Решатель уравнения Юнга-Лапласа: Расчет разности давления на кривых интерфейсах

Введение

Уравнение Юнга-Лапласа — это фундаментальная формула в механике жидкости, которая описывает разность давления на кривом интерфейсе между двумя жидкостями, такими как интерфейс жидкость-газ или жидкость-жидкость. Эта разность давления возникает из-за поверхностного натяжения и кривизны интерфейса. Наш Решатель уравнения Юнга-Лапласа предоставляет простой и точный способ расчета этой разности давления путем ввода поверхностного натяжения и основных радиусов кривизны. Независимо от того, изучаете ли вы капли, пузыри, капиллярное действие или другие поверхностные явления, этот инструмент предлагает быстрые решения для сложных задач поверхностного натяжения.

Уравнение, названное в честь Томаса Юнга и Пьера-Симона Лапласа, которые разработали его в начале 19 века, является основополагающим в многочисленных научных и инженерных приложениях, от микрофлюидики и материаловедения до биологических систем и промышленных процессов. Понимая взаимосвязь между поверхностным натяжением, кривизной и разностью давления, исследователи и инженеры могут лучше проектировать и анализировать системы, связанные с жидкостными интерфейсами.

Объяснение уравнения Юнга-Лапласа

Формула

Уравнение Юнга-Лапласа связывает разность давления на жидкостном интерфейсе с поверхностным натяжением и основными радиусами кривизны:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

Где:

• $\Delta P$ — разность давления на интерфейсе (Па)
• $\gamma$ — поверхностное натяжение (Н/м)
• $R_1$ и $R_2$ — основные радиусы кривизны (м)

Для сферического интерфейса (например, капли или пузыря), где $R_1 = R_2 = R$, уравнение упрощается до:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Объяснение переменных

1. Поверхностное натяжение ($\gamma$):

   • Измеряется в ньютонах на метр (Н/м) или эквивалентно в джоулях на квадратный метр (Дж/м²)
   • Представляет собой энергию, необходимую для увеличения площади поверхности жидкости на единицу
   • Варируется в зависимости от температуры и конкретных жидкостей
   • Общие значения:
     • Вода при 20°C: 0.072 Н/м
     • Этанол при 20°C: 0.022 Н/м
     • Ртуть при 20°C: 0.485 Н/м

2. Основные радиусы кривизны ($R_1$ и $R_2$):

   • Измеряются в метрах (м)
   • Представляют собой радиусы двух перпендикулярных кругов, которые лучше всего подходят к кривизне в точке на поверхности
   • Положительные значения указывают на центры кривизны на стороне, к которой направлена нормаль
   • Отрицательные значения указывают на центры кривизны на противоположной стороне

3. Разность давления ($\Delta P$):

   • Измеряется в паскалях (Па)
   • Представляет собой разность давления между вогнутой и выпуклой сторонами интерфейса
   • По соглашению, $\Delta P = P_{inside} - P_{outside}$ для закрытых поверхностей, таких как капли или пузыри

Знак соглашения

Знак соглашения для уравнения Юнга-Лапласа важен:

• Для выпуклой поверхности (например, снаружи капли) радиусы положительные
• Для вогнутой поверхности (например, внутри пузыря) радиусы отрицательные
• Давление всегда выше с вогнутой стороны интерфейса

Краевые случаи и специальные соображения

1. Плоская поверхность: Когда любой радиус стремится к бесконечности, его вклад в разность давления стремится к нулю. Для полностью плоской поверхности ($R_1 = R_2 = \infty$), $\Delta P = 0$.

2. Цилиндрическая поверхность: Для цилиндрической поверхности (например, жидкости в капиллярной трубке) один радиус конечен ($R_1$), в то время как другой бесконечен ($R_2 = \infty$), что дает $\Delta P = \gamma/R_1$.

3. Очень маленькие радиусы: На микроскопических масштабах (например, нанокапли) дополнительные эффекты, такие как линейное натяжение, могут стать значительными, и классическое уравнение Юнга-Лапласа может потребовать модификации.

