Калькулятор калибровочной кривой | Линейная регрессия для лабораторного анализа

Что такое калькулятор калибровочной кривой

Калькулятор калибровочной кривой преобразует показания прибора в концентрации. Для этого он проводит прямую через точки данных для стандартных образцов с известной концентрацией, а затем использует эту прямую для преобразования нового показания в концентрацию. Калибровочные кривые применяются в химии, биологии и экологическом анализе, когда прибор сообщает сигнал, например оптическую плотность или площадь пика, а не концентрацию напрямую.

Калькулятор на этой странице строит прямую с помощью линейной регрессии, то есть метода наименьших квадратов. Он выводит наклон, отрезок, отсекаемый на оси ординат, и R² — показатель того, насколько точно точки соответствуют прямой. Затем он может оценить концентрацию неизвестного образца по измеренному отклику.

Формула калибровочной кривой

Калибровочная кривая предполагает линейную зависимость между концентрацией и откликом прибора:

$y = mx + b$

• $y$ — отклик (то, что измеряет прибор)
• $x$ — концентрация
• $m$ — наклон
• $b$ — отрезок, отсекаемый на оси ординат

Как рассчитать наклон и отрезок, отсекаемый на оси ординат

Для набора из $n$ точек наклон и отрезок, которые наилучшим образом соответствуют данным (в смысле метода наименьших квадратов), имеют вид:

$m = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

$b = \bar{y} - m\bar{x}$

Здесь $\bar{x}$ и $\bar{y}$ — средние концентрация и отклик для всех точек.

Формула R²

R², коэффициент детерминации, показывает, насколько хорошо прямая соответствует данным:

$R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}$

$\hat{y}_i$ — отклик, который прямая предсказывает для каждого $x_i$. Значение R² находится в диапазоне от 0 до 1. Значение 1 означает, что каждая точка точно лежит на прямой.

Формула для расчёта неизвестной концентрации

После определения наклона и отрезка измеренный отклик $y$ можно преобразовать обратно в концентрацию:

$x = \frac{y - b}{m}$

Если в результате расчёта получается отрицательное число, калькулятор выводит концентрацию как 0, поскольку отрицательная концентрация физически бессмысленна. Он также выводит 0, если рассчитанный наклон равен 0, поскольку горизонтальная прямая не содержит информации о концентрации.

Пример расчёта

Предположим, что четыре стандартных образца дали следующие результаты:

Средняя концентрация равна 3, а средний отклик — 0,20.

Наклон:

$m = \frac{(-3)(-0.15) + (-1)(-0.05) + (1)(0.04) + (3)(0.16)}{(-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2} = \frac{1.02}{20} = 0.0510$

Отрезок, отсекаемый на оси ординат:

$b = 0.20 - (0.0510)(3) = 0.0470$

R²: сравнение предсказанных откликов с фактическими даёт R² = 0,9966.

Полученная прямая имеет вид:

$y = 0.0510x + 0.0470 \quad (R^2 = 0.9966)$

Теперь предположим, что неизвестный образец даёт отклик 0,20. Его концентрация равна:

$x = \frac{0.20 - 0.0470}{0.0510} = 3.0000$

Как пользоваться этим калькулятором

1. Введите известную концентрацию каждого стандартного образца и его измеренный отклик в виде пары чисел. Изначально калькулятор показывает две строки.
2. Выберите «Добавить точку данных», чтобы ввести дополнительные стандартные образцы, или «Удалить точку данных» рядом со строкой, чтобы удалить её. Требуются как минимум две точки.
3. После заполнения как минимум двух точек калькулятор показывает уравнение регрессии, значение R² и график точек с построенной прямой. Для отображения наклон, отрезок, отсекаемый на оси ординат, R² и концентрация округляются до четырёх знаков после запятой.
4. Введите измеренный отклик в разделе «Рассчитать неизвестную концентрацию», чтобы увидеть соответствующую концентрацию. Значение обновляется автоматически по мере ввода; отдельная кнопка не требуется.
5. Выберите «Сбросить», чтобы удалить все введённые точки и значение отклика и начать заново.

