Soluționar Ecuație Young-Laplace | Presiune de Interfață

Ce este ecuația Young-Laplace?

Ecuația Young-Laplace este o formulă din mecanica fluidelor care exprimă diferența de presiune de-a lungul unei interfețe curbe dintre două fluide, cum ar fi suprafața unei picături de apă sau a unei bule de săpun. Ea arată că această diferență de presiune depinde de tensiunea superficială a fluidului și de cât de accentuat se curbează interfața. Ecuația explică de ce presiunea crește în interiorul picăturilor și bulelor și de ce cele mai mici au o presiune internă mai mare decât cele mai mari.

Poartă numele lui Thomas Young și Pierre-Simon Laplace, care au descris fiecare această relație la începutul anilor 1800.

Formula ecuației Young-Laplace

Forma generală a ecuației este:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ este diferența de presiune de-a lungul interfeței, exprimată în pascali (Pa)
• $\gamma$ (gamma) este tensiunea superficială a fluidului, exprimată în newtoni pe metru (N/m)
• $R_1$ și $R_2$ sunt cele două raze principale de curbură ale suprafeței, exprimate în metri (m)

O suprafață se curbează diferit în direcții diferite. $R_1$ și $R_2$ descriu curbura de-a lungul a două direcții perpendiculare una pe cealaltă. Pentru o sferă, cum ar fi o picătură sau o bulă, $R_1$ este egal cu $R_2$, astfel că formula se simplifică la:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Convenția de semn

Presiunea este întotdeauna mai mare pe partea concavă a unei interfețe curbe, partea de care suprafața se îndepărtează prin bombare. Pentru o picătură sau o bulă, aceasta înseamnă că presiunea din interior este mai mare decât cea din exterior. O rază este considerată pozitivă când centrul său de curbură se află pe partea cu presiune mai mare. Dacă suprafața se curbează în sensul opus într-o direcție, raza respectivă este considerată negativă. O interfață în formă de șa, cum este gâtul de lichid dintre două granule aflate în contact, are o rază pozitivă și una negativă, iar cei doi termeni se anulează parțial.

Acest calculator folosește numai raze pozitive.

Cazuri speciale

• Suprafață plană: pe măsură ce o rază crește spre infinit, termenul său din formulă scade spre zero. O interfață perfect plană nu are nicio diferență de presiune.
• Cilindru: o suprafață cilindrică lungă, cum este un jet de lichid care iese dintr-o duză, se curbează într-o singură direcție. O rază este raza cilindrului, iar cealaltă este infinită de-a lungul lungimii sale, astfel că formula se reduce la $\Delta P = \gamma / R$. Aceasta reprezintă jumătate din diferența de presiune a unei sfere cu aceeași rază.
• Scări foarte mici: sub aproximativ 10 până la 20 nanometri, efecte suplimentare, precum tensiunea liniară, devin semnificative, iar ecuația simplă își pierde precizia.

Cum se calculează diferența de presiune cu ecuația Young-Laplace

1. Determinați tensiunea superficială a fluidului, în N/m, la temperatura de interes. Tensiunea superficială scade pe măsură ce temperatura crește.
2. Măsurați sau estimați prima rază principală de curbură, $R_1$, în metri.
3. Măsurați sau estimați a doua rază principală de curbură, $R_2$, în metri. Pentru o sferă, folosiți aceeași valoare ca pentru $R_1$. Pentru un cilindru, folosiți un număr foarte mare pentru a reprezenta infinitul.
4. Înmulțiți tensiunea superficială cu suma dintre $1/R_1$ și $1/R_2$. Rezultatul este diferența de presiune în pascali.

Păstrați toate valorile în unități SI. Amestecarea milimetrilor cu metrii, de exemplu, modifică rezultatul cu un factor de o mie.

Exemplu de calcul

Luați o picătură sferică de apă cu raza de 1 milimetru (0,001 m) și o tensiune superficială de 0,072 N/m, o valoare tipică pentru apă la temperatura camerei.

Deoarece picătura este o sferă, $R_1 = R_2 = R$, astfel că:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Presiunea din interiorul picăturii este cu 144 Pa mai mare decât presiunea aerului din jur. Aceasta este mică în comparație cu presiunea atmosferică normală, de aproximativ 101.325 Pa, dar efectul crește rapid pe măsură ce picătura se micșorează. O picătură cu o rază de o zecime din această valoare, 0,1 mm, are o diferență de presiune de zece ori mai mare: 1.440 Pa. O picătură cu raza de 0,01 mm ajunge la 14.400 Pa, peste 14 % din presiunea atmosferică.

Unde se aplică ecuația

• Picături și bule: presiunea mai mare din interiorul picăturilor mici determină maturarea Ostwald, procesul prin care picăturile mici dintr-o emulsie se micșorează, în timp ce cele mari cresc, deoarece conținutul lor difuzează din zonele cu presiune mare spre cele cu presiune mică.
• Acțiunea capilară: suprafața curbată din interiorul unui tub îngust trage lichidul în sus. De aceea apa urcă în prosoapele de hârtie și în tuburile înguste de sticlă.
• Respirație: micii saci de aer din plămâni, numiți alveole, se comportă ca niște bule mici. Un înveliș numit surfactant pulmonar reduce tensiunea superficială, astfel încât alveolele mici să nu se prăbușească sub presiunea prevăzută de ecuație. Bebelușii prematuri care nu au suficient surfactant pot dezvolta probleme respiratorii din acest motiv.
• Imprimare cu jet de cerneală: duzele imprimantelor formează picături cu diametrul de zeci de micrometri, unde presiunea datorată curburii este suficient de mare pentru a influența modul în care cerneala iese din duză.
• Știința materialelor: instrumentele care măsoară modul în care lichidele udă o suprafață și comportamentul straturilor subțiri folosesc ecuația pentru a corela forma unei picături cu energia sa de suprafață.

Istoric

Oamenii au observat lichidele urcând în tuburi înguste cu mult înainte ca cineva să explice de ce. La începutul anilor 1700, Francis Hauksbee a arătat experimental că tuburile mai înguste determină o ascensiune capilară mai mare, iar în 1718 James Jurin a descris ascensiunea ca fiind invers proporțională cu diametrul tubului.

Thomas Young a explicat fizica subiacentă într-o lucrare din 1805, introducând tensiunea superficială ca proprietate a unui fluid și corelând-o cu presiunea de-a lungul suprafețelor curbe, deși tratarea sa a fost în mare parte descriptivă. În 1806, Pierre-Simon Laplace a elaborat forma matematică folosind calculul diferențial și integral, ajungând independent la aceeași relație. Lucrările lor reunite au devenit ecuația Young-Laplace. Ulterior, oameni de știință precum Carl Friedrich Gauss și Joseph Plateau au testat și extins teoria în anii 1800.

Întrebări frecvente

Ce calculează ecuația Young-Laplace? Calculează diferența de presiune de-a lungul unei interfețe curbe dintre două fluide, pe baza tensiunii superficiale a fluidului și a curburii interfeței.

De ce presiunea este mai mare în interiorul unei picături mai mici? Tensiunea superficială acționează de-a lungul marginii picăturii, iar această forță crește proporțional cu raza. Suprafața asupra căreia trebuie să acționeze presiunea crește cu pătratul razei. Echilibrarea celor două conduce la $\Delta P = 2\gamma/R$, astfel că diferența de presiune este invers proporțională cu raza: dacă raza se înjumătățește, diferența de presiune se dublează.

Cum influențează temperatura ecuația? Temperatura modifică valoarea tensiunii superficiale, iar tensiunea superficială scade pe măsură ce temperatura crește. Pentru apă, tensiunea superficială scade de la aproximativ 0,073 N/m la 20 °C până la aproximativ 0,063 N/m la 80 °C, ceea ce reprezintă o scădere de aproximativ 0,17 mN/m pentru fiecare grad Celsius. Tensiunea superficială la temperatura camerei este mai mare decât cea a apei fierbinți, astfel că folosirea unei valori corespunzătoare temperaturii camerei pentru un sistem fierbinte supraestimează diferența de presiune.

Funcționează ecuația și pentru alte forme decât sferele? Da. Forma generală, cu două raze distincte $R_1$ și $R_2$, se aplică oricărei suprafețe curbe, inclusiv elipsoidelor și interfețelor în formă de șa. Numai versiunea simplificată $2\gamma/R$ este limitată la sfere.

Prin ce diferă ecuația Young-Laplace de ecuația lui Young? Ecuația Young-Laplace exprimă diferența de presiune cauzată de o interfață curbă. Ecuația lui Young, o relație distinctă formulată tot de Thomas Young, exprimă unghiul de contact pe care îl formează o picătură în punctul în care întâlnește o suprafață solidă, pe baza energiilor de suprafață ale celor trei materiale implicate. Ele descriu lucruri diferite și sunt uneori folosite împreună pentru a analiza o picătură aflată pe o suprafață.

Cât de mică poate fi o picătură înainte ca ecuația să nu mai funcționeze? Ecuația rămâne precisă până la aproximativ 1 micrometru. Sub aproximativ 10 până la 20 nanometri, forțe suplimentare ignorate de ecuație, inclusiv tensiunea liniară și forțele dintre suprafețe la scară moleculară, devin suficient de mari pentru a conta, fiind necesare modele mai detaliate.

Referințe

1. Young, T. (1805). „An Essay on the Cohesion of Fluids.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, supliment la Cartea 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. și Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W. și Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (ediția a 6-a). Wiley-Interscience.