Kalkulator Rozkładu Poissona - Oblicz Prawdopodobieństwa Zdarzeń

Czym jest kalkulator rozkładu Poissona?

Kalkulator rozkładu Poissona oblicza prawdopodobieństwo, że w ustalonym czasie lub obszarze wystąpi określona liczba zdarzeń, jeśli znana jest ich średnia częstość. Stosuje się go, gdy zdarzenia występują pojedynczo, niezależnie od siebie i ze stałą średnią częstością. Typowe przykłady to liczba połączeń odbieranych przez centrum obsługi w ciągu godziny lub liczba literówek na stronie.

Wzór na rozkład Poissona

Rozkład Poissona określa prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie k zdarzeń, gdy średnia częstość wynosi λ (grecka litera lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Każdy symbol oznacza:

• λ (lambda) — średnią liczbę zdarzeń w przedziale. Jest to jedyny parametr rozkładu.
• k — dokładną liczbę zdarzeń, dla której oblicza się prawdopodobieństwo. Musi być liczbą całkowitą 0 lub większą.
• e — liczba Eulera, stała o wartości około 2,71828.
• k! — „silnia k”, czyli iloczyn wszystkich liczb całkowitych od 1 do k. Na przykład 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Zgodnie z konwencją 0! = 1.

Wzór wymaga tylko wartości λ i k. W przeciwieństwie do rozkładu dwumianowego nie wymaga całkowitej liczby prób.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo w rozkładzie Poissona

1. Wybierz λ, czyli średnią liczbę zdarzeń w analizowanym przedziale.
2. Wybierz k, czyli dokładną liczbę zdarzeń, dla której chcesz obliczyć prawdopodobieństwo.
3. Podnieś e do potęgi −λ: otrzymasz e^(−λ).
4. Podnieś λ do potęgi k: otrzymasz λ^k.
5. Oblicz k!, czyli silnię liczby k.
6. Pomnóż wyniki kroków 3 i 4, a następnie podziel je przez wynik kroku 5.

Otrzymana liczba jest prawdopodobieństwem między 0 a 1. Aby wyrazić je w procentach, pomnóż ją przez 100.

Przykład rozwiązany

Centrum obsługi otrzymuje średnio 5 połączeń na godzinę (λ = 5). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w danej godzinie otrzyma dokładnie 3 połączenia (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Pomnóż: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Podziel przez 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Prawdopodobieństwo dokładnie 3 połączeń w tej godzinie wynosi około 0,140, czyli 14%.

Więcej przykładów

Zastosowania rozkładu Poissona

Rozkład Poissona modeluje liczby rzadkich, niezależnych zdarzeń. Typowe zastosowania obejmują:

• Centra obsługi i obsługa klienta: przewidywanie liczby połączeń lub czatów przychodzących w ciągu godziny.
• Produkcja: szacowanie liczby wad w partii produktów.
• Ubezpieczenia: szacowanie liczby roszczeń napływających w danym okresie.
• Biologia i medycyna: modelowanie liczby mutacji lub rozprzestrzeniania się rzadkich chorób.
• Fizyka: opisywanie rozpadu promieniotwórczego, w którym każdy atom rozpada się niezależnie ze stałą średnią częstością.
• Inżynieria ruchu drogowego i sieci: szacowanie liczby pojazdów przyjeżdżających na skrzyżowanie lub żądań docierających do serwera.

Warunki stosowania rozkładu Poissona

Rozkład Poissona pasuje do sytuacji tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie poniższe warunki:

• Zdarzenia występują pojedynczo; dwa zdarzenia nie mogą wystąpić dokładnie w tej samej chwili.
• Zdarzenia występują niezależnie — jedno zdarzenie nie zwiększa ani nie zmniejsza prawdopodobieństwa następnego.
• Średnia częstość λ pozostaje stała w analizowanym przedziale.

Jeśli częstość zmienia się w czasie lub zdarzenia mają tendencję do grupowania się, zwykły rozkład Poissona nie będzie dobrze opisywał danych.

