Калькулятор распределения Пуассона - Расчет вероятностей событий

Что такое калькулятор распределения Пуассона?

Калькулятор распределения Пуассона определяет вероятность того, что за заданный промежуток времени или на заданном участке пространства произойдёт определённое число событий, если известна их средняя интенсивность. Его используют, когда события происходят по одному, независимо друг от друга и с постоянной средней интенсивностью. Типичные примеры — число звонков, поступающих в кол-центр за час, или число опечаток на странице.

Формула распределения Пуассона

Распределение Пуассона задаёт вероятность ровно k событий при средней интенсивности λ (греческая буква лямбда):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Каждое обозначение означает:

• λ (лямбда) — среднее число событий за один интервал. Это единственный параметр распределения.
• k — точное число событий, вероятность которого рассчитывается. Это должно быть целое число, не меньше 0.
• e — число Эйлера, постоянная, приблизительно равная 2,71828.
• k! — «факториал k», произведение всех целых чисел от 1 до k. Например, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. По определению, 0! = 1.

Для формулы нужны только λ и k. Общее число испытаний не требуется, в отличие от биномиального распределения.

Как рассчитать вероятность по распределению Пуассона

1. Выберите λ — среднее число событий за изучаемый интервал.
2. Выберите k — точное число событий, вероятность которого нужно найти.
3. Возведите e в степень −λ: получится e^(−λ).
4. Возведите λ в степень k: получится λ^k.
5. Найдите k! — факториал k.
6. Перемножьте результаты шагов 3 и 4, затем разделите их на результат шага 5.

Полученное число представляет собой вероятность между 0 и 1. Умножьте её на 100, чтобы выразить результат в процентах.

Разобранный пример

Кол-центр получает в среднем 5 звонков в час (λ = 5). Какова вероятность того, что за выбранный час он получит ровно 3 звонка (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Умножение: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Деление на 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Вероятность получить ровно 3 звонка за этот час составляет примерно 0,140, или 14 %.

Другие примеры

Где используется распределение Пуассона

Распределение Пуассона моделирует число наступлений редких независимых событий. К распространённым применениям относятся:

• Кол-центры и обслуживание клиентов: прогнозирование числа звонков или чатов, поступающих за час.
• Производство: оценка числа дефектов в партии продукции.
• Страхование: оценка числа страховых заявлений, поступающих за определённый период.
• Биология и медицина: моделирование числа мутаций или распространения редких заболеваний.
• Физика: описание радиоактивного распада, при котором каждый атом распадается независимо с постоянной средней интенсивностью.
• Транспорт и сетевое проектирование: оценка прибытия автомобилей к перекрёстку или запросов к серверу.

Условия применения распределения Пуассона

Распределение Пуассона подходит для ситуации только при выполнении всех следующих условий:

• События происходят по одному; два события не могут произойти в один и тот же момент.
• События происходят независимо — одно событие не делает следующее более или менее вероятным.
• Средняя интенсивность λ остаётся постоянной на протяжении изучаемого интервала.

Если интенсивность меняется со временем или события имеют тенденцию происходить группами, обычное распределение Пуассона не будет хорошо описывать данные.

Распределение Пуассона и связанные с ним распределения

• Биномиальное распределение: используется, когда есть фиксированное число испытаний и известна вероятность успеха в каждом из них, например при 20 подбрасываниях монеты. Распределение Пуассона получается из биномиального распределения, когда число испытаний становится очень большим, а вероятность успеха в одном испытании стремится к нулю, при этом их произведение остаётся примерно равным λ.
• Нормальное распределение: при больших значениях λ, примерно выше 20, распределение Пуассона близко к колоколообразному нормальному распределению со средним λ и дисперсией λ.
• Экспоненциальное распределение: если распределение Пуассона подсчитывает число событий за фиксированный интервал, то экспоненциальное распределение описывает время ожидания между этими событиями.

Кратко об истории

Французский математик Симеон Дени Пуассон ввёл это распределение в 1837 году в книге о применении теории вероятностей к судебным приговорам. Поначалу оно привлекало мало внимания. Его применение расширилось в начале 20 века, после того как такие статистики, как Ладислав Борткевич и Рональд Фишер, применили его к реальным данным о числе событий, включая известное исследование прусских солдат, погибших от ударов копыт лошадей.

Часто задаваемые вопросы

Что означает лямбда (λ) в распределении Пуассона? Лямбда — это среднее ожидаемое число событий за изучаемый интервал. Она также является дисперсией распределения, поэтому большее значение λ означает и более высокое среднее число событий, и больший разброс возможных результатов.

Может ли k или λ быть отрицательным числом или дробью? λ должно быть больше 0, но может быть десятичным числом, например 2,5 события в час. k должно быть целым числом, не меньшим 0, поскольку оно обозначает фактическое число событий; оно не может быть отрицательным или дробным.

Чем распределение Пуассона отличается от биномиального распределения? Для биномиального распределения нужны фиксированное число испытаний и фиксированная вероятность успеха в каждом испытании. Для распределения Пуассона нужна только средняя интенсивность; оно подходит для событий, которые в принципе могут произойти любое число раз.

Когда вместо него следует использовать нормальное распределение? При больших значениях λ, обычно выше примерно 20, нормальное распределение с теми же средним и дисперсией близко приближает распределение Пуассона и часто удобнее для ручных расчётов.

Почему калькулятор иногда показывает число в экспоненциальной записи? Обычно результаты показываются с точностью до шести знаков после запятой. Если вероятность меньше 0,0001, округление до шести знаков даст 0,000000 и скроет её истинный малый размер, поэтому калькулятор переключается на экспоненциальную запись. При λ = 20 и k = 1 он показывает 4.122307e-8, что означает 0,00000004122307.

Есть ли ограничения на значения, которые принимает калькулятор? Да. λ должно быть больше 0 и не превышать 700, а k должно быть целым числом от 0 до 1000. При выходе за эти пределы калькулятор показывает ошибку. Ограничения позволяют удерживать результат в диапазоне чисел, которые может хранить компьютер, а график — в пределах читаемого числа столбцов.

Допускает ли распределение Пуассона более одного события одновременно? Нет. Модель предполагает, что события происходят по одному. Если два события регулярно происходят одновременно, данные лучше описывает другое распределение.

Источники

1. Пуассон, Симеон Дени. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Париж, 1837.
2. Хайт, Фрэнк А. Handbook of the Poisson Distribution. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, раздел 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Джонсон, Норман Л., Адриенн У. Кемп и Сэмюэл Котц. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.