Калькулятор конических сечений - Круг, Эллипс, Парабола

Что такое калькулятор конических сечений?

Калькулятор конических сечений по нескольким измерениям находит эксцентриситет и каноническое уравнение окружности, эллипса, параболы или гиперболы. Эти четыре кривые образуются, когда плоская поверхность пересекает конус под разными углами.

Четыре конических сечения

Поперечное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси, даёт окружность. Наклон плоскости даёт эллипс. Сечение, параллельное образующей конуса, даёт параболу. Сечение, проходящее через обе половины двойного конуса, даёт гиперболу.

Каждая кривая имеет эксцентриситет — число, показывающее, насколько она отличается от идеальной окружности.

• Окружность: $e = 0$
• Эллипс: 0 $ < e < 1 $
• Парабола: $e = 1$
• Гипербола: $e > 1$

Как пользоваться этим калькулятором

1. Выберите тип конического сечения: окружность, эллипс, парабола или гипербола.
2. Введите необходимые измерения.
   • Окружность: радиус ($r$)
   • Эллипс: большая полуось ($a$) и малая полуось ($b$)
   • Парабола: фокусное расстояние ($f$)
   • Гипербола: полуось поперечной оси ($a$) и полуось сопряжённой оси ($b$)
3. Эксцентриситет и каноническое уравнение появляются автоматически, как только для выбранного типа конического сечения введены корректные положительные значения; нажимать кнопку «Вычислить» не нужно.
4. Ниже результатов строится график кривой.

Калькулятор выводит уравнение, уже подставив введённые числа, поэтому эллипс с $a = 5$ и $b = 3$ отображается как $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Это то же уравнение, что и $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Эксцентриситет отображается с точностью до четырёх знаков после запятой.

Все значения должны быть положительными числами. Для эллипса большая полуось должна быть не короче малой полуоси, поскольку большая полуось по определению является более длинной. Для гиперболы такого правила нет: её полуось поперечной оси и полуось сопряжённой оси могут иметь любые положительные длины, в том числе одинаковые.

Формула окружности

Для окружности радиуса $r$, центр которой находится в начале координат:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Эксцентриситет: $e = 0$.

Окружность является частным случаем эллипса, у которого обе оси имеют одинаковую длину, а оба фокуса находятся в центре.

Формула эллипса

Для эллипса с центром в начале координат, большой полуосью $a$ и малой полуосью $b$, где $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Пример: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Уравнение: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Если $a = b$, эллипс превращается в окружность, и $e = 0$.

Формула параболы

Для параболы, ветви которой направлены вправо, с фокусным расстоянием $f$ (расстоянием от вершины до фокуса):

$$y^2 = 4fx$$

Эксцентриситет: $e = 1$ всегда.

Пример: $f = 2$. Уравнение: $y^2 = 8x$.

Формула гиперболы

Для гиперболы с центром в начале координат, полуосью поперечной оси $a$ и полуосью сопряжённой оси $b$, где $a$ и $b$ — любые положительные числа:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Полуось поперечной оси $a$ равна половине расстояния между двумя вершинами — точками, в которых кривая меняет направление. Полуось сопряжённой оси $b$ равна половине длины сопряжённой оси — отрезка, проведённого через центр перпендикулярно поперечной оси. Она определяет, насколько быстро расходятся ветви.

В отличие от эллипса, для гиперболы не требуется, чтобы $a$ было больше $b$. Эти две длины независимы, поэтому $b$ может быть меньше, равно или больше $a$. Если $a = b$, кривая называется равнобочной гиперболой, её эксцентриситет равен $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Пример: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Уравнение: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Практическое применение конических сечений

Планеты и кометы движутся по орбитам, имеющим форму конических сечений. Первый закон Кеплера утверждает, что орбита планеты представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Некоторые кометы движутся по параболическим или гиперболическим траекториям и никогда не возвращаются.

Параболы собирают параллельные лучи в одной точке, поэтому инженеры используют параболические формы в спутниковых антеннах, зеркалах телескопов и автомобильных фарах. Гиперболические кривые встречаются в стенах градирен, где такая форма обеспечивает прочность при меньшем расходе материала. Эллипсы применяются в арках, потолках залов шёпотов и конструкции зубчатых передач.

Краткая история конических сечений

Греческий математик Менехм изучал конические сечения примерно в 350 году до н. э., пытаясь решить задачу удвоения куба. Аполлоний Пергский примерно в 200 году до н. э. написал подробный трактат под названием Конические сечения. Он дал названия эллипсу, параболе и гиперболе и описал их свойства. Спустя столетия Иоганн Кеплер использовал эллипс для описания движения планет, а Исаак Ньютон применил конические сечения для объяснения тяготения.

Часто задаваемые вопросы

Каковы четыре типа конических сечений?

Окружность, эллипс, парабола и гипербола. Каждое из них образуется, когда плоскость пересекает конус под определённым углом, и каждое имеет свой диапазон эксцентриситета.

Как вычислить эксцентриситет?

Эксцентриситет фиксирован для окружности ($e = 0$) и параболы ($e = 1$). Для эллипса $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, где используются большая полуось $a$ и малая полуось $b$. Для гиперболы $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, где используются полуось поперечной оси $a$ и полуось сопряжённой оси $b$.

Должна ли полуось поперечной оси гиперболы быть длиннее полуоси сопряжённой оси?

Нет. В отличие от большой и малой полуосей эллипса, полуось поперечной оси гиперболы ($a$) и полуось сопряжённой оси ($b$) являются независимыми измерениями. Обе должны быть положительными, но любая из них может быть большей.

Может ли эллипс стать окружностью?

Да. Когда большая полуось равна малой полуоси, эллипс является окружностью, а его эксцентриситет равен 0.

Почему спутниковые антенны имеют параболическую форму?

Парабола отражает лучи, параллельные её оси, в одну фокальную точку. Спутниковые антенны и зеркала телескопов используют это свойство для концентрации сигналов или света в одной точке.

Что такое равнобочная гипербола?

Равнобочная гипербола — это гипербола, у которой полуось поперечной оси равна полуоси сопряжённой оси ($a = b$). Её асимптоты перпендикулярны, а эксцентриситет равен $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Источники

1. Коническое сечение — Википедия
2. Эксцентриситет конических сечений — Khan Academy
3. Конические сечения — OpenStax