Калькулятор арок - Расчет радиуса, пролета и подъема

Что такое калькулятор арки?

Калькулятор арки определяет размеры круговой арки — её радиус, пролёт и подъём — по любым двум из этих значений. Он также вычисляет длину дуги и площадь арки. Архитекторы, строители и любители используют его для проектирования дверных проёмов, окон, мостов и садовых конструкций криволинейной формы.

Основные размеры арки

Круговая арка — это часть, вырезанная из окружности. Её форму описывают пять измерений:

• Радиус: расстояние от центра окружности до любой точки кривой арки.
• Пролёт: прямое горизонтальное расстояние между двумя нижними концами арки, также называемое шириной.
• Подъём: вертикальное расстояние от линии опирания (горизонтальной линии, соединяющей два конца) до наивысшей точки арки.
• Длина дуги: расстояние вдоль кривой линии арки от одного конца до другого.
• Площадь арки: площадь криволинейной области, ограниченной аркой и линией опирания.

Формулы размеров арки

Эти формулы применяются к круговой арке, построенной как сегмент одной окружности. Они справедливы для любого подъёма, не превышающего удвоенный радиус. Этот диапазон охватывает большинство рассчитываемых дверных, оконных и мостовых арок, а также подковообразные арки, у которых кривая продолжается дальше полуокружности.

Формула подъёма (по радиусу и пролёту)

$\text{Подъём} = \text{Радиус} - \sqrt{\text{Радиус}^2 - \left(\frac{\text{Пролёт}}{2}\right)^2}$

Применима, если радиус и пролёт положительны, а пролёт ≤ 2 × радиус.

Формула радиуса (по пролёту и подъёму)

$\text{Радиус} = \frac{\text{Пролёт}^2}{8 \times \text{Подъём}} + \frac{\text{Подъём}}{2}$

Применима, если пролёт и подъём положительны.

Формула пролёта (по радиусу и подъёму)

$\text{Пролёт} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Радиус} \times \text{Подъём} - \text{Подъём}^2}$

Применима, если радиус и подъём положительны, а подъём ≤ 2 × радиус.

Формула длины дуги

$\text{Длина дуги} = \text{Радиус} \times \theta$

Здесь θ (тета) — центральный угол в радианах, который кривая арки образует в центре окружности. Если подъём не превышает радиус, арка является не более чем полуокружностью, и θ равен:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Пролёт}}{2 \times \text{Радиус}}\right)$

Если подъём больше радиуса, арка больше полуокружности, и θ вычисляется как оставшаяся часть окружности:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Пролёт}}{2 \times \text{Радиус}}\right)$

Калькулятор охватывает оба случая одним шагом: θ = 2 × atan2(Пролёт ÷ 2, Радиус − Подъём); при этом для полуокружности результат также остаётся точным.

Формула площади арки

$\text{Площадь арки} = \frac{1}{2} \times \text{Радиус}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Пролёт} \times (\text{Радиус} - \text{Подъём})$

Как пользоваться калькулятором арки

Калькулятор предлагает три режима — по одному для каждого размера, который может быть неизвестен.

Рассчитать подъём, если известны радиус и пролёт: введите радиус и пролёт. Инструмент выдаст подъём, длину дуги и площадь арки.

Рассчитать радиус, если известны пролёт и подъём: введите пролёт и подъём. Инструмент выдаст радиус, длину дуги и площадь арки.

Рассчитать пролёт, если известны радиус и подъём: введите радиус и подъём. Инструмент выдаст пролёт, длину дуги и площадь арки.

Калькулятор отклоняет значения, которые не могут образовать реальную арку. Пролёт не может превышать удвоенный радиус, подъём не может превышать удвоенный радиус, а каждый размер должен быть положительным числом. Если значение нарушает одно из этих правил, отображается сообщение об ошибке.

Пример расчёта

Пример 1: арка дверного проёма

Арка дверного проёма имеет пролёт 36 дюймов (91,4 см) и подъём 12 дюймов (30,5 см).

