Kalkulator Rozkładu Gamma - Narzędzie Analizy Statystycznej

Czym jest kalkulator rozkładu gamma?

Kalkulator rozkładu gamma wyznacza średnią, wariancję, skośność, kurtozę i dominantę rozkładu gamma na podstawie dwóch danych wejściowych: parametru kształtu i parametru skali. Rysuje również funkcję gęstości prawdopodobieństwa rozkładu w postaci krzywej.

Czym jest rozkład gamma?

Rozkład gamma jest ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa dla wartości dodatnich. Jest określony przez dwa parametry: parametr kształtu, zwykle oznaczany jako k, oraz parametr skali, zwykle oznaczany jako θ (theta). Oba muszą być większe od zera. Rozkład gamma służy do modelowania wielkości, które nie mogą być ujemne, takich jak sumy opadów, wysokość odszkodowań ubezpieczeniowych i czas do awarii części maszyny.

Wzór rozkładu gamma

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) rozkładu gamma ma postać:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

x oznacza wartość, w której mierzona jest gęstość, a Γ(k) to funkcja gamma, będąca uogólnieniem silni na liczby niecałkowite. Wzór obowiązuje tylko dla x > 0; wszędzie indziej gęstość wynosi zero.

Jak obliczać właściwości rozkładu gamma

Na podstawie parametru kształtu k i parametru skali θ kalkulator wyznacza:

• Średnia: k × θ
• Wariancja: k × θ²
• Skośność: 2 / √k
• Kurtoza: 3 + 6 / k
• Dominanta: (k − 1) × θ, gdy k ≥ 1, w przeciwnym razie 0

Skośność mierzy asymetrię krzywej. Mniejsza wartość k powoduje wydłużenie prawego ogona. Kurtoza mierzy ciężkość ogonów w porównaniu z rozkładem normalnym, którego kurtoza wynosi 3. Dominanta to wartość x, przy której krzywa osiąga maksimum. Gdy k jest mniejsze od 1, gęstość stale rośnie, gdy x zbliża się do 0, więc nie ma maksimum wewnętrznego, a kalkulator podaje dominantę równą 0.

Przykład rozwiązany

Przyjmijmy parametr kształtu k = 2 oraz parametr skali θ = 3.

• Średnia = 2 × 3 = 6
• Wariancja = 2 × 3² = 18
• Skośność = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Kurtoza = 3 + 6 / 2 = 6
• Dominanta = (2 − 1) × 3 = 3

W punkcie dominanty, x = 3, gęstość wynosi f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Po wprowadzeniu obu parametrów kalkulator automatycznie rysuje pełną krzywą.

Jak korzystać z kalkulatora rozkładu gamma

1. Wprowadź parametr kształtu (k), będący liczbą dodatnią.
2. Wprowadź parametr skali (θ), będący liczbą dodatnią.
3. Średnia, wariancja, skośność, kurtoza i dominanta pojawiają się, gdy tylko oba pola zawierają prawidłowe liczby. Nie ma osobnego przycisku obliczania; wyniki aktualizują się podczas wprowadzania liczb.
4. Wykres poniżej wyników przedstawia funkcję gęstości prawdopodobieństwa. Jest rysowany od wartości nieco większej niż x = 0 do większej z dwóch wartości: trzykrotności średniej lub pięciokrotności parametru skali.

Oba parametry muszą być skończonymi liczbami większymi od 0, a żaden z nich nie może być większy niż 1000. Odrzucane są również wartości mniejsze niż około 2 × 10⁻¹⁶, ponieważ przy takiej wielkości podsumowanie wyników przestaje być miarodajne. Wartość spoza dopuszczalnego zakresu powoduje wyświetlenie komunikatu o błędzie zamiast wyników.

Zastosowania rozkładu gamma

Rozkład gamma modeluje wiele rzeczywistych wielkości, które zawsze są dodatnie i często wykazują prawostronną skośność:

• Ubezpieczenia: wysokość roszczeń i wypłat
• Meteorologia: sumy opadów w ustalonym okresie
• Inżynieria: czas do awarii elementu
• Teoria kolejek: czasy oczekiwania złożone z kilku etapów o rozkładzie wykładniczym
• Biologia: poziomy ekspresji genów i dane dotyczące liczebności gatunków

Rozkłady pokrewne

Dwa znane rozkłady są szczególnymi przypadkami rozkładu gamma:

• Rozkład wykładniczy: rozkład gamma z k = 1
• Rozkład chi-kwadrat: rozkład gamma z k = n/2 i θ = 2, gdzie n oznacza liczbę stopni swobody

Rozkłady Weibulla i log-normalny są często stosowanymi alternatywami w modelowaniu dodatnich danych o skośnym rozkładzie.

Często zadawane pytania

Do czego służy rozkład gamma? Modeluje ciągłe, dodatnie wielkości, takie jak czasy oczekiwania, ilości opadów i wysokości roszczeń ubezpieczeniowych, zwłaszcza gdy dane są przesunięte w stronę dużych wartości.

Jak wyznaczyć średnią rozkładu gamma? Pomnóż parametr kształtu przez parametr skali: średnia = k × θ. Dla k = 2 i θ = 3 średnia wynosi 6.

Jaka jest różnica między parametrem kształtu a parametrem skali? Parametr kształtu (k) określa formę krzywej, w tym jej skośność. Parametr skali (θ) rozciąga lub ściska krzywą wzdłuż osi x, nie zmieniając jej podstawowego kształtu.

Jaki jest związek między rozkładem gamma a rozkładem wykładniczym? Rozkład wykładniczy jest rozkładem gamma z parametrem kształtu k = 1.

Czy rozkład gamma może przyjmować wartości ujemne? Nie. Jest określony tylko dla x > 0. Dane, które mogą być ujemne, wymagają innego rozkładu, na przykład rozkładu normalnego.

Czy ten kalkulator oblicza dystrybuantę? Nie. Oblicza średnią, wariancję, skośność, kurtozę i dominantę oraz rysuje funkcję gęstości prawdopodobieństwa. Nie podaje wartości skumulowanego prawdopodobieństwa.

Piśmiennictwo

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S. i Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, tom 1. John Wiley & Sons.