Калькулятор индексов Миллера - Преобразование перехватов кристаллической плоскости в (hkl)

Что такое индексы Миллера?

Индексы Миллера — это набор из трёх целых чисел, записываемых как (h,k,l), которые определяют плоскость в кристаллической решётке. Кристаллическая решётка — это повторяющееся упорядоченное расположение атомов в твёрдом материале. Индексы Миллера точно показывают, какой срез этой решётки представляет плоскость, без необходимости описывать её геометрию словами. Их ввёл британский минералог Уильям Хэллоуз Миллер в 1839 году, и сегодня они остаются стандартным обозначением в кристаллографии.

Этот калькулятор преобразует отрезки, отсекаемые плоскостью на кристаллографических осях x, y и z, в её индексы Миллера (h,k,l).

Формула индексов Миллера

Индексы Миллера получают как обратные величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях. Если плоскость пересекает оси x, y и z на расстояниях a, b и c от начала координат, индексы удовлетворяют соотношению:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Как вычислить индексы Миллера по отсекаемым отрезкам

1. Определите, где плоскость пересекает каждую ось, измеряя расстояния в единицах длины ребра элементарной ячейки. Обозначьте эти отрезки через a, b и c.
2. Возьмите обратную величину каждого отрезка: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Умножьте все три обратные величины на одно и то же число, чтобы каждая стала целым числом.
4. Разделите три целых числа на их наибольший общий делитель, чтобы их больше нельзя было сократить.

Полученные три целых числа — это h, k и l. Если плоскость никогда не пересекает ось, считают, что она пересекает её на бесконечности, а 1, делённое на бесконечность, равно 0, поэтому индекс Миллера для этой оси равен 0.

Пример расчёта

Плоскость пересекает ось x в точке 2, ось y — в точке 3, а ось z — в точке 6.

1. Отсекаемые отрезки: (2, 3, 6)
2. Обратные величины: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Умножение на наименьшее общее кратное знаменателей, 6: (3, 2, 1)
4. Наибольший общий делитель чисел 3, 2 и 1 равен 1, поэтому числа больше нельзя сократить.

Индексы Миллера равны (321).

Другие примеры

• Плоскость, проходящая через (1, ∞, 2) и параллельная оси y, имеет обратные величины (1, 0, 1/2). Умножение на 2 даёт (2, 0, 1). Нулевой индекс 0 показывает, что плоскость никогда не пересекает ось y.
• Плоскость, проходящая через (-1, 2, 3), имеет обратные величины (-1, 1/2, 1/3). Умножение на 6 даёт (-6, 3, 2), что обычно записывают как (6̄32), с чертой над отрицательным индексом.
• Плоскость, проходящая через (1, ∞, ∞), имеет обратные величины (1, 0, 0), что даёт (100). Это одна из шести граней куба.

Особые случаи

Плоскость, параллельная оси, никогда её не пересекает, поэтому соответствующий отсекаемый отрезок считают бесконечным, а индекс Миллера равным 0. Если плоскость пересекает ось с отрицательной стороны начала координат, индекс имеет отрицательное значение; в формальной записи над числом ставят черту, а в обычном тексте используют знак минус. Для плоскости, проходящей через начало координат, индексы Миллера не определены, поскольку каждое семейство параллельных плоскостей в решётке должно быть смещено относительно начала координат, чтобы его можно было индексировать; поэтому начало координат необходимо сместить. Дробные отсекаемые отрезки обрабатывают так же, как целые: берут обратную величину каждого, а затем избавляются от дробей.

Индексы всегда сокращают до наименьших возможных целых чисел. (622) и (311) описывают одно и то же семейство плоскостей, но кристаллографы всегда записывают (311).

Как пользоваться этим калькулятором

Введите отсекаемые плоскостью отрезки на осях x, y и z.

• Используйте положительное число для отрезка на положительной стороне начала координат и отрицательное — для отрицательной стороны.
• Для плоскости, параллельной оси, введите «infinity», «inf» или «∞».
• Нулевой отрезок не принимается, поскольку плоскости, проходящей через начало координат, этим методом нельзя присвоить индексы Миллера.

Калькулятор мгновенно вычисляет индексы и показывает схему плоскости внутри элементарной ячейки.