Радиус = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 дюйма (49,5 см)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 радиана

Длина дуги = 19,5 × 2,352 = 45,86 дюйма (116 см)

Площадь арки = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 квадратного дюйма (2 010 см²)

Пример 2: садовая арка

Садовая арка имеет радиус 4 фута (1,2 м) и пролёт 6 футов (1,8 м).

Подъём = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 фута (0,411 м)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 радиана

Длина дуги = 4 × 1,696 = 6,78 футов (2,07 м)

Площадь арки = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 квадратного фута (0,523 м²)

Пример 3: мостовая арка

Мостовая арка имеет пролёт 50 футов (15 м) и подъём 15 футов (4,57 м).

Радиус = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 фута (8,63 м)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 радиана

Длина дуги = 28,33 × 2,162 = 61,25 футов (18,7 м)

Площадь арки = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 квадратного фута (49,6 м²)

Распространённые применения расчётов арок

Строители используют размеры арок для изготовления опалубки бетонных арок, разметки шаблонов из кирпича или камня для каменных арок и планирования кривизны сводчатых потолков. Проектировщики мостов используют пролёт, подъём и радиус, чтобы сбалансировать распределение нагрузки и необходимый габарит. При реставрации те же формулы помогают точно воспроизвести геометрию исторической арки при её ремонте или восстановлении. Садоводы и мастера, выполняющие работы самостоятельно, используют их для арочных шпалер, ворот и декоративных проёмов.

Этот калькулятор предназначен только для круговых арок, образованных дугой одной окружности. Эллиптические, параболические, готические и цепные арки имеют другие кривые и требуют других формул.

Краткая история арки

Строители в древней Месопотамии использовали ранние формы, напоминающие арки, уже в 2500 году до н. э., хотя большинство таких конструкций создавалось методом напуска — камни укладывали так, чтобы каждый слой выступал над расположенным ниже, — а не в виде настоящей криволинейной арки. Римляне превратили полуциркульную арку в стандартный строительный метод и использовали её в акведуках, мостах и таких зданиях, как Колизей. Средневековые строители Европы разработали стрельчатую готическую арку, позволившую возводить более высокие и лёгкие сооружения. Позднее архитекторы вновь обратились к полуциркульным формам, основанным на точных пропорциях, а современные материалы, такие как сталь и железобетон, теперь позволяют аркам перекрывать гораздо большие расстояния.

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между подъёмом и высотой арки?

Подъём — это вертикальное расстояние от линии опирания до верхней точки кривой арки. Высотой иногда называют общую высоту проёма, включая прямую стену под линией опирания.

Работает ли этот калькулятор для всех типов арок?

Нет. Он работает только для круговых арок, имеющих форму сегмента окружности. Эллиптические, параболические, готические и цепные арки имеют другие кривые и требуют отдельных формул.

Как связаны пролёт и радиус в полуциркульной арке?

В полуциркульной арке радиус равен половине пролёта, а подъём равен радиусу. Арка образует ровно половину окружности.

Почему пролёт не может быть больше удвоенного радиуса?

Пролёт, равный удвоенному радиусу, уже образует полуокружность — самую широкую арку при данном радиусе. Более широкий пролёт вообще не поместился бы на окружности.

Почему подъём не может быть больше удвоенного радиуса (в режиме расчёта пролёта)?

Подъём измеряется от линии опирания до наивысшей точки арки на той же окружности. Удвоенный радиус — это полная высота окружности, поэтому при большем подъёме верх арки оказался бы за пределами окружности. Подъём от радиуса до удвоенного радиуса допустим. В этом случае арка больше полуокружности, как у подковообразных арок.

Какие единицы измерения использует калькулятор?

Подойдёт любая согласованная единица — дюймы, футы, метры или сантиметры. Вводите все значения в одной и той же единице; результаты будут выражены в ней же, а площадь — в квадратных единицах.