Калькулятор распределения Лапласа - Бесплатный PDF и инструмент визуализации

Что такое распределение Лапласа?

Распределение Лапласа, также называемое двусторонним экспоненциальным распределением, — это непрерывное распределение вероятностей, имеющее форму двух экспоненциальных кривых, соединённых в вершине и обращённых в противоположные стороны. Оно симметрично относительно центрального значения и имеет более тяжёлые хвосты, чем нормальное распределение, поэтому приписывает экстремальным значениям большую вероятность. Калькулятор распределения Лапласа на этой странице вычисляет максимальную плотность вероятности распределения на основе параметра положения и параметра масштаба, а также строит полную кривую плотности.

Распределение названо в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа, который впервые описал его в 1774.

Формула распределения Лапласа

Функция плотности вероятности (PDF) распределения Лапласа имеет вид:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x — любая точка на числовой прямой.
• μ (мю) — параметр положения, задающий центр распределения. Он также является средним и медианой.
• b — параметр масштаба, определяющий степень разброса распределения. Он должен быть больше 0.
• |x − μ| — расстояние между x и центром без учёта направления.

Кривая достигает максимума точно в точке x = μ. В этой точке формула упрощается, поскольку |μ − μ| = 0 и exp(0) = 1, поэтому остаётся:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Это максимальное значение, 1/(2b), — число, которое показывает калькулятор.

Как пользоваться калькулятором распределения Лапласа

1. Введите параметр положения (μ). Он задаёт центр распределения.
2. Введите параметр масштаба (b). Это должно быть положительное число; чем больше его значение, тем более пологой и широкой становится кривая.
3. Калькулятор показывает максимальную плотность, 1/(2b), и строит кривую плотности f(x) от μ − 4b до μ + 4b. Вертикальная ось графика показывает плотность вероятности, а кривую можно скачать в виде таблицы значений x и f(x).

Калькулятор не запрашивает отдельное значение x. Он всегда показывает плотность в максимуме самого распределения, x = μ, поскольку это единственное наиболее полезное сводное число для сравнения распределений с разными масштабами. Чтобы найти плотность в другой точке, используйте приведённую выше формулу со значением x, представляющим интерес, или считайте высоту кривой по графику.

Пример расчёта

Возьмём положение μ = 4 и масштаб b = 2.

1. Проверьте, что b — положительное число: 2 > 0, поэтому введённые значения допустимы.
2. Максимум достигается при x = μ = 4, где |x − μ| = 0.
3. Вычислим максимальную плотность: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Калькулятор показывает 0,250000. Построенная кривая достигает максимума в точке (4, 0,25) и симметрично снижается по обе стороны, простираясь от μ − 4b до μ + 4b, то есть в данном случае от −4 до 12.

Поскольку формула максимальной плотности, 1/(2b), не содержит μ, изменение положения лишь сдвигает кривую влево или вправо. Её высота не меняется. Высоту изменяет только параметр масштаба.

Другие примеры

Среднее, дисперсия и стандартное отклонение

Для распределения Лапласа с положением μ и масштабом b:

• Среднее = μ
• Медиана = μ
• Дисперсия = 2b²
• Стандартное отклонение = b√2

Распределение Лапласа и нормальное распределение

Оба распределения симметричны и имеют колоколообразную форму, и оба полностью задаются центром и параметром разброса. Различие заключается в хвостах. В нормальном распределении плотность уменьшается пропорционально квадрату расстояния от среднего, поэтому экстремальные значения очень быстро становятся исчезающе редкими. В распределении Лапласа она уменьшается пропорционально самому расстоянию, поэтому экстремальные значения остаются сравнительно более вероятными. Это делает распределение Лапласа полезным в случаях, когда в реальных данных больше выбросов, чем предсказывает нормальное распределение.

Распространённые применения

• Обработка сигналов и изображений: моделирование шума и сжатие изображений, поскольку различия между пикселями или сигналами часто сосредоточены около нуля, но иногда бывают большими.
• Дифференциальная конфиденциальность: механизм Лапласа добавляет к результатам запросов шум, распределённый по Лапласу, чтобы защищать индивидуальные данные, сохраняя общую точность.
• Устойчивая статистика и регрессия: в регрессии Lasso используется априорное распределение Лапласа, которое отдаёт предпочтение решениям, где многие коэффициенты в точности равны нулю.
• Финансы: моделирование доходности активов, у которой, как правило, более тяжёлые хвосты, чем предполагает нормальное распределение.
• Сейсмология: используется в моделях распределения магнитуд землетрясений, связанных с законом Гутенберга — Рихтера.

Часто задаваемые вопросы

Что означает результат калькулятора?

Это максимальное значение функции плотности вероятности, равное 1/(2b). Такова высота кривой в её центре, x = μ.

Почему калькулятор не запрашивает значение x?

Максимальная плотность, 1/(2b), одинакова при любом значении x, равном μ, поэтому для её нахождения отдельный ввод x не требуется. Это стандартное единственное число, используемое для сравнения того, насколько высокими и узкими или низкими и широкими являются два распределения Лапласа. Полная кривая, показывающая плотность при каждом x, доступна на графике.

Как найти плотность в точке, отличной от максимума?

Используйте формулу $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ с интересующим значением x или считайте высоту непосредственно по построенной кривой.

Чем распределение Лапласа отличается от экспоненциального распределения?

Распределение Лапласа можно построить из двух экспоненциальных распределений. Если X и Y — независимые экспоненциальные случайные величины с одним и тем же параметром интенсивности, то X − Y имеет распределение Лапласа с центром в 0.

Где обычно применяется распределение Лапласа?

Оно используется при обработке сигналов, сжатии изображений, дифференциальной приватности, в устойчивой статистике, регрессии Lasso, а также при моделировании финансовой доходности и магнитуд землетрясений — везде, где в реальных данных наблюдается больше экстремальных значений, чем предсказывает нормальное распределение.

Может ли распределение Лапласа принимать отрицательные значения или оно предназначено только для положительных?

Оно определено для всех действительных чисел, как положительных, так и отрицательных, в отличие от экспоненциального распределения, которое принимает только неотрицательные значения.

Источники

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgórski, K. (2001). Распределение Лапласа и обобщения. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution