Kalkulator Rozkładu Dwumianowego - Darmowe Narzędzie Probabilistyczne

Czym jest kalkulator rozkładu dwumianowego?

Kalkulator rozkładu dwumianowego oblicza prawdopodobieństwo uzyskania dokładnej liczby sukcesów w ustalonej liczbie niezależnych prób, gdy każda próba ma taką samą szansę powodzenia. Stosuje się go w statystyce, kontroli jakości, medycynie i każdej dziedzinie, w której analizuje się powtarzające się zdarzenia typu „tak” lub „nie”.

Podstawą jest rozkład dwumianowy — model prawdopodobieństwa służący do zliczania sukcesów w powtarzających się próbach, z których każda ma tylko dwa możliwe wyniki, zwykle nazywane sukcesem i porażką.

Wzór na rozkład dwumianowy

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w n próbach wynosi:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Każdy symbol oznacza:

• n — liczba prób.
• k — liczba sukcesów, dla której oblicza się prawdopodobieństwo.
• p — prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie, liczba od 0 do 1.
• $\binom{n}{k}$ — współczynnik dwumianowy, czyli liczba różnych sposobów wyboru k sukcesów spośród n prób. Jest równy $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Każda próba musi być niezależna, co oznacza, że wynik jednej próby nie zmienia prawdopodobieństwa wyniku innej, a prawdopodobieństwo sukcesu p musi pozostać takie samo we wszystkich próbach. Pojedyncza próba z dwoma możliwymi wynikami, taka jak pojedynczy rzut monetą, jest nazywana próbą Bernoulliego. Rozkład dwumianowy otrzymuje się przez zsumowanie n prób Bernoulliego.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo dwumianowe

1. Zapisz n, k oraz p.
2. Oblicz współczynnik dwumianowy $\binom{n}{k}$, czyli liczbę sposobów rozmieszczenia k sukcesów wśród n prób.
3. Podnieś p do potęgi k.
4. Podnieś (1 − p) do potęgi (n − k).
5. Pomnóż przez siebie wszystkie trzy liczby.

Kalkulator na tej stronie wykonuje te kroki automatycznie. Wprowadź n, p oraz k, a otrzymasz P(X = k) wraz z wykresem słupkowym przedstawiającym prawdopodobieństwo każdego możliwego wyniku od 0 do n sukcesów.

Przykład obliczeniowy

Przykład 1: rzuty monetą

Rzucono uczciwą monetą 10 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 3 orłów?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Wynik: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, czyli około 11,72%

Przykład 2: kontrola jakości

Fabryka kontroluje 100 produktów. Prawdopodobieństwo, że pojedynczy produkt będzie wadliwy, wynosi 2%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z 100 produktów nie będzie wadliwy?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Ponieważ k = 0, wzór upraszcza się do $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Wynik: ≈ 0,1326, czyli około 13,26%

Przykład 3: badanie na obecność choroby

W mieście bada się 1 000 osób pod kątem choroby, która zakaża 0,1% populacji (p = 0,001). Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 spośród 1 000 osób będzie zakażonych?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Wynik: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, czyli około 0,30% (dokładna wartość 0,0030488, czyli 0,30488%)

Średnia i wariancja

Dla rozkładu dwumianowego o parametrach n i p:

• Średnia (wartość oczekiwana): E(X) = np
• Wariancja: Var(X) = np(1 − p)
• Odchylenie standardowe: σ = √[np(1 − p)]

Średnia informuje o przeciętnej liczbie sukcesów oczekiwanej w wielu powtórzeniach. W przykładzie 1 średnia wynosi 10 × 0,5 = 5 orłów.

Akceptowane dane wejściowe kalkulatora

• n musi być liczbą całkowitą równą co najmniej 1. Wpisana liczba dziesiętna jest zaokrąglana do najbliższej całkowitej liczby prób, dlatego 10,9 jest traktowane jako 11.
• p musi mieścić się między 0 a 1, włącznie z obiema wartościami granicznymi.
• k musi być liczbą całkowitą równą co najmniej 0 i nie może być większe od n. Uzyskanie 8 sukcesów w 5 próbach jest niemożliwe, więc kalkulator wyświetla błąd zamiast liczby.

Jeśli którekolwiek pole pozostanie puste, kalkulator nie wyświetli wyniku ani wykresu, zamiast zgadywać wartość.

Kiedy stosuje się rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy pasuje do sytuacji tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie cztery warunki:

1. Liczba prób n jest ustalona z góry.
2. Każda próba ma tylko dwa wyniki: sukces albo porażkę.
3. Prawdopodobieństwo sukcesu p jest takie samo w każdej próbie.
4. Próby są od siebie niezależne.

Losowanie kart z talii bez zwracania narusza warunek niezależności, ponieważ usunięcie karty zmienia prawdopodobieństwo przy kolejnym losowaniu. W takiej sytuacji stosuje się rozkład hipergeometryczny.

Rozkłady powiązane

• Rozkład Poissona: służy do przybliżania rozkładu dwumianowego, gdy n jest duże, a p małe, tak że średnia liczba sukcesów (np) pozostaje umiarkowana. Często stosuje się go do modelowania rzadkich zdarzeń, takich jak przypadek choroby w przykładzie 3.
• Rozkład normalny: dla dużych n oraz p niezbyt bliskiego 0 ani 1 rozkład dwumianowy ma w przybliżeniu kształt dzwonowy i można go przybliżyć rozkładem normalnym o średniej np i wariancji np(1 − p).
• Rozkład hipergeometryczny: stosuje się go zamiast rozkładu dwumianowego, gdy próbkowanie z populacji skończonej odbywa się bez zwracania.

Często zadawane pytania

Co robi kalkulator rozkładu dwumianowego?

Oblicza prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w n niezależnych próbach, z których każda ma prawdopodobieństwo sukcesu p, korzystając ze wzoru P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Czym różni się rozkład dwumianowy od normalnego?

Rozkład dwumianowy jest dyskretny, czyli zwraca wyłącznie całkowite liczby sukcesów. Rozkład normalny jest ciągły. Dla dużych n rozkład dwumianowy można przybliżyć krzywą normalną o średniej np i wariancji np(1 − p).

Czy p może wynosić 0 lub 1?

Tak. Jeśli p = 0, żadna próba nie może zakończyć się sukcesem, więc P(X = 0) = 1. Jeśli p = 1, każda próba kończy się sukcesem, więc P(X = n) = 1. W obu przypadkach wszystkie pozostałe wartości k mają prawdopodobieństwo 0.

Jaki jest związek między rozkładem dwumianowym a rozkładem Bernoulliego?

Rozkład Bernoulliego opisuje pojedynczą próbę z dwoma wynikami (n = 1). Rozkład dwumianowy jest sumą n niezależnych prób Bernoulliego, więc rozkład Bernoulliego to po prostu rozkład dwumianowy z n = 1.

Jak duże może być n, zanim kalkulator straci dokładność?

Kalkulator korzysta ze standardowych obliczeń zmiennoprzecinkowych podwójnej precyzji. Mnoży bezpośrednio trzy części wzoru i przełącza się na logarytmy, gdy współczynnik dwumianowy przekroczy największą liczbę możliwą do zapisania w typie double, co następuje w pobliżu n = 1 000, gdy k jest bliskie n/2. Wyniki pozostają poprawne także powyżej tej wartości. Prawdopodobieństwo mniejsze niż około 1e-308 jest podawane jako 0, ponieważ typ double nie może go przechować.

Jak oblicza się współczynnik dwumianowy?

Współczynnik dwumianowy C(n, k) określa liczbę sposobów wyboru k elementów spośród n elementów, niezależnie od kolejności. Jest równy n! / (k! × (n − k)!). Kalkulator oblicza go krok po kroku, mnożąc przez jeden czynnik i dzieląc przez kolejny, dzięki czemu nie musi przechowywać całego silni. Dla bardzo dużych n sumuje zamiast tego logarytmy tych czynników.

Piśmiennictwo

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. i in. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.