Применение индексов Миллера

Рентгеновская дифракция. Каждое пятно или каждый пик на рентгенограмме соответствует набору кристаллографических плоскостей с определёнными индексами (hkl). Закон Брэгга связывает межплоскостное расстояние с углом дифракции:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Здесь d_hkl — расстояние между плоскостями (h,k,l), λ — длина волны рентгеновского излучения, а θ — угол дифракции. Сопоставление наблюдаемых пиков со значениями (hkl), называемое индексацией, — один из основных этапов определения неизвестной кристаллической структуры.

Материаловедение. Разные кристаллографические плоскости открывают разные расположения атомов, поэтому у них различаются поверхностная энергия, скорость химических реакций и роль в деформации металла. В металлах с гранецентрированной кубической решёткой, например в алюминии, атомные плоскости легче всего скользят друг относительно друга вдоль плоскостей {111}. Кремниевые пластины для компьютерных чипов обычно разрезают вдоль плоскости (100) или (111), поскольку этот выбор влияет на последующее производство.

Минералогия. Плоские грани природного кристалла, а также направления, по которым минерал легко раскалывается (его спайность), соответствуют определённым плоскостям с низкими индексами. Галит (поваренная соль) раскалывается по плоскостям {100}, а флюорит — по плоскостям {111}.

Индексы Миллера—Браве для гексагональных кристаллов

Гексагональные кристаллы, такие как магний, цинк и титан, обычно описывают системой из четырёх индексов (hkil), а не трёх. Дополнительный индекс i не является независимым: всегда выполняется i = -(h+k). Такая форма облегчает определение того, относятся ли две плоскости к одному семейству, эквивалентному по симметрии; в гексагональной решётке это не всегда очевидно из одной лишь трёхиндексной записи Миллера.

История

Индексы Миллера ввёл Уильям Хэллоуз Миллер в своей книге A Treatise on Crystallography, опубликованной в 1839 году. Ранее уже существовали системы обозначения граней кристаллов, однако метод Миллера, основанный на обратных величинах отсекаемых отрезков, упростил работу с плоскостями, параллельными оси: их отсекаемый отрезок бесконечен, а обратная величина просто равна 0. После того как Макс фон Лауэ обнаружил дифракцию рентгеновских лучей на кристаллах в 1912 году, Уильям Генри Брэгг и Уильям Лоренс Брэгг показали, что индексы Миллера точно описывают плоскости, ответственные за дифракционные пики; за эту работу они разделили 1915 Нобелевскую премию по физике.

Часто задаваемые вопросы

Для чего используют индексы Миллера? Они определяют конкретные плоскости в кристаллической решётке. Их используют для индексации пиков рентгеновской и электронной дифракции, описания плоскостей скольжения в металлах, задания ориентации полупроводниковых пластин, а также обозначения граней и плоскостей спайности минералов.

Что означает ноль в индексе Миллера? Это означает, что плоскость параллельна соответствующей оси и никогда её не пересекает. Например, плоскость (201) параллельна оси y.

Что означают отрицательные индексы Миллера? Они означают, что плоскость пересекает соответствующую ось с отрицательной стороны начала координат. Отрицательный индекс записывают с чертой над числом, например (2̄11), или со знаком минус, например (-2,1,1).

Почему плоскость, проходящая через начало координат, не может иметь индексов Миллера? Индексы Миллера получают как обратную величину отсекаемого отрезка. Плоскость, проходящая через начало координат, пересекает каждую ось в точке 0, а 1/0 не определено, поэтому метод не может присвоить ей индексы, пока плоскость не будет смещена.

В чём разница между индексами Миллера и Миллера—Браве? Индексы Миллера (hkl) используют три числа и подходят для любой кристаллической системы. Индексы Миллера—Браве (hkil) добавляют четвёртый зависимый индекс и применяются главным образом к гексагональным кристаллам, где с их помощью легче распознавать плоскости, эквивалентные по симметрии.

Как межплоскостное расстояние связано с индексами Миллера? В кубическом кристалле с длиной ребра a расстояние между соседними плоскостями (hkl) равно d = a / √(h² + k² + l²). Чем выше индексы, тем меньше межплоскостное расстояние. Для других кристаллических систем используют похожую, но более сложную формулу, учитывающую неодинаковую длину осей и углы, отличные от 90°.

Источники

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Кембридж: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4-е изд.). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3-е изд.). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.