Rozkład Poissona a rozkłady pokrewne

• Rozkład dwumianowy: stosuje się go, gdy istnieje ustalona liczba prób i znane prawdopodobieństwo sukcesu w każdej z nich, na przykład przy rzucie monetą 20 razy. Rozkład Poissona jest granicznym przypadkiem rozkładu dwumianowego, gdy liczba prób staje się bardzo duża, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie dąży do zera, podczas gdy ich iloczyn pozostaje w przybliżeniu równy λ.
• Rozkład normalny: dla dużych wartości λ, mniej więcej powyżej 20, rozkład Poissona jest zbliżony do dzwonowego rozkładu normalnego o średniej λ i wariancji λ.
• Rozkład wykładniczy: podczas gdy rozkład Poissona określa liczbę zdarzeń w ustalonym przedziale, rozkład wykładniczy opisuje czas oczekiwania między tymi zdarzeniami.

Uwaga dotycząca historii

Francuski matematyk Siméon Denis Poisson wprowadził ten rozkład w 1837 roku, w książce poświęconej zastosowaniu rachunku prawdopodobieństwa do wyroków sądowych. Początkowo wzbudził on niewielkie zainteresowanie. Jego zastosowanie rozpowszechniło się na początku 20 wieku, gdy statystycy, tacy jak Ladislaus Bortkiewicz i Ronald Fisher, zastosowali go do rzeczywistych danych zliczeniowych, w tym do słynnego badania pruskich żołnierzy zabitych przez kopnięcia koni.

Często zadawane pytania

Co oznacza lambda (λ) w rozkładzie Poissona? Lambda to średnia liczba zdarzeń oczekiwanych w analizowanym przedziale. Jest również wariancją rozkładu, więc większa wartość λ oznacza zarówno większą średnią liczbę zdarzeń, jak i większe rozproszenie możliwych wyników.

Czy k lub λ mogą być ujemne albo ułamkowe? λ musi być większe od 0, ale może być liczbą dziesiętną, na przykład 2,5 zdarzenia na godzinę. k musi być liczbą całkowitą 0 lub większą, ponieważ oznacza rzeczywistą liczbę zdarzeń; nie może być ujemne ani ułamkowe.

Czym rozkład Poissona różni się od rozkładu dwumianowego? Rozkład dwumianowy wymaga ustalonej liczby prób i ustalonego prawdopodobieństwa sukcesu w każdej próbie. Rozkład Poissona wymaga tylko średniej częstości i dotyczy zdarzeń, które w zasadzie mogą wystąpić dowolną liczbę razy.

Kiedy zamiast niego należy stosować rozkład normalny? Dla dużych wartości λ, na ogół powyżej około 20, rozkład normalny o tej samej średniej i wariancji dobrze przybliża rozkład Poissona i często łatwiej wykonywać na nim obliczenia ręczne.

Dlaczego kalkulator czasami pokazuje liczbę w notacji naukowej? Wyniki są zwykle wyświetlane z dokładnością do sześciu miejsc po przecinku. Gdy prawdopodobieństwo jest mniejsze niż 0,0001, zaokrąglenie do sześciu miejsc po przecinku dałoby 0,000000 i ukryło rzeczywistą małą wartość, dlatego kalkulator przełącza się na notację naukową. Dla λ = 20 i k = 1 pokazuje 4.122307e-8, co oznacza 0,00000004122307.

Czy istnieją ograniczenia wartości akceptowanych przez kalkulator? Tak. λ musi być większe od 0 i nie większe niż 700, a k musi być liczbą całkowitą od 0 do 1000. Poza tymi granicami kalkulator wyświetla błąd. Ograniczenia utrzymują wynik w zakresie liczb, które komputer może przechowywać, oraz zachowują czytelną liczbę słupków na wykresie.

Czy rozkład Poissona dopuszcza więcej niż jedno zdarzenie naraz? Nie. Model zakłada, że zdarzenia występują pojedynczo. Jeśli dwa zdarzenia regularnie występują jednocześnie, dane lepiej opisuje inny rozkład.

Piśmiennictwo

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paryż, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. Nowy Jork: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sekcja 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp i Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.