Калькулятор гипотенузы

Калькулятор гипотенузы вычисляет длину самой длинной стороны прямоугольного треугольника, которая называется гипотенузой. Он использует теорему Пифагора — правило, связывающее три стороны любого прямоугольного треугольника.

Что такое гипотенуза?

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусам; он образуется в месте соединения двух сторон под прямым углом. Эти две стороны называются катетами. Третья сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенуза. Она всегда является самой длинной стороной треугольника.

Формула теоремы Пифагора

Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

c — гипотенуза
a и b — два катета

Чтобы найти неизвестный катет, а не гипотенузу, формулу можно преобразовать:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Теорема названа в честь греческого математика Пифагора, жившего примерно с 570 по 495 год до н. э. Эта зависимость была известна и раньше. На вавилонских глиняных табличках, датируемых примерно 1800 годом до н. э., видно, что вавилонские математики уже использовали её — более чем за тысячу лет до Пифагора.

Как вычислить гипотенузу

Чтобы найти гипотенузу вручную, выполните четыре шага.

Возведите длину стороны A в квадрат (умножьте её на саму себя).
Возведите длину стороны B в квадрат.
Сложите два значения, возведённых в квадрат.
Извлеките квадратный корень из этой суммы.

Калькулятор на этой странице выполняет те же четыре шага. В меню выберите «Найти гипотенузу», «Найти сторону A» или «Найти сторону B», затем введите две известные длины. Результат обновляется сразу после ввода допустимых чисел и округляется до двух знаков после запятой.

Обе стороны должны быть указаны в одной и той же единице измерения, например в дюймах или метрах. Калькулятор не преобразует единицы, поэтому значение в футах и значение в дюймах нельзя использовать вместе для получения осмысленного результата.

Пример расчёта

В прямоугольном треугольнике сторона A имеет длину 3 фута (0,91 м), а сторона B — 4 фута (1,2 м).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 футов (1,52 м)

Соотношение 3-4-5 — это приём, который плотники используют для проверки прямого угла. Отмерьте 3 фута (0,91 м) вдоль одного края и 4 фута (1,2 м) вдоль перпендикулярного края. Диагональное расстояние между этими двумя точками должно составлять ровно 5 футов (1,5 м). То же работает для любого кратного соотношения, например 6-8-10 или 30-40-50.

Во втором примере используются десятичные значения. В прямоугольном треугольнике сторона A имеет длину 2,5 дюйма (6,35 см), а сторона B — 6,8 дюйма (17,3 см).

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,24 дюйма (18,4 см)

Так измеряют размеры телевизоров и мониторов. Указанный размер экрана — это диагональ, то есть гипотенуза прямоугольника, образованного шириной и высотой экрана.

Поиск неизвестной стороны

Если гипотенуза и один катет уже известны, калькулятор может найти другой катет. Выберите «Найти сторону A» или «Найти сторону B», затем введите гипотенузу и известный катет.

Например, в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 метрам, а сторона B — 6 метрам.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 метров

Гипотенуза всегда длиннее любого катета, поскольку является самой длинной стороной треугольника. Если введённое значение гипотенузы не больше известного катета, калькулятор показывает ошибку вместо результата, поскольку такого прямоугольного треугольника не существует.

Распространённые применения

Теорему Пифагора используют всякий раз, когда по двум перпендикулярным измерениям необходимо найти прямое диагональное расстояние.

Строительство и плотницкие работы: проверка прямого угла в каркасе или углу стены, а также расчёт длины стропил или тетив лестницы.
Геодезия: преобразование горизонтального и вертикального расстояний в прямое расстояние по линии визирования.
Навигация и компьютерная графика: формула расстояния между двумя точками на графике, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], представляет собой ту же теорему, применённую к координатам.
Образование: это одно из первых геометрических доказательств, с которыми знакомится большинство учащихся; его можно проверить на простых примерах с целыми числами, таких как 3-4-5 или 5-12-13.

Теорема применима только к прямоугольным треугольникам. Для треугольника без угла в 90 градусов вместо неё используют теорему косинусов.

Часто задаваемые вопросы

Какова формула гипотенузы? c = √(a² + b²), где a и b — два катета прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза.

Можно ли использовать это для треугольников без прямого угла? Нет. Теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. Для треугольника без угла в 90 градусов требуется теорема косинусов.

Что такое правило 3-4-5? Это приём для проверки прямого угла. Если одна сторона имеет длину 3 единицы, прилегающая перпендикулярная сторона — 4 единицы, а диагональ между их конечными точками — 5 единицы, угол является прямым. То же работает для любого кратного соотношения 3-4-5, например 6-8-10 или 30-40-50.

Нужно ли указывать обе стороны в одной и той же единице измерения? Да. Оба катета необходимо вводить в одной единице, например оба в футах или оба в метрах. Смешение единиц, например футов и дюймов, даёт математически правильный, но физически бессмысленный результат.

Почему калькулятор показывает ошибку для некоторых сочетаний гипотенузы и катета? Гипотенуза всегда является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Если введённое значение гипотенузы не больше известного катета, допустимого прямоугольного треугольника не существует, поэтому калькулятор возвращает ошибку вместо результата.

Сколько знаков после запятой отображается в результате? Два. Во время вычисления калькулятор сохраняет полную точность и округляет только отображаемое число.

Это то же самое, что и формула расстояния? Да. Формула расстояния в координатной геометрии, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], — это теорема Пифагора, применённая к двум точкам на графике. Горизонтальный и вертикальный промежутки между точками образуют два катета прямоугольного треугольника.

Калькулятор гипотенузы - Инструмент теоремы Пифагора