4. Температурные эффекты: Поверхностное натяжение, как правило, уменьшается с увеличением температуры, что влияет на разность давления. Вблизи критической точки поверхностное натяжение стремится к нулю.

5. ПАА: Наличие ПАА снижает поверхностное натяжение и, следовательно, разность давления на интерфейсе.

Как использовать решатель уравнения Юнга-Лапласа

Наш калькулятор предоставляет простой способ определения разности давления на кривых жидкостных интерфейсах. Следуйте этим шагам, чтобы получить точные результаты:

Пошаговое руководство

1. Введите поверхностное натяжение ($\gamma$):

   • Введите значение поверхностного натяжения в Н/м
   • Значение по умолчанию — 0.072 Н/м (вода при 25°C)
   • Для других жидкостей обращайтесь к стандартным таблицам или экспериментальным данным

2. Введите первый основной радиус кривизны ($R_1$):

   • Введите первый радиус в метрах
   • Для сферических интерфейсов это будет радиус сферы
   • Для цилиндрических интерфейсов это будет радиус цилиндра

3. Введите второй основной радиус кривизны ($R_2$):

   • Введите второй радиус в метрах
   • Для сферических интерфейсов это будет то же самое, что и $R_1$
   • Для цилиндрических интерфейсов используйте очень большое значение или бесконечность

4. Посмотрите результат:

   • Калькулятор автоматически вычисляет разность давления
   • Результаты отображаются в паскалях (Па)
   • Визуализация обновляется в соответствии с вашими вводами

5. Скопируйте или поделитесь результатами:

   • Используйте кнопку "Скопировать результат", чтобы скопировать вычисленное значение в буфер обмена
   • Полезно для включения в отчеты, статьи или дальнейшие расчеты

Советы для точных расчетов

• Используйте согласованные единицы: Убедитесь, что все измерения находятся в единицах СИ (Н/м для поверхностного натяжения, м для радиусов)
• Учитывайте температуру: Поверхностное натяжение варьируется с температурой, поэтому используйте значения, соответствующие вашим условиям
• Проверьте свои радиусы: Помните, что оба радиуса должны быть положительными для выпуклых поверхностей и отрицательными для вогнутых
• Для сферических интерфейсов: Установите оба радиуса на одно и то же значение
• Для цилиндрических интерфейсов: Установите один радиус на радиус цилиндра, а другой на очень большое значение

Примеры применения уравнения Юнга-Лапласа

Уравнение Юнга-Лапласа имеет множество приложений в различных научных и инженерных областях:

1. Анализ капель и пузырей

Уравнение является основополагающим для понимания поведения капель и пузырей. Оно объясняет, почему меньшие капли имеют более высокое внутреннее давление, что приводит к процессам, таким как:

• Остуальдово созревание: Меньшие капли в эмульсии уменьшаются, в то время как большие растут из-за разности давления
• Стабильность пузырей: Прогнозирование стабильности пены и пузырьковых систем
• Печать струйным методом: Контроль формирования и нанесения капель в точной печати

2. Капиллярное действие

Уравнение Юнга-Лапласа помогает объяснить и количественно оценить капиллярный подъем или депрессию:

• Впитывание в пористых материалах: Прогнозирование транспортировки жидкости в текстиле, бумаге и почве
• Микрофлюидные устройства: Проектирование каналов и соединений для точного контроля жидкости
• Физиология растений: Понимание транспортировки воды в растительных тканях

3. Биомедицинские приложения

В медицине и биологии уравнение используется для:

• Функции легочного сурфактанта: Анализ поверхностного натяжения альвеол и механики дыхания
• Механика клеточной мембраны: Изучение формы и деформации клеток
• Системы доставки лекарств: Проектирование микрокапсул и везикул для контролируемого высвобождения

4. Материаловедение

Применения в разработке материалов включают:

• Измерения угла смачивания: Определение свойств поверхности и смачиваемости
• Стабильность тонких пленок: Прогнозирование разрывов и формирования узоров в жидких пленках
• Нанопузырьковая технология: Разработка приложений для прикрепленных к поверхности нанопузырьков

5. Промышленные процессы

Многие промышленные приложения зависят от понимания разностей давления на интерфейсах:

• Улучшенное извлечение нефти: Оптимизация формул ПАА для извлечения нефти
• Производство пены: Контроль распределения размеров пузырьков в пенах
• Технологии покрытия: Обеспечение равномерного нанесения жидкой пленки

Практический пример: Расчет давления Лапласа в капле воды

Рассмотрим сферическую каплю воды с радиусом 1 мм при 20°C:

• Поверхностное натяжение воды: $\gamma = 0.072$ Н/м
• Радиус: $R = 0.001$ м
• Используя упрощенное уравнение для сферических интерфейсов: $\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$
• $\Delta P = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144$ Па

Это означает, что давление внутри капли на 144 Па выше, чем давление окружающего воздуха.

Альтернативы уравнению Юнга-Лапласа

Хотя уравнение Юнга-Лапласа является основополагающим, существуют альтернативные подходы и расширения для конкретных ситуаций:

1. Уравнение Кельвина: Связывает парциальное давление над кривой жидкой поверхностью с давлением над плоской поверхностью, полезно для изучения конденсации и испарения.

2. Эффект Гиббса-Томсона: Описывает, как размер частицы влияет на растворимость, температуру плавления и другие термодинамические свойства.

3. Модель Хельфриха: Расширяет анализ на эластичные мембраны, такие как биологические мембраны, включая изгибную жесткость.

4. Численные симуляции: Для сложных геометрий вычислительные методы, такие как метод объема жидкости (VOF) или методы уровня, могут быть более подходящими, чем аналитические решения.

5. Молекулярная динамика: На очень малых масштабах (нанометры) континуумные предположения начинают разрушаться, и молекулярно-динамические симуляции обеспечивают более точные результаты.

История уравнения Юнга-Лапласа

Разработка уравнения Юнга-Лапласа представляет собой значительный этап в понимании поверхностных явлений и капиллярности.

Ранние наблюдения и теории

Изучение капиллярного действия восходит к древним временам, но систематическое научное исследование началось в эпоху Ренессанса:

• Леонардо да Винчи (15 век): Провел детальные наблюдения за капиллярным подъемом в тонких трубках
• Фрэнсис Хоксби (начало 18 века): Провел количественные эксперименты по капиллярному подъему
• Джеймс Юрин (1718): Сформулировал "закон Юрина", связывающий высоту капиллярного подъема с диаметром трубки

Разработка уравнения

Уравнение, которое мы знаем сегодня, возникло из работ двух ученых, работающих независимо:

• Томас Юнг (1805): Опубликовал "Эссе о когезии жидкостей" в Философских Транзакциях Королевского общества, введя концепцию поверхностного натяжения и его связь с разностями давления на кривых интерфейсах.

• Пьер-Симон Лаплас (1806): В своем монументальном труде "Механика небесная" Лаплас разработал математическую основу для капиллярного действия, выведя уравнение, связывающее разность давления с кривизной поверхности.

Сочетание физических идей Юнга и математической строгости Лапласа привело к тому, что мы теперь называем уравнением Юнга-Лапласа.

Уточнения и расширения

В последующие века уравнение было уточнено и расширено:

• Карл Фридрих Гаусс (1830): Предложил вариационный подход к капиллярности, показывая, что жидкие поверхности принимают формы, которые минимизируют общую энергию
• Жозеф Плато (середина 19 века): Провел обширные эксперименты с мыльными пленками, подтверждая предсказания уравнения Юнга-Лапласа
• Лорд Рейли (конец 19 века): Применил уравнение для изучения стабильности жидких струй и формирования капель
• Современная эра (20-21 века): Разработка вычислительных методов для решения уравнения для сложных геометрий и включение дополнительных эффектов, таких как гравитация, электрические поля и ПАА

Сегодня уравнение Юнга-Лапласа остается краеугольным камнем межфазной науки, постоянно находя новые применения по мере того, как технологии продвигаются в микро- и наноразмеры.

Примеры кода

Вот реализации уравнения Юнга-Лапласа на различных языках программирования:

1' Excel формула для уравнения Юнга-Лапласа (сферический интерфейс)
2=2*B2/C2
3
4' Где:
5' B2 содержит поверхностное натяжение в Н/м
6' C2 содержит радиус в м
7' Результат в Па
8
9' Для общего случая с двумя основными радиусами:
10=B2*(1/C2+1/D2)
11
12' Где:
13' B2 содержит поверхностное натяжение в Н/м
14' C2 содержит первый радиус в м
15' D2 содержит второй радиус в м
16

1def young_laplace_pressure(surface_tension, radius1, radius2):
2    """
3    Рассчитать разность давления с использованием уравнения Юнга-Лапласа.
4    
5    Параметры:
6    surface_tension (float): Поверхностное натяжение в Н/м
7    radius1 (float): Первый основной радиус кривизны в м
8    radius2 (float): Второй основной радиус кривизны в м
9    
10    Возвращает:
11    float: Разность давления в Па
12    """
13    if radius1 == 0 or radius2 == 0:
14        raise ValueError("Радиусы должны быть ненулевыми")
15    
16    return surface_tension * (1/radius1 + 1/radius2)
17
18# Пример для сферической капли воды
19surface_tension_water = 0.072  # Н/м при 20°C
20droplet_radius = 0.001  # 1 мм в метрах
21
22# Для сферы оба радиуса равны
23pressure_diff = young_laplace_pressure(surface_tension_water, droplet_radius, droplet_radius)
24print(f"Разность давления: {pressure_diff:.2f} Па")
25

1/**
2 * Рассчитать разность давления с использованием уравнения Юнга-Лапласа
3 * @param {number} surfaceTension - Поверхностное натяжение в Н/м
4 * @param {number} radius1 - Первый основной радиус кривизны в м
5 * @param {number} radius2 - Второй основной радиус кривизны в м
6 * @returns {number} Разность давления в Па
7 */
8function youngLaplacePressure(surfaceTension, radius1, radius2) {
9  if (radius1 === 0 || radius2 === 0) {
10    throw new Error("Радиусы должны быть ненулевыми");
11  }
12  
13  return surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
14}
15
16// Пример для интерфейса вода-воздух в капиллярной трубке
17const surfaceTensionWater = 0.072; // Н/м при 20°C
18const tubeRadius = 0.0005; // 0.5 мм в метрах
19// Для цилиндрической поверхности один радиус — радиус трубки, другой — бесконечность
20const infiniteRadius = Number.MAX_VALUE;
21
22const pressureDiff = youngLaplacePressure(surfaceTensionWater, tubeRadius, infiniteRadius);
23console.log(`Разность давления: ${pressureDiff.toFixed(2)} Па`);
24

1public class YoungLaplaceCalculator {
2    /**
3     * Рассчитать разность давления с использованием уравнения Юнга-Лапласа
4     * 
5     * @param surfaceTension Поверхностное натяжение в Н/м
6     * @param radius1 Первый основной радиус кривизны в м
7     * @param radius2 Второй основной радиус кривизны в м
8     * @return Разность давления в Па
9     */
10    public static double calculatePressureDifference(double surfaceTension, double radius1, double radius2) {
11        if (radius1 == 0 || radius2 == 0) {
12            throw new IllegalArgumentException("Радиусы должны быть ненулевыми");
13        }
14        
15        return surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
16    }
17    
18    public static void main(String[] args) {
19        // Пример для мыльного пузыря
20        double surfaceTensionSoap = 0.025; // Н/м
21        double bubbleRadius = 0.01; // 1 см в метрах
22        
23        // Для сферического пузыря оба радиуса равны
24        // Примечание: Для мыльного пузыря есть два интерфейса (внутренний и внешний),
25        // поэтому мы умножаем на 2
26        double pressureDiff = 2 * calculatePressureDifference(surfaceTensionSoap, bubbleRadius, bubbleRadius);
27        
28        System.out.printf("Разность давления на мыльном пузыре: %.2f Па%n", pressureDiff);
29    }
30}
31

