Калькулятор вертикальных кривых - Инструмент для проектирования автомобильных дорог

Что такое калькулятор вертикальных кривых?

Калькулятор вертикальных кривых определяет отметки, значение K и ключевые точки вертикальной кривой — параболической кривой, которую инженеры используют для плавного сопряжения двух продольных уклонов дороги. Вместо резкого угла в месте встречи дороги, где уклон внезапно меняется, вертикальная кривая объединяет два уклона в одну непрерывную кривую. Это делает движение более плавным, обеспечивает водителям достаточную видимость для безопасной остановки и способствует правильному отводу воды.

Инженеры используют вертикальные кривые при проектировании автомагистралей, улиц, железных дорог, взлётно-посадочных полос и спланированных площадок, например парковок. Везде, где дороге или пути требуется изменить уклон, вертикальная кривая выполняет этот переход.

Выпуклые и вогнутые кривые

Вертикальная кривая бывает одного из двух типов в зависимости от соотношения уклонов до и после кривой. Уклон записывают в процентах: при уклоне 3 % подъём составляет 3 метра на каждые 100 метров пути.

• Выпуклая кривая: начальный уклон больше конечного (g₁ > g₂). Дорога поднимается, проходит через высшую точку, а затем опускается — как при подъёме на холм.
• Вогнутая кривая: начальный уклон меньше конечного (g₁ < g₂). Дорога опускается, проходит через низшую точку, а затем поднимается — как на дне впадины.
• Если два уклона равны, кривая не нужна. Дорога уже представляет собой прямую линию.

Выпуклые кривые особенно важны для обеспечения расчётной видимости для остановки: водитель должен видеть участок дороги впереди на достаточном расстоянии, чтобы остановиться перед препятствием. Вогнутые кривые особенно важны для видимости в свете фар ночью и для водоотвода, поскольку вода скапливается в низшей точке.

Основные термины

• PVI (точка вертикального пересечения): точка, в которой пересеклись бы две прямые линии уклонов, если бы кривой не было.
• PVC (точка начала вертикальной кривой): место начала кривой.
• PVT (точка конца вертикальной кривой): место окончания кривой.
• Значение K: длина кривой, делённая на изменение уклона. Оно характеризует плавность кривой.
• Пикетаж: измерение расстояния вдоль оси дороги, используемое вместо обычных координат. В этом калькуляторе пикетаж и отметка вводятся в метрах.

Обычно кривая симметрична: PVC находится на расстоянии, равном половине длины кривой, перед PVI, а PVT — на таком же расстоянии после него.

Формула вертикальной кривой

Отметка любой точки кривой определяется квадратичным (параболическим) уравнением:

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = отметка на расстоянии $x$ от PVC
• $y_{PVC}$ = отметка в PVC
• $g_1$ = начальный уклон в виде десятичной дроби (уклон 3 % равен 0,03)
• $A$ = алгебраическая разность уклонов, $g_2 - g_1$ (в десятичной форме)
• $L$ = длина кривой

Формула значения K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

Здесь $g_1$ и $g_2$ выражены в процентах. Чем больше K, тем более пологой и плавной является кривая. Руководства по проектированию, например документ AASHTO «Политика геометрического проектирования автомагистралей и улиц», устанавливают минимальные значения K для автомагистралей с учётом расчётной скорости и типа кривой — выпуклой или вогнутой.

Если $g_1$ равно $g_2$, изменение уклона равно нулю, и K не определено. В этом случае калькулятор показывает вместо значения K тире. Уклоны, различающиеся менее чем на 0,0001 %, считаются равными.

PVC и PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

(Здесь $g_1$ и $g_2$ выражены в процентах; деление на 200 переводит процент в десятичную дробь и учитывает его действие на половине длины кривой.)

Высшая или низшая точка

Высшая точка (на выпуклой кривой) или низшая точка (на вогнутой кривой) находится на кривой, если два уклона имеют разные знаки или один из уклонов равен нулю. Расстояние от PVC до этой точки равно:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Прибавьте $x$ к пикетажу PVC, чтобы получить пикетаж высшей или низшей точки, затем используйте приведённую выше формулу отметки, чтобы определить её отметку. Если оба уклона имеют одинаковый знак, эта точка находится за пределами диапазона от PVC до PVT, поэтому дорога на всей кривой продолжает подниматься или опускаться, а калькулятор сообщает об отсутствии высшей или низшей точки. Если один уклон равен нулю, точка находится точно в PVC или PVT.

Как рассчитать вертикальную кривую

1. Введите начальный и конечный уклоны в процентах. Для подъёма используйте положительное число, а для спуска — отрицательное.
2. Введите длину кривой в метрах.
3. Введите пикетаж PVI и отметку PVI, оба значения — в метрах.
4. Определите тип кривой (выпуклая, вогнутая или отсутствует), значение K, а также пикетаж и отметки PVC и PVT.
5. Если уклоны имеют разные знаки или один из них равен нулю, калькулятор также показывает высшую или низшую точку.
6. Чтобы найти отметку любой другой точки, введите запрашиваемый пикетаж. Если он находится за пределами кривой, калькулятор сообщает об этом, а не выдаёт число, поскольку формула применима только между PVC и PVT.

Пример расчёта: выпуклая кривая

Дорога поднимается с уклоном 3 %, затем опускается с уклоном -2 %. PVI находится на пикетаже 1000,00 м, его отметка — 150,00 м. Длина кривой составляет 400 м.

Значение K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: пикетаж $= 1000 - 400/2 = 800.00$ м; отметка $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ м

PVT: пикетаж $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ м; отметка $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ м

Высшая точка: поскольку 3 и −2 имеют разные знаки, высшая точка существует. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ м от PVC, поэтому её пикетаж равен $800 + 240 = 1040.00$ м. Её отметка равна $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ м.

Пример расчёта: вогнутая кривая

Дорога опускается с уклоном -3 %, затем поднимается с уклоном 2 %. PVI находится на пикетаже 500,00 м, его отметка — 85,00 м. Длина кривой составляет 200 м.

Значение K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: пикетаж $= 400.00$ м; отметка $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ м

PVT: пикетаж $= 600.00$ м; отметка $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ м

Низшая точка: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ м от PVC, поэтому её пикетаж равен $400 + 120 = 520.00$ м. Её отметка равна $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ м.

В этой низшей точке скапливается поверхностная вода, поэтому именно здесь проектировщик размещает водоприёмный колодец, а не в PVI.

Часто задаваемые вопросы

Что такое значение K при проектировании вертикальной кривой? Значение K — это длина кривой, делённая на абсолютную разность двух уклонов. Оно показывает, сколько метров кривой приходится на изменение уклона на 1 %. Чем больше значение K, тем более пологой и плавной является кривая.

Как определить, нужна ли выпуклая или вогнутая кривая? Сравните два уклона. Если начальный уклон больше конечного, кривая выпуклая. Если начальный уклон меньше конечного, кривая вогнутая. При равных уклонах кривая вообще не нужна.

Что происходит, если начальный и конечный уклоны равны? Вертикальная кривая не нужна, поскольку дорога уже прямая. Значение K не определено, так как для его расчёта пришлось бы делить на изменение уклона, равное нулю, поэтому калькулятор показывает вместо числа тире.

Как найти высшую или низшую точку кривой? Она существует, если два уклона имеют разные знаки или один из них равен нулю. Расстояние от PVC до неё равно $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Прибавьте это значение к пикетажу PVC, чтобы определить её положение, затем используйте формулу отметки кривой для расчёта высоты. Если уклоны имеют одинаковый знак, эта точка находится за пределами кривой, поэтому её нет.

Почему низшая точка вогнутой кривой важна для водоотвода? Вода, стекающая с обеих сторон вогнутой кривой, скапливается в низшей точке. Если водоприёмный колодец разместить в PVI, а не в фактической низшей точке, на дороге может образоваться застой воды, поскольку эти две точки редко совпадают.

Может ли запрашиваемый пикетаж находиться за пределами кривой? Да. Формула отметки применима только между PVC и PVT. Для пикетажа за пределами этого диапазона отметка на кривой не определена, поэтому калькулятор сообщает, что он находится за пределами кривой.