Калькулятор биномиального распределения - Бесплатный вероятностный инструмент

Что такое калькулятор биномиального распределения?

Калькулятор биномиального распределения вычисляет вероятность получить точно заданное число успехов в фиксированном числе независимых испытаний, если каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха. Его используют в статистике, контроле качества, медицине и любой области, где изучаются повторяющиеся события с ответом «да» или «нет».

В основе лежит биномиальное распределение — вероятностная модель для подсчёта успехов в повторяющихся испытаниях, каждое из которых имеет только два исхода, обычно называемых успехом и неудачей.

Формула биномиального распределения

Вероятность получить ровно k успехов в n испытаниях равна:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Каждое обозначение означает:

• n — число испытаний.
• k — число успехов, вероятность получения которого вычисляется.
• p — вероятность успеха в одном испытании, число между 0 и 1.
• $\binom{n}{k}$ — биномиальный коэффициент, число способов выбрать k успехов из n испытаний. Он равен $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Каждое испытание должно быть независимым: исход одного испытания не меняет вероятность исхода другого, а вероятность успеха p должна оставаться одинаковой во всех испытаниях. Одно испытание с двумя возможными исходами, например один бросок монеты, называется испытанием Бернулли. Биномиальное распределение получают суммированием n испытаний Бернулли.

Как вычислить биномиальную вероятность

1. Запишите n, k и p.
2. Вычислите биномиальный коэффициент $\binom{n}{k}$ — число способов расположить k успехов среди n испытаний.
3. Возведите p в степень k.
4. Возведите (1 − p) в степень (n − k).
5. Перемножьте три числа.

Калькулятор на этой странице выполняет эти действия автоматически. Введите n, p и k, и он выдаст P(X = k), а также столбчатую диаграмму с вероятностью каждого возможного исхода — от 0 до n успехов.

Пример расчёта

Пример 1: броски монеты

Честную монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность получить ровно 3 орла?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Результат: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, то есть примерно 11,72 %

Пример 2: контроль качества

На фабрике проверяют 100 изделий. Вероятность того, что каждое изделие окажется бракованным, составляет 2 %. Какова вероятность, что ни одно из 100 изделий не окажется бракованным?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Поскольку k = 0, формула принимает вид $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Результат: ≈ 0,1326, то есть примерно 13,26 %

Пример 3: тестирование на заболевание

В городе проверяют 1 000 человек на заболевание, которым заражены 0,1 % населения (p = 0,001). Какова вероятность, что ровно 5 из 1 000 человек заражены?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Результат: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, то есть примерно 0,30 % (точное значение 0,0030488, то есть 0,30488 %)

Среднее значение и дисперсия

Для биномиального распределения с параметрами n и p:

• Среднее значение (математическое ожидание): E(X) = np
• Дисперсия: Var(X) = np(1 − p)
• Стандартное отклонение: σ = √[np(1 − p)]

Среднее значение показывает ожидаемое среднее число успехов при многократном повторении испытаний. В примере 1 среднее значение равно 10 × 0,5 = 5 орлов.

Какие значения принимает калькулятор

• n должно быть целым числом не меньше 1. Десятичное значение округляется до ближайшего целого числа испытаний, поэтому 10,9 считается равным 11.
• p должно находиться между 0 и 1, включая оба значения.
• k должно быть целым числом не меньше 0 и не может превышать n. Получить 8 успехов в 5 испытаниях невозможно, поэтому калькулятор выдаёт ошибку, а не число.

Если какое-либо поле оставить пустым, калькулятор не показывает ни результат, ни диаграмму, вместо того чтобы угадывать значение.

Когда применяется биномиальное распределение

Биномиальное распределение подходит для ситуации только при выполнении всех четырёх условий:

1. Число испытаний n заранее фиксировано.
2. Каждое испытание имеет только два исхода: успех или неудача.
3. Вероятность успеха p одинакова в каждом испытании.
4. Испытания независимы друг от друга.

Извлечение карт из колоды без возвращения нарушает условие независимости, поскольку удаление карты изменяет вероятность следующего извлечения. В этом случае используется гипергеометрическое распределение.

Связанные распределения

• Распределение Пуассона: используется для приближённой замены биномиального распределения, когда n велико, а p мало, так что среднее число успехов (np) остаётся умеренным. Оно часто применяется для моделирования редких событий, например случая заболевания из примера 3.
• Нормальное распределение: при большом n и значении p, не слишком близком к 0 или 1, биномиальное распределение имеет примерно колоколообразную форму и может быть приближённо представлено нормальным распределением со средним значением np и дисперсией np(1 − p).
• Гипергеометрическое распределение: используется вместо биномиального распределения, когда выборка извлекается без возвращения из конечной совокупности.

Часто задаваемые вопросы

Что делает калькулятор биномиального распределения?

Он вычисляет вероятность получить ровно k успехов в n независимых испытаниях, каждое из которых имеет вероятность успеха p, используя формулу P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

В чём разница между биномиальным и нормальным распределениями?

Биномиальное распределение дискретно, то есть выдаёт только целочисленные значения числа успехов. Нормальное распределение непрерывно. При большом n биномиальное распределение можно приблизить нормальной кривой со средним значением np и дисперсией np(1 − p).

Может ли p быть равным 0 или 1?

Да. Если p = 0, ни одно испытание не может завершиться успехом, поэтому P(X = 0) = 1. Если p = 1, каждое испытание завершается успехом, поэтому P(X = n) = 1. В этих случаях вероятность всех остальных значений k равна 0.

Как связаны биномиальное и распределение Бернулли?

Распределение Бернулли описывает одно испытание с двумя исходами (n = 1). Биномиальное распределение представляет собой сумму n независимых испытаний Бернулли, поэтому распределение Бернулли — это биномиальное распределение при n = 1.

Насколько большим может быть n, прежде чем калькулятор начнёт выдавать неточные результаты?

Калькулятор работает со стандартной арифметикой двойной точности. Он напрямую перемножает три части формулы и переходит к логарифмам, когда биномиальный коэффициент превышает максимальное число, которое может храниться в формате double; это происходит примерно при n = 1 000, когда k близко к n/2. После этого результаты остаются корректными. Вероятность меньше примерно 1e-308 отображается как 0, поскольку формат double не может её хранить.

Как вычисляется биномиальный коэффициент?

Биномиальный коэффициент C(n, k) подсчитывает число способов выбрать k элементов из n элементов независимо от порядка. Он равен n! / (k! × (n − k)!). Калькулятор вычисляет его пошагово, умножая на один множитель и деля на следующий, поэтому ему не приходится хранить полный факториал. Для очень больших n он вместо этого складывает логарифмы этих множителей.

Источники

1. "Binomial Distribution." Википедия, Фонд Викимедиа. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Росс, Шелдон М. Введение в вероятностные модели. Academic Press, 2014.
3. Джонсон, Норман Л. и др. Дискретные распределения. Серия Wiley по теории вероятностей и статистике, 2005.