaga podania trzech wartości:

1. Promień — promień podstawy.
2. Wysokość — wysokość stożka, od podstawy do wierzchołka.
3. Wysokość odcięcia od podstawy (opcjonalnie) — odległość od podstawy do miejsca odcięcia stożka, jeśli wierzchołek został odcięty.

Pozostawienie pola wysokości odcięcia pustego lub wpisanie wartości 0 daje objętość pełnego, nieściętego stożka. Wpisanie wysokości odcięcia mniejszej od pełnej wysokości daje objętość stożka ściętego poniżej miejsca odcięcia. Diagram pod polami wejściowymi zaznacza na bryle te same trzy pomiary.

Kalkulator odrzuca promień lub wysokość równą zero, ujemną, pustą albo zbyt dużą, aby można ją było obsłużyć jako zwykłą liczbę. W takich przypadkach wyświetla komunikat zamiast objętości, więc nigdy nie pokazuje zmyślonej wartości.

Wzór na objętość stożka ściętego

Objętość stożka ściętego zależy od promieni jego dwóch kołowych podstaw oraz od jego własnej wysokości.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R oznacza promień większej, dolnej podstawy.
• r oznacza promień mniejszej, górnej podstawy.
• h jest wysokością stożka ściętego, mierzoną między jego dwiema podstawami.

Kalkulator nie prosi bezpośrednio o podanie promienia górnej podstawy. Zamiast tego przyjmuje promień podstawy, wysokość stożka, gdyby nie został ścięty, oraz wysokość odcięcia. Następnie oblicza promień górnej podstawy, korzystając z podobieństwa trójkątów:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

gdzie c jest wysokością odcięcia powyżej podstawy, a f pełną wysokością nieściętego stożka.

Przykład obliczeniowy

Załóżmy, że promień podstawy wynosi 3 jednostek, pełna wysokość nieściętego stożka wynosi 12 jednostek, a wysokość odcięcia wynosi 4 jednostek.

Promień górnej podstawy = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 jednostek

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 jednostek sześciennych

Jeśli wysokość odcięcia jest równa pełnej wysokości lub od niej większa, odcięcie przebiega na wysokości wierzchołka albo powyżej niego, więc nic nie zostaje usunięte. Kalkulator zwraca wtedy objętość pełnego stożka, a diagram przedstawia pełny stożek.

Historia wzoru na objętość stożka

Starożytni matematycy greccy jako pierwsi powiązali objętość stożka z objętością walca. Demokrytowi, działającemu pod koniec 5. wieku p.n.e., przypisuje się twierdzenie, że objętość stożka stanowi jedną trzecią objętości walca o tej samej podstawie i wysokości. Nie przedstawił on jednak dowodu. Eudoksos z Knidos, działający w następnym stuleciu, podał pierwszy ścisły dowód, wykorzystując technikę zwaną metodą wyczerpywania, będącą wczesnym poprzednikiem rachunku całkowego. Wzór V = (1/3)πr²h pozostaje taki sam do dziś.

Zastosowania obliczeń objętości stożka

Objętości stożków i stożków ściętych pojawiają się wszędzie tam, gdzie kształt zwęża się od szerokiej podstawy do punktu lub mniejszej górnej podstawy. Inżynierowie używają tych wzorów do wymiarowania zbiorników stożkowych, zasobników i lejów. Architekci wykorzystują je do szacowania ilości materiałów na dachy stożkowe. Geolodzy stosują je do szacowania objętości stożków wulkanicznych i podobnych form terenu.

Często zadawane pytania

Jak obliczyć objętość stożka?

Pomnóż π przez kwadrat promienia, pomnóż wynik przez wysokość, a następnie podziel przez 3: V = (1/3)πr²h. Stożek o promieniu 5 cm i wysokości 10 cm ma objętość około 261,80 centymetrów sześciennych.

Jaki jest wzór na objętość stożka ściętego?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), gdzie R i r oznaczają promienie dwóch kołowych podstaw, a h oznacza wysokość własną stożka ściętego, mierzoną między tymi podstawami.

Jak kalkulator oblicza promień górnej podstawy stożka ściętego?

Wykorzystuje podobieństwo trójkątów. Promień górnej podstawy jest równy promieniowi podstawy pomnożonemu przez (1 − wysokość odcięcia ÷ pełna wysokość stożka). Zakłada to, że stożek ścięty powstał ze stożka o prostych bokach.

Co się dzieje, jeśli wysokość odcięcia jest większa od wysokości lub jej równa?

Kalkulator traktuje bryłę jako pełny, nieścięty stożek i zwraca V = (1/3)πr²h, korzystając z podanego promienia i wysokości.

Co się dzieje, jeśli promień lub wysokość jest równa zero albo ujemna?

Kalkulator wymaga, aby zarówno promień, jak i wysokość były większe od zera. Jeśli którakolwiek z tych wartości jest równa zero, ujemna, pusta albo zbyt duża, aby można ją było obsłużyć jako zwykłą liczbę, wyświetla komunikat zamiast objętości.

Jak obliczyć objętość stożka na podstawie średnicy zamiast promienia?

Podziel średnicę przez 2, aby uzyskać promień, a następnie zastosuj jak zwykle wzór V = (1/3)πr²h.

Piśmiennictwo

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld — internetowy zasób firmy Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld — zasób internetowy Wolframa. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html