Калькулятор t-теста - Бесплатный онлайн инструмент статистического анализа

Что такое t-критерий?

t-критерий — статистический метод, который проверяет, отличается ли среднее значение набора чисел статистически значимо от другого среднего значения или фиксированной величины. Его также называют t-критерием Стьюдента. Исследователи используют его для сравнения двух групп, например экспериментальной и контрольной, или для сравнения одной группы с известным стандартом.

Критерий вычисляет число, называемое t-статистикой. Значительно удалённая от нуля t-статистика указывает на реальное различие средних значений. t-статистика, близкая к нулю, указывает, что различие может быть лишь случайным шумом.

Виды t-критерия

Этот калькулятор поддерживает три вида t-критерия.

• Одновыборочный t-критерий: сравнивает среднее значение одной выборки с известной или предполагаемой величиной.
• Двухвыборочный t-критерий: сравнивает средние значения двух независимых выборок, например двух отдельных групп людей. Этот калькулятор использует t-критерий Уэлча, который не предполагает одинакового разброса в обеих группах.
• Парный t-критерий: сравнивает два набора измерений, полученных от одних и тех же объектов, например результаты до и после лечения.

Как пользоваться этим калькулятором t-критерия

1. Выберите тип критерия: одновыборочный, двухвыборочный или парный.
2. Введите данные.
   • Одновыборочный: введите значения выборки через запятую и среднее значение генеральной совокупности, с которым проводится сравнение.
   • Двухвыборочный: введите обе выборки в виде отдельных списков значений, разделённых запятыми.
   • Парный: введите пары в форме (x1,y1), (x2,y2) и так далее.
3. Задайте уровень значимости, обычно 0,05. Калькулятор не использует это значение. Он сообщает p-значение, а решение оставляет за вами.
4. Как только данных становится достаточно, появляются t-статистика, число степеней свободы и p-значение. Нажимать кнопку не нужно.

Чтобы оценить значимость, сравните p-значение с уровнем значимости. Если p-значение меньше или равно уровню значимости, различие считают статистически значимым.

Формула t-критерия

Формула одновыборочного t-критерия

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ — среднее значение выборки, $\mu_0$ — величина, с которой проводится сравнение, $s$ — стандартное отклонение выборки, а $n$ — объём выборки. Число степеней свободы: $df = n - 1$.

Формула двухвыборочного t-критерия (критерий Уэлча)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Число степеней свободы определяется по уравнению Уэлча—Саттертуэйта:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Эта формула обычно даёт значение df, не являющееся целым числом.

Формула парного t-критерия

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ — среднее значение разностей между каждой парой, $s_d$ — стандартное отклонение этих разностей, а $n$ — число пар. Число степеней свободы: $df = n - 1$.

Как вычислить t-критерий: пример расчёта

Производитель утверждает, что батарея работает в среднем 50 часов. Испытатель проверяет девять батарей и записывает следующую продолжительность работы в часах:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Шаг 1: сформулируйте гипотезы. Нулевая гипотеза: истинное среднее значение составляет 50 часов. Альтернативная гипотеза: истинное среднее значение не составляет 50 часов.

Шаг 2: найдите среднее значение выборки.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Шаг 3: найдите стандартное отклонение выборки. Отклонения от среднего значения равны 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. Их квадраты равны 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1; их сумма составляет 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Шаг 4: найдите t-статистику.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Шаг 5: найдите число степеней свободы.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Шаг 6: найдите p-значение. При $t = 0$ и $df = 8$ двустороннее p-значение равно 1,00.

Шаг 7: сформулируйте вывод. Поскольку 1,00 больше 0,05, недостаточно оснований считать, что средняя продолжительность работы батареи отличается от 50 часов.

Предпосылки t-критерия

t-критерий даёт надёжные результаты только при приблизительном выполнении нескольких условий.

• Нормальность: данные должны иметь примерно колоколообразное распределение, особенно в небольших выборках.
• Независимость: каждое наблюдение не должно влиять на другие наблюдения.
• Случайная выборка: данные должны происходить из случайной выборки изучаемой генеральной совокупности.

Для парного t-критерия эти условия применяются к разностям между парами, а не к исходным результатам. В больших выборках, примерно свыше 30 наблюдений, t-критерий обычно остаётся точным, даже если данные не имеют идеальной колоколообразной формы, благодаря статистическому свойству, называемому центральной предельной теоремой.

Альтернативы t-критерию

Если перечисленные выше предпосылки не выполняются, вместо него можно использовать другие критерии.

• U-критерий Манна—Уитни: непараметрическая альтернатива двухвыборочному t-критерию.
• Критерий знаковых рангов Вилкоксона: непараметрическая альтернатива парному t-критерию.
• Дисперсионный анализ (ANOVA): одновременно сравнивает средние значения трёх или более групп, а не только двух.

История t-критерия

Уильям Сили Госсет разработал t-критерий в 1908 году, работая химиком на пивоварне Guinness в Дублине. Guinness не разрешала сотрудникам публиковать исследования под собственными именами, поэтому Госсет использовал псевдоним «Student». Поэтому этот метод часто называют t-критерием Стьюдента. Он создал его для оценки соответствия небольших партий пивоваренных ингредиентов стандартам качества, используя каждый раз лишь несколько образцов.

Часто задаваемые вопросы

Для чего используется t-критерий?

t-критерий проверяет, отличается ли среднее значение выборки статистически значимо от другого среднего значения или фиксированной величины. Его часто применяют в медицине, психологии, образовании и бизнес-исследованиях.

Когда следует использовать одновыборочный, двухвыборочный или парный t-критерий?

Используйте одновыборочный t-критерий, чтобы сравнить среднее значение выборки с известной величиной. Используйте двухвыборочный t-критерий для сравнения двух отдельных, не связанных между собой групп. Используйте парный t-критерий, когда одни и те же объекты измеряют дважды, например до и после лечения.

В чём разница между t-критерием и z-критерием?

t-критерий используют, когда выборка мала или стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно. z-критерий используют для больших выборок, если стандартное отклонение генеральной совокупности известно. На практике t-критерий применяют гораздо чаще, поскольку стандартное отклонение генеральной совокупности редко известно заранее.

Как интерпретировать p-значение t-критерия?

p-значение — это вероятность получить такое же или ещё большее различие, если на самом деле реального различия нет. Небольшое p-значение, обычно не превышающее 0,05, указывает, что наблюдаемое различие, вероятно, нельзя объяснить одним лишь случайным стечением обстоятельств.

Что такое t-критерий Уэлча?

t-критерий Уэлча — это разновидность двухвыборочного t-критерия, не требующая равенства дисперсий в двух группах. Этот калькулятор всегда использует метод Уэлча для двухвыборочных критериев, поскольку он остаётся точным независимо от того, одинаково ли разбросаны данные в обеих группах.

Что такое число степеней свободы в t-критерии?

Число степеней свободы — это величина, зависящая от объёма выборки и определяющая точную форму t-распределения, используемого для нахождения p-значения. Для одновыборочного или парного t-критерия число степеней свободы равно объёму выборки минус 1. В двухвыборочном t-критерии Уэлча используется формула, которая обычно даёт нецелое значение.

Источники

1. Gosset, W. S. (1908). «The Probable Error of a Mean». Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, раздел 1.3.6.7.2, «Критические значения t-распределения Стьюдента».