Kalkulator przedziału ufności na odchylenie standardowe

Ten kalkulator zamienia podany przedział ufności z powrotem na błąd standardowy i odchylenie standardowe. Potrzebuje dwóch granic przedziału, liczebności próby i poziomu ufności. Publikacje często podają średnią wraz z przedziałem ufności, ale pomijają odchylenie standardowe, którego potrzebują metaanalizy i obliczenia mocy testu.

Co robi kalkulator

Przedział ufności dla średniej zwykle buduje się tak:

CI = estymator ± Z × (σ / √n)

Część po znaku ± to margines błędu. Jest on równy wartości krytycznej Z pomnożonej przez błąd standardowy. Ponieważ przedział jest symetryczny, połowa jego szerokości to właśnie margines błędu. Odwrócenie wzoru pozwala odzyskać najpierw błąd standardowy, a potem odchylenie standardowe.

Wzór

szerokość = górna granica − dolna granica

SE = szerokość ÷ (2 × Z)

σ = SE × √n

SE to błąd standardowy średniej. σ to odchylenie standardowe. Z to dwustronna wartość krytyczna standardowego rozkładu normalnego dla danego poziomu ufności.

Wartości krytyczne

Dla dowolnego innego poziomu Z to wartość, która pozostawia połowę pozostałego prawdopodobieństwa w każdym ogonie rozkładu. Kalkulator oblicza ją dla dowolnie podanego poziomu.

Przykład

Badanie podaje średnią różnicę −2.6 z 95% przedziałem ufności od −5.2 do −0.01, na podstawie 78 uczestników.

1. Szerokość = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. Z dla ufności 95% = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

Odchylenie standardowe wynosi około 11.69.

Kiedy ta metoda jest przybliżeniem

Wzór zakłada, że przedział jest symetryczny względem estymatora i został zbudowany na podstawie rozkładu normalnego. Dwie sytuacje łamią to założenie.

Małe próby często wykorzystują rozkład t zamiast rozkładu normalnego. Wartość krytyczna t jest większa, więc użycie Z lekko zaniża odchylenie standardowe. Różnica maleje wraz ze wzrostem próby i jest niewielka powyżej mniej więcej 30 obserwacji.

Przedziały dla ilorazów, takich jak iloraz szans czy hazard ratio, są symetryczne w skali logarytmicznej, a nie w skali pierwotnej. Takie granice trzeba najpierw przekształcić za pomocą logarytmów, zanim ten wzór będzie miał zastosowanie.

Jeśli estymator punktowy nie leży w środku przedziału, kalkulator oznacza przedział jako asymetryczny, a wynik należy traktować jako oszacowanie.

Najczęściej zadawane pytania

Jaka jest różnica między błędem standardowym a odchyleniem standardowym?

Odchylenie standardowe opisuje, jak bardzo rozproszone są poszczególne wartości. Błąd standardowy opisuje, jak precyzyjnie znana jest średnia. Łączy je zależność SE = σ / √n, więc błąd standardowy maleje wraz ze wzrostem próby, a odchylenie standardowe pozostaje niezmienione.

Dlaczego dzieli się przez 2Z, a nie przez Z?

Cała szerokość obejmuje obie strony estymatora. Jeden margines błędu to połowa szerokości, więc połowę szerokości dzieli się przez Z, co jest równoważne dzieleniu całej szerokości przez 2Z.

Czy można to zastosować do przedziału opartego na rozkładzie t?

Tak, ale trzeba zastąpić Z wartością krytyczną t dla n − 1 stopni swobody. Użycie Z przy małej próbie daje nieco zaniżone odchylenie standardowe.

Co zrobić, jeśli podano tylko margines błędu?

Należy go podwoić, aby uzyskać szerokość, a następnie wykonać te same kroki.

Czy estymator punktowy zmienia wynik?

Nie. We wzorze uwzględnia się tylko szerokość, poziom ufności i liczebność próby. Estymator służy do sprawdzenia, czy przedział jest symetryczny.