Kalkulator Wskaźników Millerów - Konwersja Przecięć Płaszczyzny Kryształu na (hkl)

Czym są wskaźniki Millera?

Wskaźniki Millera to zestaw trzech liczb całkowitych, zapisywanych jako (h,k,l), które identyfikują płaszczyznę w sieci krystalicznej. Sieć krystaliczna to powtarzalne, uporządkowane rozmieszczenie atomów występujące w materiale stałym. Wskaźniki Millera dokładnie wskazują naukowcom, jaki przekrój tej sieci przedstawia dana płaszczyzna, bez konieczności opisywania jej geometrii słowami. Wprowadził je brytyjski mineralog William Hallowes Miller w 1839 roku i do dziś pozostają standardowym zapisem w krystalografii.

Ten kalkulator przelicza odcięcia płaszczyzny na krystalograficznych osiach x, y i z na jej wskaźniki Millera (h,k,l).

Wzór na wskaźniki Millera

Wskaźniki Millera wynikają z odwrotności odcięć płaszczyzny na osiach. Jeśli płaszczyzna przecina osie x, y i z w odległościach a, b i c od początku układu, jej wskaźniki spełniają zależność:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Jak obliczać wskaźniki Millera na podstawie odcięć

1. Ustal, gdzie płaszczyzna przecina każdą z osi, mierząc odległość w jednostkach długości krawędzi komórki elementarnej. Oznacz te odcięcia jako a, b i c.
2. Oblicz odwrotność każdego odcięcia: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Pomnóż wszystkie trzy odwrotności przez tę samą liczbę, aby każda z nich stała się liczbą całkowitą.
4. Podziel te trzy liczby całkowite przez ich największy wspólny dzielnik, aby nie można ich było już bardziej skrócić.

Otrzymane trzy liczby całkowite to h, k i l. Płaszczyznę, która nigdy nie przecina danej osi, traktuje się jako przecinającą ją w nieskończoności, a 1 podzielone przez nieskończoność daje 0, więc tej osi przypisuje się wskaźnik Millera 0.

Przykład obliczeń

Płaszczyzna przecina oś x w punkcie 2, oś y w punkcie 3, a oś z w punkcie 6.

1. Odcięcia: (2, 3, 6)
2. Odwrotności: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Pomnóż przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników, 6: (3, 2, 1)
4. Największy wspólny dzielnik liczb 3, 2 i 1 wynosi 1, więc liczb tych nie można już bardziej skrócić.

Wskaźniki Millera wynoszą (321).

Inne przykłady

• Płaszczyzna przechodząca przez punkty (1, ∞, 2) — równoległa do osi y — ma odwrotności (1, 0, 1/2). Pomnożenie przez 2 daje (2, 0, 1). Wartość 0 wskazuje, że płaszczyzna nigdy nie przecina osi y.
• Płaszczyzna przechodząca przez punkty (-1, 2, 3) ma odwrotności (-1, 1/2, 1/3). Pomnożenie przez 6 daje (-6, 3, 2), co zwykle zapisuje się jako (6̄32), z kreską nad ujemnym wskaźnikiem.
• Płaszczyzna przechodząca przez punkty (1, ∞, ∞) ma odwrotności (1, 0, 0), co daje (100). Jest to jedna z sześciu ścian sześcianu.

Przypadki szczególne

Płaszczyzna równoległa do osi nigdy jej nie przecina, dlatego takie odcięcie traktuje się jako nieskończone, a jej wskaźnik Millera wynosi 0. Płaszczyzna przecinająca oś po ujemnej stronie początku układu otrzymuje ujemny wskaźnik, zapisywany formalnie z kreską nad liczbą lub w zwykłym tekście ze znakiem minus. Płaszczyzna przechodząca przez początek układu nie ma określonych wskaźników Millera, ponieważ każda rodzina równoległych płaszczyzn w sieci musi być odsunięta od początku układu, aby można było nadać jej wskaźniki; przed opisaniem takiej płaszczyzny trzeba przesunąć początek układu. Odcięcia ułamkowe obsługuje się tak samo jak całkowite: oblicza się odwrotność każdego z nich, a następnie usuwa ułamki.

Wskaźniki zawsze sprowadza się do najmniejszych możliwych liczb całkowitych. (622) i (311) opisują tę samą rodzinę płaszczyzn, ale krystalografowie zawsze zapisują (311).

Jak korzystać z tego kalkulatora

Wprowadź odcięcia płaszczyzny na osiach x, y i z.

• Dla odcięcia po dodatniej stronie początku układu użyj liczby dodatniej, a po stronie ujemnej — liczby ujemnej.
• Wpisz „infinity”, „inf” lub „∞” dla płaszczyzny równoległej do osi.
• Odcięcie równe zero nie jest akceptowane, ponieważ płaszczyźnie przechodzącej przez początek układu nie można przypisać wskaźników Millera tą metodą.

Kalkulator natychmiast oblicza wskaźniki i wyświetla schemat płaszczyzny wewnątrz komórki elementarnej.

Zastosowania wskaźników Millera

Dyfrakcja rentgenowska. Każda plamka lub maksimum na obrazie dyfrakcji rentgenowskiej odpowiada rodzinie płaszczyzn sieciowych o określonych wskaźnikach (hkl). Prawo Bragga wiąże odległość między tymi płaszczyznami z kątem dyfrakcji:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

d_hkl oznacza odległość między płaszczyznami (h,k,l), λ to długość fali promieniowania rentgenowskiego, a θ to kąt dyfrakcji. Dopasowanie obserwowanych maksimów do wartości (hkl), czyli indeksowanie, jest podstawowym etapem identyfikacji nieznanej struktury krystalicznej.

Nauka o materiałach. Różne płaszczyzny krystaliczne odsłaniają różne układy atomów, dlatego mają różne energie powierzchniowe, różne szybkości reakcji chemicznych i różne znaczenie dla odkształcania metalu. W metalach o sieci regularnej ściennie centrowanej, takich jak aluminium, płaszczyzny atomowe najłatwiej przesuwają się względem siebie po płaszczyznach {111}. Płytki krzemowe do produkcji układów komputerowych zwykle tnie się wzdłuż płaszczyzny (100) lub (111), ponieważ wybór ten wpływa na przebieg późniejszych etapów produkcji.

Mineralogia. Płaskie ściany widoczne na naturalnym krysztale oraz kierunki, wzdłuż których minerał rozpada się gładko, czyli jego łupliwość, odpowiadają określonym płaszczyznom o niskich wskaźnikach. Halit (sól kamienna) łupli się wzdłuż płaszczyzn {100}, a fluoryt — wzdłuż płaszczyzn {111}.

Wskaźniki Millera-Bravaisa dla kryształów heksagonalnych

Kryształy heksagonalne, takie jak magnez, cynk i tytan, zwykle opisuje się za pomocą układu czterech wskaźników (hkil), a nie trzech. Dodatkowy wskaźnik i nie jest niezależny; zawsze i = -(h+k). Taki zapis ułatwia rozpoznanie, że dwie płaszczyzny należą do tej samej rodziny równoważnej symetrycznie, co w sieci heksagonalnej nie zawsze jest oczywiste na podstawie samego trójwskaźnikowego zapisu Millera.

Historia

Wskaźniki Millera wprowadził William Hallowes Miller w swojej książce A Treatise on Crystallography z 1839 roku. Wcześniej istniały już systemy oznaczania ścian kryształów, ale metoda Millera, wykorzystująca odwrotności odcięć, ułatwiła opisywanie płaszczyzn równoległych do osi, ponieważ ich odcięcie jest nieskończone, a jego odwrotność wynosi po prostu 0. Po odkryciu przez Maxa von Lauego dyfrakcji promieni rentgenowskich na kryształach w 1912 roku William Henry Bragg i William Lawrence Bragg wykazali, że wskaźniki Millera dokładnie opisują płaszczyzny odpowiedzialne za maksima dyfrakcyjne; za tę pracę wspólnie otrzymali Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki w 1915 roku.

Najczęściej zadawane pytania

Do czego służą wskaźniki Millera? Identyfikują określone płaszczyzny w sieci krystalicznej. Służą do indeksowania maksimów dyfrakcyjnych promieni rentgenowskich i elektronów, opisywania płaszczyzn poślizgu w metalach, określania orientacji płytek półprzewodnikowych oraz oznaczania ścian i łupliwości minerałów.

Co oznacza zero we wskaźniku Millera? Oznacza, że płaszczyzna jest równoległa do danej osi i nigdy jej nie przecina. Na przykład (201) jest równoległa do osi y.

Co oznaczają ujemne wskaźniki Millera? Oznaczają, że płaszczyzna przecina daną oś po ujemnej stronie początku układu. Ujemny wskaźnik zapisuje się z kreską nad liczbą, na przykład (2̄11), albo ze znakiem minus, na przykład (-2,1,1).

Dlaczego płaszczyzna przechodząca przez początek układu nie może mieć wskaźników Millera? Wskaźniki Millera wynikają z odwrotności odcięcia. Płaszczyzna przechodząca przez początek układu przecina każdą oś w punkcie 0, a 1/0 jest nieokreślone, więc metoda nie może przypisać wskaźników, dopóki płaszczyzna nie zostanie przesunięta.

Jaka jest różnica między wskaźnikami Millera a wskaźnikami Millera-Bravaisa? Wskaźniki Millera (hkl) używają trzech liczb i mają zastosowanie do każdego układu krystalograficznego. Wskaźniki Millera-Bravaisa (hkil) dodają czwarty, zależny wskaźnik i są stosowane głównie do kryształów heksagonalnych, w których ułatwiają rozpoznawanie płaszczyzn równoważnych symetrycznie.

Jak odległość między płaszczyznami wiąże się ze wskaźnikami Millera? W krysztale regularnym o długości krawędzi a odległość między sąsiednimi płaszczyznami (hkl) wynosi d = a / √(h² + k² + l²). Płaszczyzny o wyższych wskaźnikach leżą bliżej siebie. W innych układach krystalograficznych stosuje się podobny, lecz bardziej złożony wzór uwzględniający nierówne długości osi i kąty niebędące równe 90°.

Piśmiennictwo

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W. i Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. wyd.). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D. i Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. wyd.). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.