Интерпретация наклона, отрезка и R²

Наклон показывает, насколько изменяется отклик на единицу концентрации. Больший наклон означает, что метод сильнее реагирует на небольшие изменения концентрации.

Отрезок, отсекаемый на оси ординат, — это отклик, предсказанный при нулевой концентрации. Он отражает фоновый сигнал, например сигнал холостой пробы или базовый уровень прибора. Ненулевой отрезок — обычное явление и не обязательно указывает на проблему, но большой или нестабильный отрезок между калибровками может свидетельствовать о загрязнении или неисправности прибора.

R² показывает, насколько точно точки соответствуют прямой. Значения выше 0,99 типичны для линейного метода с хорошими характеристиками. Более низкое R² может быть связано с ошибкой пипетирования, деградацией стандартного образца или диапазоном концентраций, в котором отклик уже не является линейным.

Где применяются калибровочные кривые

Калибровочные кривые обычно применяются там, где необработанный сигнал прибора необходимо преобразовать в концентрацию:

• Спектрофотометрия — измеряется оптическая плотность света, которая затем преобразуется в концентрацию, например при определении содержания белка или пигмента.
• Хроматография (ВЭЖХ, ГХ) — площадь или высота пика на хроматограмме преобразуется в концентрацию; это распространено при анализе лекарственных средств и объектов окружающей среды.
• ИФА и другие иммуноанализы — интенсивность окраски или флуоресценции, измеренная планшетным ридером, преобразуется в концентрацию антигена или антитела.
• кПЦР — значения порогового цикла для последовательных разведений известного образца формируют кривую, используемую для оценки количества генетического материала в неизвестном образце.

Когда прямая не соответствует данным

Некоторые методы не являются линейными во всём диапазоне. К распространённым решениям относятся ограничение калибровки более узким линейным диапазоном, логарифмическое преобразование перед построением прямой, использование полиномиальной регрессии (кривой) или взвешенной регрессии, если погрешность измерения увеличивается или уменьшается с концентрацией. Этот калькулятор строит только прямую; если точки явно образуют кривую, результаты будут менее надёжными и может потребоваться другая модель.

Часто задаваемые вопросы

Что такое калибровочная кривая?

Калибровочная кривая — это прямая, построенная по показаниям прибора для образцов с известной концентрацией. Она используется для преобразования нового показания образца с неизвестной концентрацией в значение концентрации.

Сколько точек данных требуется для калибровочной кривой?

Для построения прямой калькулятору требуются как минимум две точки, но по двум точкам нельзя определить, действительно ли зависимость является прямой. В большинстве лабораторий используют от пяти до восьми стандартных образцов, охватывающих ожидаемый диапазон концентраций неизвестных образцов.

Что означает R² в калибровочной кривой?

R² измеряет, насколько точно точки данных соответствуют построенной прямой, по шкале от 0 до 1. Значение 1 означает, что каждая точка точно лежит на прямой. Значения выше 0,99 обычно считают убедительным свидетельством линейной зависимости.

Можно ли оценивать концентрации за пределами диапазона стандартных образцов?

Оценка концентрации ниже самой низкой или выше самой высокой концентрации стандартного образца ненадёжна, поскольку нет данных, подтверждающих сохранение линейности в этой области. Лучше разбавить образец, показавший слишком высокое значение, или концентрировать образец со слишком низким значением, а затем повторить измерение в пределах калибровочного диапазона.

Почему рассчитанная концентрация иногда отображается как 0?

Если измеренный отклик ниже рассчитанного отрезка при положительном наклоне, формула $x = (y - b) / m$ даёт отрицательное число. В этом случае калькулятор отображает 0, поскольку реальная концентрация не может быть отрицательной. Он также отображает 0, когда наклон равен 0, что происходит, если каждый стандартный образец имеет одинаковый отклик или одинаковую концентрацию.

В чём разница между наклоном и отрезком, отсекаемым на оси ординат?

Наклон описывает чувствительность отклика к изменению концентрации. Отрезок, отсекаемый на оси ординат, — это отклик, предсказанный при нулевой концентрации; часто он отражает фоновый сигнал, а не сам аналит.