Kalkulator Rozkładu Laplace'a - Darmowe Narzędzie PDF i Wizualizacji

Czym jest rozkład Laplace’a?

Rozkład Laplace’a, nazywany także rozkładem podwójnie wykładniczym, jest ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa, którego kształt przypomina dwie krzywe wykładnicze stykające się w wierzchołku. Jest symetryczny względem wartości centralnej i ma cięższe ogony niż rozkład normalny, dlatego przypisuje większe prawdopodobieństwo wartościom ekstremalnym. Dostępny na tej stronie kalkulator rozkładu Laplace’a wyznacza maksymalną gęstość prawdopodobieństwa rozkładu na podstawie parametru położenia i parametru skali oraz rysuje pełną krzywą gęstości.

Rozkład nosi nazwę na cześć Pierre’a-Simona Laplace’a, francuskiego matematyka, który po raz pierwszy opisał go w 1774.

Wzór na rozkład Laplace’a

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) rozkładu Laplace’a ma postać:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x oznacza dowolny punkt na osi liczbowej.
• μ (mu), parametr położenia, jest środkiem rozkładu. Jest również średnią i medianą.
• b, parametr skali, określa rozproszenie rozkładu. Musi być większy od 0.
• |x − μ| oznacza odległość między x a środkiem, bez uwzględniania kierunku.

Krzywa osiąga najwyższy punkt dokładnie dla x = μ. W tym punkcie wzór upraszcza się, ponieważ |μ − μ| = 0 oraz exp(0) = 1, więc otrzymujemy:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Ta maksymalna wartość, 1/(2b), jest liczbą podawaną przez kalkulator.

Jak korzystać z kalkulatora rozkładu Laplace’a

1. Wprowadź parametr położenia (μ). Określa on, gdzie znajduje się środek rozkładu.
2. Wprowadź parametr skali (b). Musi on być dodatnią liczbą; im większa jest ta wartość, tym bardziej płaska i rozproszona jest krzywa.
3. Kalkulator pokazuje maksymalną gęstość, 1/(2b), i rysuje krzywą gęstości f(x) od μ − 4b do μ + 4b. Oś pionowa wykresu przedstawia gęstość prawdopodobieństwa, a krzywą można pobrać w postaci tabeli wartości x i f(x).

Kalkulator nie przyjmuje osobnej wartości x. Zawsze podaje gęstość w maksimum samego rozkładu, x = μ, ponieważ jest to pojedyncza najbardziej użyteczna wartość podsumowująca przy porównywaniu rozkładów o różnych skalach. Aby znaleźć gęstość w innym punkcie, użyj powyższego wzoru z interesującą wartością x albo odczytaj wysokość z wykresu.

Przykład obliczeniowy

Przyjmijmy położenie μ = 4 oraz skalę b = 2.

1. Sprawdź, czy b jest dodatnie: 2 > 0, więc dane wejściowe są prawidłowe.
2. Maksimum występuje dla x = μ = 4, gdzie |x − μ| = 0.
3. Oblicz maksymalną gęstość: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Kalkulator wyświetla 0,250000. Narysowana krzywa osiąga maksimum w punkcie (4, 0,25) i opada symetrycznie po obu stronach, rozciągając się od μ − 4b do μ + 4b, czyli w tym przypadku od −4 do 12.

Ponieważ wzór na maksymalną gęstość, 1/(2b), nie zawiera μ, zmiana położenia przesuwa krzywą tylko w lewo lub w prawo. Nie zmienia jej wysokości. Wysokość zmienia wyłącznie parametr skali.

Więcej przykładów

Średnia, wariancja i odchylenie standardowe

Dla rozkładu Laplace’a o położeniu μ i skali b:

• Średnia = μ
• Mediana = μ
• Wariancja = 2b²
• Odchylenie standardowe = b√2

Rozkład Laplace’a a rozkład normalny

Oba rozkłady są symetryczne i mają kształt dzwonowy, a także są w pełni określone przez środek i parametr rozproszenia. Różnica dotyczy ogonów. W rozkładzie normalnym gęstość maleje wraz z kwadratem odległości od średniej, dlatego wartości ekstremalne bardzo szybko stają się niemal niemożliwe. W rozkładzie Laplace’a maleje ona wraz z samą odległością, więc wartości ekstremalne pozostają względnie bardziej prawdopodobne. Dzięki temu rozkład Laplace’a jest przydatny, gdy rzeczywiste dane zawierają więcej obserwacji odstających, niż przewidywałby rozkład normalny.

Typowe zastosowania

• Przetwarzanie sygnałów i obrazów: modelowanie szumu i kompresja obrazów, ponieważ różnice między pikselami lub sygnałami często skupiają się wokół zera, z okazjonalnymi dużymi skokami.
• Prywatność różnicowa: mechanizm Laplace’a dodaje do wyników zapytań szum o rozkładzie Laplace’a, aby chronić dane poszczególnych osób przy zachowaniu ogólnej dokładności.
• Odporna statystyka i regresja: regresja Lasso wykorzystuje aprioryczny rozkład o kształcie Laplace’a, który sprzyja rozwiązaniom, w których wiele współczynników jest dokładnie równych zeru.
• Finanse: modelowanie stóp zwrotu aktywów, które zwykle mają cięższe ogony, niż sugerowałby rozkład normalny.
• Sejsmologia: rozkład pojawia się w modelach wzorców magnitud trzęsień ziemi związanych z prawem Gutenberga-Richtera.

Często zadawane pytania

Co oznacza wynik kalkulatora?

Jest to maksymalna wartość funkcji gęstości prawdopodobieństwa, równa 1/(2b). Oznacza wysokość krzywej w jej środku, x = μ.

Dlaczego kalkulator nie prosi o podanie wartości x?

Maksymalna gęstość, 1/(2b), jest taka sama dla każdej wartości x równej μ, więc do jej wyznaczenia nie jest potrzebna osobna wartość x. Jest to standardowa pojedyncza liczba służąca do porównywania, jak wysokie i wąskie albo niskie i szerokie są dwa rozkłady Laplace’a. Pełna krzywa, pokazująca gęstość dla każdej wartości x, jest dostępna na wykresie.

Jak znaleźć gęstość w punkcie innym niż maksimum?

Użyj wzoru $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ dla interesującej wartości x albo odczytaj wysokość bezpośrednio z wykreślonej krzywej.

Czym rozkład Laplace’a różni się od rozkładu wykładniczego?

Rozkład Laplace’a można skonstruować z dwóch rozkładów wykładniczych. Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym, mającymi ten sam parametr intensywności, to X − Y ma rozkład Laplace’a ze środkiem w 0.

Jakie są typowe zastosowania rozkładu Laplace’a?

Jest stosowany w przetwarzaniu sygnałów, kompresji obrazów, prywatności różnicowej, odpornej statystyce, regresji Lasso oraz w modelowaniu stóp zwrotu aktywów i magnitud trzęsień ziemi, wszędzie tam, gdzie rzeczywiste dane wykazują więcej wartości ekstremalnych, niż przewiduje rozkład normalny.

Czy rozkład Laplace’a może przyjmować wartości ujemne, czy dotyczy tylko wartości dodatnich?

Jest określony dla wszystkich liczb rzeczywistych, zarówno dodatnich, jak i ujemnych, w przeciwieństwie do rozkładu wykładniczego, który przyjmuje tylko wartości nieujemne.

Piśmiennictwo

1. Kotz, S., Kozubowski, T. i Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution