Точный тест Фишера - Бесплатный статистический инструмент

Что такое точный критерий Фишера?

Точный критерий Фишера — статистический метод, проверяющий, связаны ли две категориальные переменные, с использованием данных, представленных в таблице 2×2. Он вычисляет точную вероятность, называемую p-значением, а не приближение. Поэтому он полезен при небольшом объёме выборки.

Критерий сравнивает частоты в двух строках и двух столбцах, например число выздоровевших и не выздоровевших пациентов среди получавших и не получавших лечение. Таблица 2×2 содержит четыре ячейки, обычно обозначаемые A, B, C и D, а также итоги по строкам и столбцам.

Точный критерий Фишера и критерий хи-квадрат

Критерий хи-квадрат также проверяет наличие связи между двумя категориальными переменными, но опирается на приближение, которое хорошо работает только при достаточно больших частотах в ячейках. Распространённое практическое правило: если ожидаемая частота в любой ячейке таблицы меньше 5, приближение хи-квадрат становится ненадёжным, и предпочтительнее использовать точный критерий Фишера. Точный критерий Фишера работает при любом объёме выборки, но является математически точным, а не приближённым, что особенно важно для небольших выборок.

Как вычислить точный критерий Фишера

В критерии используется гипергеометрическое распределение, описывающее вероятность извлечь определённое число элементов из совокупности без возвращения. При заданных итогах по строкам и столбцам гипергеометрическое распределение определяет вероятность любого конкретного расположения частот в четырёх ячейках.

Формула вероятности

Для таблицы с ячейками A, B, C и D, итогами по строкам r₁ = A + B и r₂ = C + D, итогами по столбцам c₁ = A + C и c₂ = B + D и общим объёмом выборки n = A + B + C + D вероятность именно такой таблицы равна:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Здесь «!» означает факториал: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Одностороннее p-значение

Одностороннее p-значение складывает вероятность наблюдаемой таблицы и всех других таблиц с теми же итогами по строкам и столбцам, которые показывают такую же или более сильную связь в том же направлении. «Направление» определяется сравнением ячейки A со значением, которое она имела бы при отсутствии связи между переменными; это значение называется ожидаемым: E(A) = r₁c₁ / n.

• Если A равно E(A) или больше него, связь скорее положительная, и суммирование проводится по всем возможным значениям ячейки A от наблюдаемого значения до её максимально возможного значения.
• Если A меньше E(A), связь скорее отрицательная, и суммирование проводится от минимально возможного значения ячейки A до наблюдаемого значения.

Двустороннее p-значение

Двустороннее p-значение складывает вероятности всех возможных таблиц с теми же итогами по строкам и столбцам, вероятность которых меньше либо равна вероятности наблюдаемой таблицы. Это учитывает экстремальные результаты в обоих направлениях, поэтому двустороннее p-значение обычно больше одностороннего p-значения, вычисленного для той же таблицы.

Пример расчёта

В небольшом исследовании новый препарат получили 10 пациентов, а плацебо — ещё 10 пациентов. Результаты:

Здесь A = 8, B = 2, C = 3, D = 7, а n = 20. Ожидаемое значение A при независимости равно E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Поскольку 8 больше 5,5, связь имеет положительное направление, поэтому одностороннее суммирование проводится от A = 8 до максимально возможного значения A, равного 10.

Вычисление гипергеометрических вероятностей для A = 8, 9 и 10 даёт одностороннее p-значение, приблизительно равное 0,0349. Суммирование вероятностей всех таблиц (в обоих направлениях), вероятность которых не превышает вероятность наблюдаемой таблицы, даёт двустороннее p-значение, приблизительно равное 0,0698.

При обычно используемом пороге 0,05 односторонний результат считается статистически значимым, а двусторонний — нет. Это показывает, почему важен выбор типа критерия: односторонний критерий уместен только тогда, когда направление эффекта (в данном случае улучшение результатов под действием препарата) было предсказано до анализа данных.

Когда следует использовать точный критерий Фишера

Точный критерий Фишера часто применяется в следующих случаях:

• Клинические испытания с небольшим числом пациентов.
• Контроль качества при сравнении числа дефектов в двух производственных партиях.
• Генетические исследования, в которых сравнивается частота признака в двух небольших группах.
• Любая таблица 2×2, в которой ожидаемая частота в ячейке меньше 5.

Часто задаваемые вопросы

Для чего используется точный критерий Фишера? Он проверяет, связаны ли две категориальные переменные, используя частоты в таблице 2×2. Его часто выбирают вместо критерия хи-квадрат при небольшом объёме выборки.

Когда следует использовать точный критерий Фишера вместо критерия хи-квадрат? Когда ожидаемая частота в любой ячейке таблицы меньше 5 или когда требуется дополнительная уверенность в точности вероятности независимо от объёма выборки.

В чём различие между односторонними и двусторонними результатами? Одностороннее p-значение проверяет заранее предсказанное направление эффекта, определённое до просмотра данных. Двустороннее p-значение проверяет наличие связи в любом направлении. Двустороннее p-значение для той же таблицы обычно больше.

Показывает ли этот калькулятор отношение шансов? Нет. Он показывает только точное p-значение. Отношение шансов для той же таблицы можно отдельно вычислить, разделив A × D на B × C.

Можно ли использовать точный критерий Фишера для таблиц размером больше 2×2? Описанная здесь версия предназначена для таблиц 2×2. Для таблиц большего размера требуется родственный метод, называемый расширением Фримена—Халтона, доступный в большинстве статистических программ.

Можно ли использовать точный критерий Фишера для парных данных, например измерений до и после у одних и тех же людей? Нет. Он предполагает наличие двух независимых групп. Для парных категориальных данных следует использовать критерий Мак-Немара.

Источники

1. Fisher, R.A. (1922). «On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.» Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. & Halton, J.H. (1951). «Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.» Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3-е изд.). Wiley.