1function deltaP = youngLaplacePressure(surfaceTension, radius1, radius2)
2    % Рассчитать разность давления с использованием уравнения Юнга-Лапласа
3    %
4    % Входные данные:
5    %   surfaceTension - Поверхностное натяжение в Н/м
6    %   radius1 - Первый основной радиус кривизны в м
7    %   radius2 - Второй основной радиус кривизны в м
8    %
9    % Выходные данные:
10    %   deltaP - Разность давления в Па
11    
12    if radius1 == 0 || radius2 == 0
13        error('Радиусы должны быть ненулевыми');
14    end
15    
16    deltaP = surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
17end
18
19% Пример скрипта для расчета и построения графика давления в зависимости от радиуса для капель воды
20surfaceTension = 0.072; % Н/м для воды при 20°C
21radii = logspace(-6, -2, 100); % Радиусы от 1 мкм до 1 см
22pressures = zeros(size(radii));
23
24for i = 1:length(radii)
25    % Для сферических капель оба основных радиуса равны
26    pressures(i) = youngLaplacePressure(surfaceTension, radii(i), radii(i));
27end
28
29% Создание логарифмического графика
30loglog(radii, pressures, 'LineWidth', 2);
31grid on;
32xlabel('Радиус капли (м)');
33ylabel('Разность давления (Па)');
34title('Давление Лапласа в зависимости от размера капли для воды');
35

1#include <iostream>
2#include <stdexcept>
3#include <cmath>
4#include <iomanip>
5
6/**
7 * Рассчитать разность давления с использованием уравнения Юнга-Лапласа
8 * 
9 * @param surfaceTension Поверхностное натяжение в Н/м
10 * @param radius1 Первый основной радиус кривизны в м
11 * @param radius2 Второй основной радиус кривизны в м
12 * @return Разность давления в Па
13 */
14double youngLaplacePressure(double surfaceTension, double radius1, double radius2) {
15    if (radius1 == 0.0 || radius2 == 0.0) {
16        throw std::invalid_argument("Радиусы должны быть ненулевыми");
17    }
18    
19    return surfaceTension * (1.0/radius1 + 1.0/radius2);
20}
21
22int main() {
23    try {
24        // Пример для капли ртути
25        double surfaceTensionMercury = 0.485; // Н/м при 20°C
26        double dropletRadius = 0.002; // 2 мм в метрах
27        
28        // Для сферической капли оба радиуса равны
29        double pressureDiff = youngLaplacePressure(surfaceTensionMercury, dropletRadius, dropletRadius);
30        
31        std::cout << "Разность давления внутри капли ртути: " 
32                  << std::fixed << std::setprecision(2) << pressureDiff 
33                  << " Па" << std::endl;
34                  
35        // Пример для цилиндрической интерфейса (например, в капиллярной трубке)
36        double tubeRadius = 0.0001; // 0.1 мм
37        double infiniteRadius = std::numeric_limits<double>::max();
38        
39        double capillaryPressure = youngLaplacePressure(surfaceTensionMercury, tubeRadius, infiniteRadius);
40        
41        std::cout << "Разность давления в капилляре с ртутью: " 
42                  << std::fixed << std::setprecision(2) << capillaryPressure 
43                  << " Па" << std::endl;
44    }
45    catch (const std::exception& e) {
46        std::cerr << "Ошибка: " << e.what() << std::endl;
47        return 1;
48    }
49    
50    return 0;
51}
52

1#' Рассчитать разность давления с использованием уравнения Юнга-Лапласа
2#'
3#' @param surface_tension Поверхностное натяжение в Н/м
4#' @param radius1 Первый основной радиус кривизны в м
5#' @param radius2 Второй основной радиус кривизны в м
6#' @return Разность давления в Па
7#' @examples
8#' young_laplace_pressure(0.072, 0.001, 0.001)
9young_laplace_pressure <- function(surface_tension, radius1, radius2) {
10  if (radius1 == 0 || radius2 == 0) {
11    stop("Радиусы должны быть ненулевыми")
12  }
13  
14  return(surface_tension * (1/radius1 + 1/radius2))
15}
16
17# Пример: Сравнить разности давления для различных жидкостей с одинаковой геометрией
18liquids <- data.frame(
19  name = c("Вода", "Этанол", "Ртуть", "Бензол", "Кровяная плазма"),
20  surface_tension = c(0.072, 0.022, 0.485, 0.029, 0.058)
21)
22
23# Рассчитать давление для сферической капли радиусом 1 мм
24droplet_radius <- 0.001 # м
25liquids$pressure <- sapply(liquids$surface_tension, function(st) {
26  young_laplace_pressure(st, droplet_radius, droplet_radius)
27})
28
29# Создать столбчатую диаграмму
30barplot(liquids$pressure, names.arg = liquids$name, 
31        ylab = "Разность давления (Па)",
32        main = "Давление Лапласа для капель 1 мм различных жидкостей",
33        col = "lightblue")
34
35# Печать результатов
36print(liquids[, c("name", "surface_tension", "pressure")])
37

Часто задаваемые вопросы

Для чего используется уравнение Юнга-Лапласа?

Уравнение Юнга-Лапласа используется для расчета разности давления на кривом жидкостном интерфейсе из-за поверхностного натяжения. Оно необходимо для понимания таких явлений, как капиллярное действие, образование капель, стабильность пузырей и различных микрофлюидных приложений. Уравнение помогает инженерам и ученым проектировать системы, связанные с жидкостными интерфейсами, и предсказывать, как они будут вести себя при различных условиях.

Почему давление выше внутри меньших капель?

Меньшие капли имеют более высокое внутреннее давление из-за их большей кривизны. Согласно уравнению Юнга-Лапласа, разность давления обратно пропорциональна радиусу кривизны. Поскольку радиус уменьшается, кривизна (1/R) увеличивается, что приводит к более высокой разности давления. Это объясняет, почему меньшие капли воды испаряются быстрее, чем большие, и почему меньшие пузыри в пене, как правило, уменьшаются, в то время как большие растут.

Как температура влияет на уравнение Юнга-Лапласа?

Температура в первую очередь влияет на уравнение Юнга-Лапласа через ее влияние на поверхностное натяжение. Для большинства жидкостей поверхностное натяжение уменьшается примерно линейно с увеличением температуры. Это означает, что разность давления на кривом интерфейсе также будет уменьшаться с повышением температуры, при условии, что геометрия остается постоянной. Вблизи критической точки жидкости поверхностное натяжение стремится к нулю, и эффект Юнга-Лапласа становится незначительным.

Можно ли применить уравнение Юнга-Лапласа к не сферическим поверхностям?

Да, общая форма уравнения Юнга-Лапласа применяется к любому кривому интерфейсу, а не только к сферическим. Уравнение использует два основных радиуса кривизны, которые могут отличаться для не сферических поверхностей. Для сложных геометрий эти радиусы могут варьироваться от точки к точке вдоль поверхности, что требует более сложного математического подхода или численных методов для решения формы всей интерфейса.

Какова связь между уравнением Юнга-Лапласа и капиллярным подъемом?

Уравнение Юнга-Лапласа непосредственно объясняет капиллярный подъем. В узкой трубке кривой мениск создает разность давления согласно уравнению. Эта разность давления поднимает жидкость вверх против силы тяжести, пока не достигнется равновесие. Высота капиллярного подъема может быть выведена, приравняв разность давления из уравнения Юнга-Лапласа к гидростатическому давлению поднятого столба жидкости (ρgh), что приводит к известной формуле h = 2γcosθ/(ρgr).

Насколько точно уравнение Юнга-Лапласа работает на очень малых масштабах?

