Решатель уравнения Юнга-Лапласа | Давление на поверхности раздела

Что такое уравнение Юнга — Лапласа?

Уравнение Юнга — Лапласа — это формула механики жидкостей, которая задаёт разность давлений по разные стороны криволинейной границы раздела двух жидкостей, например поверхности капли воды или мыльного пузыря. Оно показывает, что эта разность давлений зависит от поверхностного натяжения жидкости и степени кривизны границы раздела. Уравнение объясняет, почему внутри капель и пузырьков повышается давление и почему у меньших из них внутреннее давление выше, чем у больших.

Оно названо в честь Томаса Юнга и Пьера-Симона Лапласа, каждый из которых описал эту зависимость в начале 1800-х годов.

Формула уравнения Юнга — Лапласа

Общий вид уравнения:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ — разность давлений по разные стороны границы раздела, измеряемая в паскалях (Па)
• $\gamma$ (гамма) — поверхностное натяжение жидкости, измеряемое в ньютонах на метр (Н/м)
• $R_1$ и $R_2$ — два главных радиуса кривизны поверхности, измеряемые в метрах (м)

Поверхность по-разному изгибается в разных направлениях. $R_1$ и $R_2$ описывают кривизну вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений. Для сферы, например капли или пузырька, $R_1$ равно $R_2$, поэтому формула упрощается:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Знаковое соглашение

Давление всегда выше на вогнутой стороне криволинейной границы раздела — той стороне, от которой поверхность выгибается. Для капли или пузырька это означает, что давление внутри выше давления снаружи. Радиус считают положительным, если его центр кривизны находится на стороне с более высоким давлением. Если в одном из направлений поверхность изгибается в противоположную сторону, этот радиус считают отрицательным. Граница раздела седловидной формы, например жидкая перемычка между двумя соприкасающимися зёрнами, имеет один положительный и один отрицательный радиус, поэтому два слагаемых частично компенсируют друг друга.

Этот калькулятор использует только положительные радиусы.

Особые случаи

• Плоская поверхность: по мере роста радиуса до бесконечности соответствующее слагаемое формулы стремится к нулю. У идеально плоской границы раздела разность давлений отсутствует.
• Цилиндр: длинная цилиндрическая поверхность, например струя жидкости, выходящая из сопла, изгибается только в одном направлении. Один радиус равен радиусу цилиндра, а другой вдоль его оси бесконечен, поэтому формула принимает вид $\Delta P = \gamma / R$. Это половина разности давлений для сферы с таким же радиусом.
• Очень малые масштабы: при размерах менее примерно от 10 до 20 нанометров становятся существенными дополнительные эффекты, например линейное натяжение, и простое уравнение теряет точность.

Как рассчитать разность давлений с помощью уравнения Юнга — Лапласа

1. Определите поверхностное натяжение жидкости в Н/м при нужной температуре. При повышении температуры поверхностное натяжение уменьшается.
2. Измерьте или оцените первый главный радиус кривизны $R_1$ в метрах.
3. Измерьте или оцените второй главный радиус кривизны $R_2$ в метрах. Для сферы используйте то же значение, что и для $R_1$. Для цилиндра подставьте очень большое число, обозначающее бесконечность.
4. Умножьте поверхностное натяжение на сумму $1/R_1$ и $1/R_2$. Результат представляет собой разность давлений в паскалях.

Используйте для всех значений единицы СИ. Например, смешение миллиметров с метрами приводит к ошибке в тысячу раз.

Пример расчёта

Рассмотрим сферическую каплю воды радиусом 1 миллиметр (0,001 м) и поверхностным натяжением 0,072 Н/м — типичным значением для воды при температуре, близкой к комнатной.

Поскольку капля имеет сферическую форму, $R_1 = R_2 = R$, поэтому:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Давление внутри капли на 144 Па выше давления окружающего воздуха. Это мало по сравнению с нормальным атмосферным давлением, составляющим примерно 101 325 Па, но при уменьшении капли эффект быстро возрастает. У капли радиусом 0,1 мм, то есть в десять раз меньшей, разность давлений в десять раз больше: 1 440 Па. У капли радиусом 0,01 мм разность давлений достигает 14 400 Па, что составляет более 14 % атмосферного давления.

Где применяется уравнение

• Капли и пузырьки: более высокое давление внутри маленьких капель вызывает созревание по Оствальду — процесс, при котором маленькие капли эмульсии уменьшаются, а большие растут, поскольку их содержимое диффундирует из области высокого давления в область низкого.
• Капиллярные явления: искривлённая поверхность жидкости внутри узкой трубки поднимает жидкость вверх. Поэтому вода поднимается по бумажным полотенцам и узким стеклянным трубкам.
• Дыхание: мельчайшие воздушные мешочки в лёгких, называемые альвеолами, ведут себя как маленькие пузырьки. Покрывающий их слой, называемый лёгочным сурфактантом, снижает поверхностное натяжение, поэтому маленькие альвеолы не спадаются под действием давления, предсказываемого уравнением. У недоношенных детей, которым не хватает сурфактанта, по этой причине могут возникать нарушения дыхания.
• Струйная печать: сопла принтеров формируют капли размером в десятки микрометров, и давление, обусловленное кривизной, достаточно велико, чтобы влиять на форму выхода чернил из сопла.
• Материаловедение: приборы, измеряющие смачивание поверхности жидкостями и поведение тонких покрытий, используют это уравнение, чтобы связать форму капли с поверхностной энергией.

История

Люди наблюдали, как жидкости поднимаются по узким трубкам, задолго до того, как кто-либо объяснил причину этого явления. В начале 1700-х годов Фрэнсис Хоксби экспериментально показал, что в более узких трубках капиллярный подъём выше, а в 1718 году Джеймс Жюрен описал подъём как обратно пропорциональный диаметру трубки.

Томас Юнг объяснил лежащую в основе явления физику в статье 1805 года, введя поверхностное натяжение как свойство жидкости и связав его с давлением на криволинейных поверхностях, хотя его изложение в основном носило описательный характер. В 1806 году Пьер-Симон Лаплас вывел математическую форму с помощью математического анализа и независимо получил ту же зависимость. Их совместная работа стала основой уравнения Юнга — Лапласа. Позднее учёные, включая Карла Фридриха Гаусса и Жозефа Плато, проверяли и развивали эту теорию на протяжении 1800-х годов.

Часто задаваемые вопросы

Что рассчитывает уравнение Юнга — Лапласа? Оно рассчитывает разность давлений по разные стороны криволинейной границы раздела двух жидкостей на основе поверхностного натяжения жидкости и кривизны границы раздела.

Почему давление внутри меньшей капли выше? Поверхностное натяжение действует вдоль края капли, и эта сила растёт пропорционально радиусу. Площадь, на которую должно давить давление, растёт пропорционально квадрату радиуса. При уравновешивании этих величин получается $\Delta P = 2\gamma/R$, поэтому разность давлений обратно пропорциональна радиусу: если уменьшить радиус вдвое, разность давлений удвоится.

Как температура влияет на уравнение? Температура изменяет значение поверхностного натяжения, а при повышении температуры поверхностное натяжение уменьшается. Для воды поверхностное натяжение снижается примерно с 0,073 Н/м при 20 °C до примерно 0,063 Н/м при 80 °C, то есть примерно на 0,17 мН/м на каждый градус Цельсия. Поверхностное натяжение при комнатной температуре выше, чем у горячей воды, поэтому использование значения для комнатной температуры в горячей системе завышает разность давлений.

Работает ли уравнение для форм, отличных от сферических? Да. Общая форма с двумя отдельными радиусами $R_1$ и $R_2$ применима к любой криволинейной поверхности, включая эллипсоиды и поверхности раздела седловидной формы. Только упрощённая форма $2\gamma/R$ применима исключительно к сферам.

Чем уравнение Юнга — Лапласа отличается от уравнения Юнга? Уравнение Юнга — Лапласа задаёт разность давлений, обусловленную криволинейной границей раздела. Уравнение Юнга — это отдельное соотношение, также предложенное Томасом Юнгом; оно позволяет определить краевой угол, под которым капля соприкасается с твёрдой поверхностью, на основе поверхностных энергий трёх участвующих материалов. Эти уравнения описывают разные явления и иногда используются вместе для анализа капли, покоящейся на поверхности.

Насколько маленькой может быть капля, прежде чем уравнение перестанет работать? Уравнение сохраняет точность примерно до 1 микрометра. При размерах менее примерно от 10 до 20 нанометров дополнительные силы, которые уравнение не учитывает, включая натяжение линии контакта и межповерхностные силы молекулярного масштаба, становятся достаточно велики, чтобы влиять на результат, и требуются более подробные модели.

Источники

1. Young, T. (1805). «An Essay on the Cohesion of Fluids». Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, дополнение к книге 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6-е изд.). Wiley-Interscience.