Калькулятор гамма-распределения - Инструмент статистического анализа

Что такое калькулятор гамма-распределения?

Калькулятор гамма-распределения по двум входным данным — параметру формы и параметру масштаба — вычисляет среднее значение, дисперсию, асимметрию, эксцесс и моду гамма-распределения. Он также отображает функцию плотности вероятности распределения в виде кривой.

Что такое гамма-распределение?

Гамма-распределение — это непрерывное распределение вероятностей для положительных значений. Оно определяется двумя параметрами: параметром формы, обычно обозначаемым как k, и параметром масштаба, обычно обозначаемым как θ (тета). Оба параметра должны быть больше нуля. Гамма-распределение используют для моделирования величин, которые не могут быть отрицательными, например общего количества осадков, размеров страховых выплат и времени до отказа детали машины.

Формула гамма-распределения

Функция плотности вероятности (PDF) гамма-распределения имеет вид:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Здесь x — значение, в котором измеряется плотность, а Γ(k) — гамма-функция, обобщающая факториал на нецелые числа. Формула применима только при x > 0; во всех остальных случаях плотность равна нулю.

Как вычисляются характеристики гамма-распределения

По параметру формы k и параметру масштаба θ калькулятор вычисляет:

• Среднее значение: k × θ
• Дисперсия: k × θ²
• Асимметрия: 2 / √k
• Эксцесс: 3 + 6 / k
• Мода: (k − 1) × θ при k ≥ 1, иначе 0

Асимметрия показывает, насколько кривая асимметрична. При меньшем k распределение имеет более длинный правый хвост. Эксцесс показывает, насколько тяжёлыми являются хвосты по сравнению с нормальным распределением, для которого эксцесс равен 3. Мода — это значение x, при котором кривая достигает максимума. Когда k меньше 1, плотность продолжает расти при приближении x к 0, поэтому внутреннего максимума нет и калькулятор сообщает, что мода равна 0.

Пример расчёта

Пусть параметр формы k = 2, а параметр масштаба θ = 3.

• Среднее значение = 2 × 3 = 6
• Дисперсия = 2 × 3² = 18
• Асимметрия = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Эксцесс = 3 + 6 / 2 = 6
• Мода = (2 − 1) × 3 = 3

В точке моды, x = 3, плотность равна f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. После ввода обоих параметров калькулятор автоматически строит полную кривую.

Как пользоваться калькулятором гамма-распределения

1. Введите параметр формы (k), положительное число.
2. Введите параметр масштаба (θ), положительное число.
3. Среднее значение, дисперсия, асимметрия, эксцесс и мода появляются, как только в обоих полях указаны допустимые числа. Отдельной кнопки расчёта нет: результаты обновляются по мере ввода чисел.
4. На графике под результатами показана функция плотности вероятности. Она строится от значения, немного превышающего x = 0, до большей из двух величин: трёх средних значений или пяти параметров масштаба.

Оба параметра должны быть конечными числами, большими чем 0, и ни один из них не может превышать 1000. Значения, примерно меньшие 2 × 10⁻¹⁶, также отклоняются, поскольку при таком размере сводные показатели перестают быть информативными. Значение за пределами допустимого диапазона вызывает сообщение об ошибке вместо результатов.

Где используется гамма-распределение

Гамма-распределение моделирует многие реальные величины, которые всегда положительны и часто имеют правостороннюю асимметрию:

• Страхование: размеры заявленных страховых убытков и суммы выплат
• Метеорология: общее количество осадков за фиксированный период
• Инженерное дело: время до отказа компонента
• Теория массового обслуживания: времена ожидания, складывающиеся из нескольких экспоненциальных этапов
• Биология: уровни экспрессии генов и данные о численности видов

Связанные распределения

Два известных распределения являются частными случаями гамма-распределения:

• Экспоненциальное распределение: гамма-распределение с k = 1
• Распределение хи-квадрат: гамма-распределение с k = n/2 и θ = 2, где n — число степеней свободы

Распределения Вейбулла и логнормальное распределение часто используют как альтернативы для моделирования положительных данных с асимметрией.

Часто задаваемые вопросы

Для чего используется гамма-распределение? Оно моделирует непрерывные положительные величины, такие как времена ожидания, объёмы осадков и страховые требования, особенно когда данные смещены в сторону больших значений.

Как найти среднее значение гамма-распределения? Умножьте параметр формы на параметр масштаба: среднее значение = k × θ. При k = 2 и θ = 3 среднее значение равно 6.

В чём разница между параметрами формы и масштаба? Параметр формы (k) определяет вид кривой, включая её асимметрию. Параметр масштаба (θ) растягивает или сжимает кривую вдоль оси x, не изменяя её основную форму.

Как гамма-распределение связано с экспоненциальным распределением? Экспоненциальное распределение — это гамма-распределение с параметром формы k = 1.

Может ли гамма-распределение принимать отрицательные значения? Нет. Оно определено только для x > 0. Для данных, которые могут быть отрицательными, требуется другое распределение, например нормальное.

Вычисляет ли этот калькулятор функцию распределения? Нет. Он вычисляет среднее значение, дисперсию, асимметрию, эксцесс и моду, а также строит график функции плотности вероятности. Значения кумулятивной вероятности он не выводит.

Источники

1. "Gamma distribution." Википедия, Фонд Викимедиа. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S. и Balakrishnan, N. (1994). Непрерывные одномерные распределения, том 1. John Wiley & Sons.