Rezolvator de Ecuații Pătratice - Calculează Rădăcinile lui ax² + bx + c = 0

Ce este o ecuație de gradul al doilea?

O ecuație de gradul al doilea este o ecuație de forma $ax^2 + bx + c = 0$, în care $a$, $b$ și $c$ sunt numere, iar $a$ nu este zero. Rezolvatorul de ecuații de gradul al doilea de pe această pagină determină valoarea sau valorile lui $x$ care fac ecuația adevărată, folosind coeficienții $a$, $b$ și $c$ introduși de utilizator.

Dacă $a$ ar fi zero, termenul $x^2$ ar dispărea, iar ecuația ar deveni liniară, nu de gradul al doilea. Din acest motiv, calculatorul necesită $a \neq 0$ și afișează o eroare dacă $a = 0$.

Formula ecuației de gradul al doilea

Orice ecuație de gradul al doilea de forma $ax^2 + bx + c = 0$ poate fi rezolvată folosind formula ecuației de gradul al doilea:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Semnul $\pm$ reprezintă două calcule separate: unul cu semnul plus și unul cu semnul minus. De aceea, o ecuație de gradul al doilea poate avea două soluții diferite.

Expresia de sub radical, $b^2 - 4ac$, se numește discriminant. De obicei, este notată cu $\Delta$ (litera grecească delta). Discriminantul, considerat singur, indică numărul soluțiilor reale ale ecuației înainte de efectuarea restului calculului.

Cum se calculează rădăcinile

1. Scrieți ecuația în forma standard, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identificați coeficienții $a$, $b$ și $c$.
3. Calculați discriminantul: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Dacă $\Delta$ este pozitiv, calculați ambele rădăcini cu $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Dacă $\Delta$ este zero, calculați singura rădăcină cu $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Dacă $\Delta$ este negativ, ecuația nu are rădăcini reale, deoarece un număr negativ nu are rădăcină pătrată reală.

Calculatorul de pe această pagină efectuează automat acești pași. Acesta acceptă coeficienți între $-10^{10}$ și $10^{10}$ și rotunjește rezultatele la un număr ales de zecimale, de la 0 la 10.

Ce înseamnă discriminantul

Acest calculator afișează „nicio rădăcină reală” când $\Delta$ este negativ. Nu calculează rădăcini complexe (numere care implică $i = \sqrt{-1}$).

Exemplu de calcul

Rezolvați $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Aici $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Mai întâi, determinați discriminantul:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Deoarece $\Delta$ este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Acest rezultat poate fi verificat prin factorizare: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, care este zero când $x = -2$ sau $x = -3$.

Un al doilea exemplu prezintă un discriminant negativ. Pentru $x^2 + x + 1 = 0$, $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, deci $\Delta = 1 - 4 = -3$. Deoarece $\Delta$ este negativ, ecuația nu are rădăcini reale.

Parabola, vârful și axa de simetrie

Graficul funcției $f(x) = ax^2 + bx + c$ este o curbă numită parabolă. Dacă $a$ este pozitiv, parabola este deschisă în sus și are un punct minim. Dacă $a$ este negativ, este deschisă în jos și are un punct maxim. Acest punct minim sau maxim este vârful.

Vârful se află în punctul:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Dreapta verticală care trece prin vârf, $x = -\dfrac{b}{2a}$, se numește axa de simetrie, deoarece cele două jumătăți ale parabolei sunt imagini în oglindă una față de cealaltă în raport cu aceasta. Rădăcinile reale ale ecuației sunt punctele în care parabola intersectează axa x, astfel că se află de o parte și de alta a axei de simetrie, la aceeași distanță de aceasta.

Calculatorul desenează această parabolă lângă rezultat. Marchează vârful și toate rădăcinile reale pe curbă și extinde intervalul reprezentat atunci când este necesar, astfel încât fiecare rădăcină să rămână vizibilă.

Unde sunt folosite ecuațiile de gradul al doilea

Ecuațiile de gradul al doilea descriu multe situații reale. În fizică, înălțimea unui obiect aruncat în funcție de timp urmează ecuația $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, iar rezolvarea acesteia pentru $t$ oferă momentul în care obiectul ajunge la sol. În inginerie, formele parabolice apar la antenele parabolice și la cablurile podurilor datorită modului în care focalizează sau distribuie forța. În grafica pe calculator, programele de trasare a razelor rezolvă ecuații de gradul al doilea pentru a determina punctul în care o dreaptă intersectează o sferă.

O scurtă istorie

Matematicienii babilonieni rezolvau probleme specifice de gradul al doilea în jurul anului 2000 î.Hr., folosind metode geometrice, nu algebră. Matematicienii greci, precum Euclid, tratau de asemenea ecuațiile de gradul al doilea în mod geometric. În jurul anului 600 d.Hr., matematicianul indian Brahmagupta a prezentat o formulă explicită pentru rădăcini, inclusiv pentru soluții negative. În jurul anului 800 d.Hr., matematicianul persan al-Khwarizmi a descris metode sistematice de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea într-o carte al cărei titlu a stat la originea cuvântului „algebră”. Forma simbolică modernă a formulei ecuației de gradul al doilea a devenit standard mai târziu, pe măsură ce notația algebrică s-a dezvoltat în timpul Renașterii.

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă dacă introduc 0 pentru coeficientul a? Calculatorul afișează o eroare, deoarece $a = 0$ transformă ecuația într-una liniară, $bx + c = 0$, care se rezolvă diferit.

De ce uneori o ecuație nu are rădăcini reale? Acest lucru se întâmplă când discriminantul, $b^2 - 4ac$, este negativ. Un număr negativ nu are rădăcină pătrată reală, astfel încât formula nu poate produce o valoare reală a lui $x$. Ecuația are în continuare două rădăcini complexe, dar acest calculator nu le calculează.

Care este diferența dintre o rădăcină și o soluție? Niciuna. Ambele cuvinte se referă la o valoare a lui $x$ care face ca ecuația să fie egală cu zero. „Rădăcină” se referă la locul în care graficul intersectează axa x; „soluție” se referă la algebră.

Câte zecimale pot alege? Între 0 și 10. De obicei, două sau trei zecimale sunt suficiente pentru problemele de zi cu zi.

Pot introduce coeficienți foarte mari? Coeficienții trebuie să fie între $-10^{10}$ și $10^{10}$. Valorile din afara acestui interval pot provoca erori de rotunjire și sunt respinse.

Poate acest calculator să găsească rădăcini complexe? Nu. Când discriminantul este negativ, acesta afișează „nicio rădăcină reală” în loc să calculeze numere complexe.

Referințe

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Algebră: ecuația de gradul al doilea