Уравнение Юнга-Лапласа, как правило, точно работает до микроскопических масштабов (микрометры), но на наноразмерах дополнительные эффекты становятся значительными. К ним относятся линейное натяжение (в точке контакта трех фаз), давление разжижения (в тонких пленках) и молекулярные взаимодействия. На этих масштабах предположение о континууме начинает разрушаться, и классическому уравнению Юнга-Лапласа могут потребоваться корректирующие члены или замена молекулярно-динамическими подходами.

Какова разница между уравнением Юнга-Лапласа и уравнением Юнга?

Хотя они связаны, эти уравнения описывают разные аспекты жидкостных интерфейсов. Уравнение Юнга-Лапласа связывает разность давления с кривизной и натяжением поверхности. Уравнение Юнга (иногда называемое уравнением Юнга) описывает угол контакта, образующийся, когда жидкость-воздух встречается с твердой поверхностью, связывая его с межфазными натяжениями между тремя фазами (твердое-воздух, твердое-жидкое и жидкое-воздух). Оба уравнения были разработаны Томасом Юнгом и являются основополагающими для понимания межфазных явлений.

Как ПАА влияют на давление Юнга-Лапласа?

ПАА снижают поверхностное натяжение, адсорбируясь на жидкостном интерфейсе. Согласно уравнению Юнга-Лапласа, это непосредственно снижает разность давления на интерфейсе. Кроме того, ПАА могут создавать градиенты поверхностного натяжения (эффекты Марангони), когда они неравномерно распределены, вызывая сложные потоки и динамические поведения, которые не захватываются статическим уравнением Юнга-Лапласа. Именно поэтому ПАА стабилизируют пены и эмульсии — они снижают разность давления, способствующую коалесценции.

Может ли уравнение Юнга-Лапласа предсказать форму висячей капли?

Да, уравнение Юнга-Лапласа, в сочетании с гравитационными эффектами, может предсказать форму висячей капли. Для таких случаев уравнение обычно записывается в терминах средней кривизны и решается численно как задача краевых значений. Этот подход является основой метода висячей капли для измерения поверхностного натяжения, где наблюдаемая форма капли сопоставляется с теоретическими профилями, рассчитанными из уравнения Юнга-Лапласа.

Какие единицы следует использовать с уравнением Юнга-Лапласа?

Для получения согласованных результатов используйте единицы СИ с уравнением Юнга-Лапласа:

• Поверхностное натяжение (γ): ньютоны на метр (Н/м)
• Радиусы кривизны (R₁, R₂): метры (м)
• Результирующая разность давления (ΔP): паскали (Па)

Если вы используете другие системы единиц, обеспечьте согласованность. Например, в единицах CGS используйте дины/см для поверхностного натяжения, см для радиусов и дины/см² для давления.

Ссылки

1. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Капиллярность и смачиваемость: капли, пузыри, жемчужины, волны. Springer.

2. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). Физическая химия поверхностей (6-е изд.). Wiley-Interscience.

3. Israelachvili, J.N. (2011). Межмолекулярные и поверхностные силы (3-е изд.). Academic Press.

4. Rowlinson, J.S., & Widom, B. (2002). Молекулярная теория капиллярности. Dover Publications.

5. Young, T. (1805). "Эссе о когезии жидкостей". Философские Транзакции Королевского общества Лондона, 95, 65-87.

6. Laplace, P.S. (1806). Трактат о механике небесной, Дополнение к Книге 10.

7. Defay, R., & Prigogine, I. (1966). Поверхностное натяжение и адсорбция. Longmans.

8. Finn, R. (1986). Равновесные капиллярные поверхности. Springer-Verlag.

9. Derjaguin, B.V., Churaev, N.V., & Muller, V.M. (1987). Силы на поверхности. Consultants Bureau.

10. Lautrup, B. (2011). Физика непрерывного вещества: экзотические и повседневные явления в макроскопическом мире (2-е изд.). CRC Press.

Готовы рассчитать разности давления на кривых интерфейсах? Попробуйте наш решатель уравнения Юнга-Лапласа сейчас и получите представление о явлениях поверхностного натяжения. Для получения дополнительных инструментов и калькуляторов по механике жидкости изучите наши другие ресурсы.